10.5 分式方程-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

.t1<t2, 易错警示 没有把握实际问题的 本质导致解题错误 解决这类问题时，往往会出现 错误，究其原因是没有正确把握实 际问题的本质，无法灵活构建分式 的模型，进而运用分式的运算求得 结果并与0比较大小，从而确定最 终结果」 10.5分式方程 第1课时分式方程的概念 1.D2.A3.(1)x=9(2)x= 34.4 50= 6.A 7D解折：由您意得弓 ∴.3x-3=2x十4.∴.x=7.经检验， x=7是原分式方程的解.∴.x的值 是7. 8.B解析：根据题意，得5一立 11 11 3一5方程两边同乘x,得5x 1品2，解得x=15.经检验2=15 是原分式方程的解..x的值是15. 9.6000=1000 x+50x 10.x=4解析：根据题意，得 1 6 2-元=x(2-2)方程两边同乘 x(x一2)，得x一2十x=6,解得x= 4.经检验，x=4是原分式方程的解」 11.方程两边同乘2x一1，得x一2一 (2.x一1)=-1，解得x=0. 把x=0代人原方程，左边= 0-2 0-1 1=1,右边=己。1，左边=右边， .x=0是原分式方程的解。 12由题意，相号之28 方程两边同乘2一x,得3一x十1= 3(2-x),解得x=1. 经检验，x=1是原分式方程的解. “当=1时，分式的值比分式 —2的值大3. 13.将原方程化为十1322) 2 2 整理，得13一2x1-2五 2 2 19-21722,即 11-2x-(13-2x)17-2x-(19-2x) (13-2x)(11-2x)(19-2x)(17-2.x) -2 -2 a3-2)01-2)q9-2x)17-2五) 即(19-2x)(17-2x)=(13-2x)· 15 11-2x),解得x=2 经检验这一号是原分式方程的解 14.()第4个方程为x+20=9. 由x十4X5=4十5，得x=4或x=5. x (2)第”个方程为x+n+D 2n+1. 由+”·n+1=十(m十1)，得 x=n或x=n十1. (3)原方程变形，得x十2+ n(n+1) x+2 =n+(n+1), 46 .x+2=n或x+2=n+1. 原方程的一个解是x=10, ∴.n=12或n=11. 方法归纳 通过观察、分析、类比、验证 解决探索规律问题 解决这类探索规律问题时，常 常需要我们仔细阅读、分析所给的 材料范例，找出所给分式方程的解 与已知方程各系数之间的内在联 系，写出含有其规律的分式方程， 并将待求分式方程转化为具有这 样规律的分式方程的一般形式.解 答这类问题，往往需要渗透整体思 想和转化思想， 第2课时分式方程的增根 1.D2.D3.x=44.1 5.(1)方程两边同乘2(x-1),得 3-4x+4=2x,解得x= 7 61 检验：当x名时，2一1D 3*0 是原分式方程的解。 .x=6 (2)方程两边同乘(x-1)(x十2)，得 (x+1)(x-1)-x(x+2)=-5.x 7,解得x=一2. 检验：当x=一2时，(x一1)(x+2)= 0,则x=一2是增根 ∴.原分式方程无解 6.A解析：方程两边同乘x一4，得 x+k十2k=3(x-4),解得x= 3十12：关于x的分式方程 2 普-汽=8的解为负数 :.3十12<0，即3十12<0，解得 2 k<一4.x一4≠0，即x≠4， :6,2≠4，解得及≠-寺 4 2 .k<-4 7.B解析：方程两边同乘x一1，得 m+2(x-1)=3,解得x=5,m 21 ·分式方程的解为非负数，.5一 m≥0且5，”≠1，解得m≤5且m≠ 2 3..正整数m可取1,2,4,5，共 4个. 8.B解析：方程两边同乘x(x十1)， 得3(x+1)+a.x2=2.x(x+1)一3.x. 把x=一1代入整式方程，得a=3. .'.2a-3=6-3=3. 9.3解析：方程两边同乘y十1，得 m-1=2(y+1)+1-y,解得y= m一4.·分式方程的解为负数， ∴.m-4<0且m-4≠-1，解得m< 4且m≠3.又.m为非负整数， .m=2,1,0.2+1十0=3，.所 有满足条件的非负整数的值之和 为3. 10.4或8解析：：30+ x2-2.x 是+2 x-2= 2x-2.当x2-2x≠0时，原式可化 x2-2.x 为3x-a十x=2x一4，.2x=a-4. 分式方程有增根，.x=0或x= 2.当x=0时，a=4;当x=2时，a= 8.综上所述，实数a的值是4或8. 1山.。或1解析：方程两边同乘x 3,得x-3a=2a(x-3).整理，得 (1-2a)x=-3a.当1-2a=0,即 a=2时，整式方程无解，此时原分式 方程无解.