10.1-10.2 分式的概念 分式的基本性质-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

第10章分式 10.1分式的概念 >“答案与解析”见P41 ☑基础进阶 5. 已知分式红十”(m,n为常数)与x x-m 1.若分式，乙有意义，则x的取值范围是 的部分对应值如下表： ( -12 -4 4 12 A.x=0 B.x≠0 2x+n 无意义 0 6 x-m C.x≠1 D.x≠0且x≠1 2.在一块b公顷的稻田上插秧.如果10个人插 下列结论中，错误的是 秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，要 A.a=-1 B.m=-4 比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的 C.b=1 D.n=-8 工作效率是一个人的工作效率的 倍. x+2 6.已知分式x一4x+ ,当x=1时，分式无意 30当-1时求分式的值 义，则a= 7.(I)对于分式x十a+b a-2b+3. ,当x=1时，分式的 值为0，当x=一2时，分式无意义，试求a,b 的值 (2)已知a一4a+4与|b一1|互为相反数， 求+房的值 ②》当x为何整数时，分式，2的值是整数 幻素能攀升 4已知分式a(6-c)+b(c-b) 有意义，且值为 a-c 0(a,b,c均为正实数).如果以a,b,c的值为 三条线段的长构造三角形，那么此三角形一 定是 ( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 82 第10章分式 10.2分式的基本性质 第1课时分式的基本性质 “答案与解析”见P41 山基础进阶 S 可化简为 5(x-2) 若5=2)则x满足的条件是( A.x≠0 B.x≠2 C.x≠0且x≠2 D.x≠0或x≠2 2.填空： ① (第5题) (1)、1 () 6.不改变分式的值，把下列各分式的分子和分 mn 4m°n 母中各项的系数化为整数： (2) a2+ab ( 0.2x-1 3.不改变分式的值，使下列分式的分子、分母中 (1)0.02-0.2x 0.3x-0.031 (2) 12· 的首项的系数都不含“一”号. 4x-3y -x-1 (1)-z2-3x+1 (2)- 2y-3 -y2+2y-51 7.不改变分式的值，把下列分式的分子与分母 分别按x的次数从高到低的顺序排列，并分 别把最高次项的系数化为正数， (1) 2-x (2)Ta3+a2-1 -x2+3 1-a2-a3 幻素能攀升 4要使分式士”的值变为原来的 4倍，则应将 ( 80若号-音-0求十2，的值 A.y的值变为原来的4倍，x的值保持不变 B.x的值变为原来的4倍，y的值保持不变 C.xy的值都变为原来的4倍 D.x,y的值都变为原来的2倍 (2)已知片--5，求+2b30日 5.数形结合思想如图①所示为一个边 h a a一ab-b的值 长为a(a>1)的正方形剪去一个边 长为1的小正方形后得到的图形， 如图②所示为一个边长为a一1的正方形.记 图①②中涂色部分的面积分别为S1,S,,则 83 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 第2课时分式的约分 》“答案与解析”见P42 自基础进阶 8.*已知2x+3y-5x=0,3x-2y+ 2x2-3xy 1.下列式子的化简结果一定为”的是 ( n 12x=0(x≠0).求12y干9y 4. B.in2 n+2 c D.m-1 的值 n-1 2若m为实数，分式不是最简分式，则 m= a3②y 3有下列分式：①0+3 2m'n 9.新考法·新定义题我们给出定义：若一个分式 ④ m十其中，最简分式有 个. 约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分 4.约分： 式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整 (1) 2xyz a2-4 式”.例如：红8z=4红（x二2=4x,则称 4xyz (②)a-4a+4 x-2 分式是巧分式，为它的“可整 式”根据上述定义，解答下列问题。 幻素能攀升 5.下列约分结果中，正确的是 (1)有下列分式：①-1)2x一3)(x+2) (x-1)(x+2) A. a十m_a b+m b @中，是巧分式”的有 ②2x+5 x十y B. x2-y2 (填序号. x-y =x一y C. -m2+2n-1 (②)若分式1+(mm为帝数是“巧 =-m+1 x十n m-1 分式”，它的“巧整式”为x一7，求m,n的值 D. 6xy 3x2y3 =2xy2 3)若分式x千的“巧整式”为1一x 6.若m为整数，则能使2m2也为整数的m的 m2-1 请判断2+4，十2江是否为“巧分式”，并说 A 值有 () 明理由. A.1个B.2个C.3个D.4个 7.设a+b+c=abc(abc≠0)，化简： [a(1-b2)(1-c2)+b(1-c2)(1- o)+e1-a1-刀·应 84 第10章分式 第3课时 分式的通分 ●“答案与解析”见P42 山基础进阶 1 2)分式2与2-2217 r2-E 的最简公分母 1(2025·南京期未)分式与的最简公 是 分母是 ( 6.