当1-2a≠0，即a≠2时， 原分式方程无解，则原分式方程的解 为增根，即x=3.把x=3代人(1 2a)x=-3a,得(1-2a)×3=-3a, 解得a=1.综上所述，a的值为2 或1. 一方法归纳 正确理解分式方程无解的意义 解分式方程的过程中，常常在 分式方程两边同乘最简公分母，将 分式方程转化为整式方程，使得方 程容易产生增根，检验后可能出现 原分式方程无解，也可能出现所得 的整式方程无解，即a.x=b中a= 0,b≠0时的情形.因而，当含有参 数的分式方程无解时，往往需要分 类讨论，从而确定参数的值 12.a<2且a≠-2解析：方程两边 同乘x-2,得x十a=-3(x-2),解 得x=64.:分式方程的解大于1， 4 :>1且9≠2，解得a<2且 a≠-2. 13.(1)方程两边同乘(x十2)(x 2),得3(x-2)+(x+2)(x-2)= x(x十2)，解得x=10. 检验：当x=10时，(x十2)(x一2)= 96≠0. ∴x=10是原方程的解. (2)方程两边同乘x一1，得3.x十2= x-1,解得x=-3 2 检验：当=一号时一1= 5 2*0 .x= 号是原方程的解 (3)方程两边同乘(.x+2)(x一2)，得 x(x十2)一(x十+2)(x一2)=8，解得 x=2. 检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0, 则x=2是增根， 原方程无解。 14.方程两边同乘(x一1)(x十2)，得 2(x+2)+m.x=x-1. 整理，得(m十1)x=一5. (1)将x=-2代入(m+1)x=-5, 得(m+1)×(-2)=一5，解得m=2 3 47 (2)方程无解， .分情况讨论 若m十1=0，即m=-1,则整式方程 无解，此时原分式方程无解 若m十1≠0，即m≠-1，则方程有增 3 根当x=一2时，由(1)知，m=2 当x=1时，m+1=-5,解得 m=6. “m的值为号或-6或-1 15.A解析：方程两边同乘x(x 3),得(2m十x)x一x(x一3)=2(x 3).整理，得(2m+1)x=一6.若分式 方程有增根，则x=0或x一3=0，即 x=0或x=3.当x=0时，(2m+1)· 0=一6无解；当x=3时，6m+3= -6,解得m=一三，若整式方程无 解，则2m十1=0，解得m=-之 1 .选项A错误，符合题意，选项B,C, D正确，不符合题意 16.(1)一元一次方程3-2(1-x)= 红与分式方程2-1=一不 是“相似方程” 理由：解一元一次方程3-2(1一x)= 4r,得x=2 1 解分式方程经号-1=六得 4 1 x21 经检验x=7是原分式方程的增根。 原分式方程无解。 .一元一次方程3一2(1一x)=4x与 分式方程1 2.x+1 一不是“相 似方程” (2)由题意，得两个方程有相同的整 数解， ∴.mx+6=x十4m. .'.(m-1)x=4m-6. ①当m一1=0时，方程无解 ②当m-1≠0，即m≠1时，x= 4m-6 2 m-,即x=4m气 x,y,m均为整数， .m-1=1,2,-1,-2,即m=2,3, 0,-1. 又，m为正整数， .m的值为2或3. 第3课时用分式方程解决问题 1.A2.C3.284.15 5.设模型A每小时能处理xGB数 据，则模型B每小时能处理(x十 10)GB数据， 根据题意，得。一，解得 x+10 x=20. 经检验，x一20是所列方程的解，且符 合题意 '.模型A每小时能处理20GB数据. 6.C解析：设甲厂单独完成这项任 务需x天，则乙厂单独完成这项任务 需位十天由题意，得十产 1,解得x=20.经检验，x=20是所列 分式方程的解，且符合题意..x十 5=25..方案①需要的费用为1.5× 20=30(万元)：方案②需要的费用为 1.1×25=27.5(万元)，但乙厂单独完 成这项任务超过了工期，不能选；方案 ③需要的费用为1.5×4十1.1×20 28(万元).：30>28，∴.在不耽误工 期的前提下，方案③最节省费用： 7.C解析：设原计划每间教室的改 造费用是x万元，则实际每间教室的 改造费用为(1+20%)x万元.根据题 80十40-80=5，解得x= 意，得1十20%)zx 4.经检验，x=4是所列方程的解，且 符合题意..(1十20%)x=1.2×4 4.8..实际每间教室的改造费用是 4.8万元. 8.2解析：设该旅游景点在设施改 造后平均每天用水x吨，则在改造前 平均每天用水2x吨.根据题意，得 2020 x 2x =5,解得x=2.经检验，x=2 是原分式方程的解，且符合题意. ,'.该旅游景点在设施改造后平均每 天用水2吨 9.(1)设小刚步行的平均速度是 xm/mim,则小刚骑自行车的平均速 度是2.5.xm/min. 由题意，得120-}200=9，解得 2.5x x=80. 经检验，x=80是所列分式方程的解， 且符合题意 ∴.小刚步行的平均速度是80m/min. 1200 (2).十)5×80 十2= 80 23(min),2325, ∴.小刚能在电影放映前赶到电影院 10.240解析：设这批货物共x吨 甲车每次运a吨，乙车每次运3a吨， 丙车每次运b吨.根据题意，得 f120_x-120 b x-120_x-180 180x一180 120 60 3a b 解得x=240.∴.这批货物共240吨. 11.(1)设每千克“樱珠”的进价是 x元，则每千克“樱桃”的进价是(x一 8)元 根据题意，得1134一630 x 8解得 x=18. 经检验，x=18是所列方程的解，且符 合题意. .x-8=10. ∴.每千克“樱珠”的进价是18元，每 千克“樱桃”的进价是10元， (2)设购进a千克“樱珠”，则购进 (60一a)千克“樱桃”. 根据题意，得18a十10(60一a)≤ 1000,解得a50. 48 设总利润为心元。 根据题意，得=(30-18)a十(18- 10)(60-a)=4a+480. 4>0, ∴.e随a的增大而增大. .当a=50时，w有最大值，w最大= 4×50+480=680,此时，60-a=10. ∴.该水果商城应购进50千克“樱珠” 和10千克“樱桃”，使得第二批的“樱 珠”和“樱桃”售完后获得的利润最大， 最大利润是680元. 专题特训九分式求值的 方法与技巧 1.2 2.原式-（ 名)小 m2-1=m-3 m2-6m+9m-1 (m+1)(m-1)_m+1 (m-3)9 n-3 当加=5时原式}8 3.原式= 号-) x-V “=(2) =2y=(-2025)°=1， 原式号2 4.4解析：x2-5.x=-5, x+ =x(x-1D+1 x-1 x-1 x2-x+1_x2-5x+4x+1 x-1 x-1 -5+4x+1_4x=4_4(x-1D=4, x-1 x-1x-1 5.-5 12 6解析：b2 a+b bc=3, bc拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 10.5分式方程 第1课时 分式方程的概念 >“答案与解析”见P46 ☑基础进阶 (2)2x 222 x(x-2) 1.给出下列关于x的方程：①3-1：②3 5 2®+-：®营十是成其中，是分式 5+x 方程的有 ( 幻素能攀升 A.①② B.②③ 6.(2024·济宁)解分式方程1一 C.③④ D.②③④ 3x-1 2.(2025·深圳)某社区在公园植树60棵，实际 2一6x时，去分母变形正确的是 5 () 种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每 A.2-6.x+2=-5B.6x-2-2=-5 人种植的棵数比原计划少了3.若设原计划 C.2-6x-1=5 种植人数为x,则可列方程为 D.6x-2+1=5 ( ) A.6060 6060 7. x 2x =3 E知代数式2与， 的值相等，则x的 值是 ( 60=2X60 x+3 D 60=2×60 x-3 A.4 B.5 C.6 D.7 8.新考法·新定义题研究15,12,10这三个数的 B)(2025·徐州D分式方程=，2的解 为 倒数发现之品。我们陈1512。 ②(2025·成汉)方程，=兰的解 4 10这三个数为一组“调和数”.现有一组“调 和数”：x,5,3(x>5),则x的值是() 是 A.7 B.15C.25D.不存在 4若关于x的方程，”=2的解是x=3,则a 9.(2025·江西)小美家有一辆燃油汽车和一辆 纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的 的值为 路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路 5.解方程： 程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多 (1)3 2 ）x1-1=3-3z 50元，求纯电汽车每百公里的耗电费.设纯 电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式 方程为 10.定义新运算：对于任意不为0的实数a,b, 都有a大6=}名：等式右侧是通常的混合 6一的解是 运算，则方程x★(2-x)=2一2z 92 第10章分式 11(2025·成海)解分式方程：号-1= 14.*有下列一组方程：0工+2=3： 1 1-2x1 ②x十6=5：③x+12-7…,小 明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺 利地求出了前三个方程的解，他的解题过程 如下： ①由x+1X2-1+2,得x=1或x=2: x ②由x+2X3-2+3,得x=2或x=3: ③由x+3X4=3+4,得x=3或x=4: 12当x为何值时，分式的值比分式 (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题 '的值大3y 思路求出该方程的解， (2)若n为正整数，请写出第n个方程及该 方程的解。 (3)若n为正整数，且关于x的方程x十 n2+”=2m-1的一个解是x=10,求n x+2 的值. 思维拓展 1日释方月”日会 21-2x19-2x 19-2x17-2x 93 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 第2课时 分式方程的增根 》“答案与解析”见P46 自基础进阶 幻素能攀升 1对于分式方程，二2十4有下列说法： 6.(2025·龙东地区)已知关于x的分式方程 x十k 2k ①最简公分母为(x一4)2；②转化为整式方 x-44-x =3的解为负数，则k的取值范 程是x=2+4,解得x=6;③原方程的解为 围是 ( ) x=4;④原方程无解.其中，正确的有( A.k<-4 A.4个B.3个C.2个D.1个 B.k>-4 2+2-3=m 2若关于x的分式方程工。 +2有增 C≠-4且≠一音 根，则m的值是 ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 Dk>-4且k夫一3 3分式方程+ 1 x(x-2)- 的解为 2x 7尼知关于x的分式方程%+2=已的 解为非负数，则满足条件的正整数m共有 4小颍在解分式方程一？=△ 3x3十2时，发现 () A.3个 B.4个 “△”处被污染导致看不清了.已知“△”处是 C.5个 D.6个 一个常数，且此方程无解，请你帮小颖猜测一 8若关于x的方程十纤2布增根 3 下“△”处的数应是 5.解分式方程： x=-1,则2a-3的值为 ( 3 02x22 A.2 B.3 C.4 D.6 9若关于：的分式方程=2+ y+1 的解为 负数，则所有满足条件的非负整数m的值之 和为 (2)x+1x 10.若分式方程31二”+】。=2有增根，则 -5x-7 x2-2x x-2x x+2x-1(x-1)(x+2) 实数a的值是 3a=2a无 1.*若关于x的分式方程，二3十 解，则a的值为 12已知关于工的方程十2=一3的解大于1， x-2 则a的取值范围是 94 第10章分式 13.解方程： 思维拓展 )(2021,稻建)手2十1=2 3 15.分类讨论思想对于关于x的分式方程 x-2 2m十x-一1=2，下列说法中，错误的是 x一3 () A.若分式方程有增根，则增根是x=0或 x=3 3x2=1. (2)-11-x B若分式方程有增根，则m三一 C若分式方程无解，厕加=一2或m二 2 D.若分式方程有增根，则增根是x=3 16.新考法·新定义题给出以下两个定义：①若 (3) 8 x21 两个方程有相同的一个解，则称这两个方程 x2-41 为“相似方程”；②若两个方程有相同的整 数解，则称这两个方程为“相伴方程” (1)判断一元一次方程3一2(1一x)=4x与 分试方程经斗-1=与是否为相似 14已知关于x的分式方程，名十 方程”，并说明理由. (2)已知关于x,y的二元一次方程y= mx mx十6与y=x十4m是“相伴方程”，求正 (x-1)(x+2)x+2 整数m的值. (1)若该方程有增根，且增根为x=一2，求 m的值. (2)若该方程无解，求m的值. 95 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 第3课时用分式方程解决问题 ●“答案与解析”见P48 自基础进阶 少GB数据（备注：GB为数据的存储单位）. 1.随着快递业务量的增加，某快递公司为快递 员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的 能力由每周3000件提高到4200件，平均每 人每周投递的快件量比原来多80件.若快递 公司的快递员人数不变，则原来平均每人每 周投递的快件量为 ( A.200件 B.210件 C.250件 D.260件 2.某服装店用4000元购进一批某品牌的文化 衫若干件，很快售完，该店又用6300元购进 第二批这种文化衫，购进的件数比第一批多 司素能攀升 40%,每件文化衫的进价比第一批每件文化 6.(2025·泰安模拟)某市需要紧急准备一批民 衫的进价贵10元，则第一批购进的文化衫的 生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂投 件数为 标.甲厂加工一天需向其支付货款1.5万元， 乙厂加工一天需向其支付货款1.1万元.负 A.46 B.48 责人根据甲、乙两厂的投标测算，得到三种方 C.50 D.52 案：方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期 3.现有一项工程，甲单独做需要21天完成，甲、 完成；方案②：乙厂单独完成这项任务比规定 乙合作需要12天完成.如果乙单独做，那么 工期多用5天；方案③：若甲、乙两厂合作 需要 天完成 4天后，余下的由乙厂单独加工也正好如期 4.某电力公司有A,B两种型号的高压线智能 完成.在不耽误工期的前提下，最节省费用 巡检机器人，A型机器人比B型机器人每小 的是 ( 时多巡检3km线路，A型机器人巡检75km A.方案① B.方案② 线路所用时间与B型机器人巡检60km线路 C.方案③ D.方案①和方案③ 所用时间相等，则A型机器人每小时巡检 7.(2025·安徽模拟)为改善办学条件，提升教 km线路， 学质量，某校计划投资80万元对教室进行升 5.(2025·大庆)某公司开发了两款AI模型，分 级改造.为了保证质量，实际每间教室的改造 别为模型A和模型B.由于工作需要，公司同 费用比原计划增加了20%，并比原计划多改 时使用这两款模型处理数据.已知模型B比 造了5间教室，总投资追加了40万元.根据 模型A每小时多处理10GB数据，模型B处 题意，实际每间教室的改造费用是() 理300GB数据的时间与模型A处理200GB A.3万元 B.4万元 数据的时间相同，求模型A每小时能处理多 C.4.8万元 D.6万元 96 第10章分式 8.为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设11.“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”.樱桃 施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙 是一种营养丰富的水果，富含维生素C,花 头.已知该旅游景点的设施改造后，平均每天 青素以及铁元素等，深受人们喜爱.某水果 的用水量是原来的一半，20吨水可以比原来 商城为了了解两种樱桃的市场销售情况，购 多用5天.该旅游景点在设施改造后平均每 进了一批质量相等的“樱珠”和“樱桃”供客 天用水 吨 户对比品尝，其中购进“樱桃”用了630元， 9.新考法·探究题小刚到离家1200m的电影 购进“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱 院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此 珠”的进价比每千克“樱桃”贵8元 时距电影放映还有25min,于是他立即步行 (1)求每千克“樱珠”和“樱桃”的进价各是 回家，在家拿钱包用了2min,然后骑自行车 多少元 返回电影院.已知小刚骑自行车的平均速度 (2)若该水果商城决定再次购进同种“樱 是步行平均速度的2.5倍，小刚骑自行车到 珠”和“樱桃”共60千克，且再次购进的费用 电影院比他从电影院步行到家少用了9min. 不超过1000元，每种樱桃的进价均保持不 (1)求小刚步行的平均速度！ 变.若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的 (2)小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 销售单价为18元，则该水果商城应如何进 货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获 得的利润最大？最大利润是多少元？ 缈思维拓展 10.一批货物准备运往某地，有甲、乙 丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙 三辆卡车每次的运货量不变，且 甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1：3. 当甲、丙两车合运相同次数运完这批货物 时，甲车共运了120吨，当乙、丙两车合运相 同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨， 则这批货物共 吨 97