李伯伯种植了x公顷的棉花，总产量为 A.4m2B.4m3 C.8m2 D.8m3 y千克，小麦的种植面积比棉花的种植面积 1 少公顷，小麦的总产量比棉花的总产量的 2.将分式6y2 8y通分时，需要将分式 1 3倍多千克.写出表示棉花和小麦的单位 1 面积产量（千克/公顷）的式子.如果两式的分 的分子与分母同乘 6xy ,将分式 母不同，那么请将两式通分， &y的分于与分母同乘 1 3.通分： 31 (1) 2x2'3y2 7.*已知a,b为实数，且ab=3,a十 2 1 b=4. 0通分司品 (2)求8的值 幻素能攀升 2 4把3a+6十2a十1'0+3212通分后.名 分式的分子之和为 ( A.2a2+7a+11 B.a2+8a+10 C.2a2+4a+4 D.4a2+11a+13 51分式n与g的及简公分母是 85[综合素能提升] 1.A 2.C解析：(x-6)(x十2)=x2十 2x-6.x-12=x2-4x-12,(x+8)· (x一4)=x2一4x+8.x一32=x2+ 4x-32.:分解因式x2十m.x十n时， 甲看错了m的值，分解的结果是(x 6)(.x十2)，乙看错了n的值，分解的 结果为(x十8)(x-4),∴.n=-12, m=4. 3.3(x+y)(x-y)4.2(x-3y) 5.(m-1+n)(m-1-n) 6.a2(a-1)+a(a-1)+(a-1) (a-1)(a2+a+1) 7.2026解析：x2+x-1=0, .x2+x=1..x3+2x2+2025= x3+x2+x2+2025=x(x2+x)+ x2+2025=x+x2+2025=1+ 2025=2026. 8.(1)3(a-b)2. (2)(m-2)(x+y)(x-y). 9..4m+n=40,2m-3n=5, ∴.(m+2n)2-(3m-n)2=(m+ 2m+3m-n)(m+2-3m+n)= (4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)· (2m-3)=-40×5=-200. 10..x2+y2-4x+6y+13=x2 4x+4+y2+6y+9=(.x一2)2+ (y+3)2=0,(x-2)2≥0，(y+ 3)≥0， .x-2=0,y+3=0,即x=2, y=-3. .原式=(x-3y)2=[2-3× (-3)]2=121. 11.(1)答案不唯一，如32 (2)“正巧数”能被8整除. 理由：(2k+1)2-(2k-1)2=[(2k+ 1)+(2k-1)][(2k+1)-(2k- 1)1=4k×2=8k. ,k是正整数， '.8k能被8整除 ∴.(2k十1)2-(2k-1)2能被8整除. ∴.“正巧数”能被8整除。 (3)(m-7)(m+7)+n2-2= m2-72+n2-2mm=(m-n)2-72. .(m-7)(m+7)+n2-2mm是“正 巧数”， ∴.m-n=9. 第10章分 式 10.1分式的概念 1c2 3.(1)当x=一1时，原式= -1-1 2 2×(-1)2+1 =3 (2):a2-4a十4与b-1|互为相 反数， ∴.a2-4a+4+b-1=0. ∴.(a-2)2+1b-1=0. .(a-2)2≥0，b-1|≥0， ∴.a-2=0,b-1=0. ..a=2,b=1. g-b_2-11 ”a+b2+13 4.A解析：原式 a(b-c)-b(b-c)_(b-c)(a-b) a-c u一c 根据题意，得b一c=0或a一b=0且 a一c≠0，.b=c或a=b且a≠c. ∴.此三角形一定是等腰三角形 5.A解析：当x=一4时，分式无意 义，即-4-m=0,∴.m=-4.当x= 4时，分式的值为0，即2×4十n=0, n=-8.·该分式为28当 x+4 x=-12时，a= 2×(-12)-8=4, -12+4 当x=12时，6=2X128-=1. 12+4 6.3解析：把x=1代人，得 1-4+aa-3此时分式无意义， 1+23 41 ∴.a-3=0,解得a=3. 7.(1):当x=1时，分式的值为0， .1+a+b=0且a-2b+3≠0. 当x=一2时，分式无意义， .a-2b-6=0. 1+a+b=0, 联立，可得{a一2b十3≠0，解得 a-2b-6=0, 4 a=3’ 1b= 3 (2):分式，产的值是整数，且x为 整数， .x-2的值可以为-6，一3，-2， -1,1,2,3,6,即x的值为-4，-1,0， 1,3,4,5,8. 10.2分式的基本性质 第1课时分式的基本性质 1.C2.(1)4m2 (2)a+b 30)原式出一 (2)原式= 2y-3 y2-2y+51 4C解析：对于A,+4 。+16心，故A不符合题意：对于B, 4+y=16+立，故B不符 4x 4x 合题意；对于C,4)+(4y) 4x 16x2+16y2=4z2+4y,故C符 4.x x 合题意；对于D, (2.x)2+(2y)2 4x2+42_2z+2y,故D不符合 2.x 题意 a-1 解析：根据题意，得S1= a-1,s:=(a-1),a>1,则 S2 a2-1=(a-1)(a十1-a+ (a-1) (a-1)2 a-1 6.(1)原式=30x-3 2-20z (2)原式=12x-30y 15.x-40y 10原式号 (2)原式=a3-a2+1 a3+a2-1 及1)设兰-音-音-k≠0，则x 2k,y=3k,之=4k. 2k一3k4k ·原式=3×2k+2×3h-4 5 (2)由题意，知ab≠0，a-b=5ab, ·原式=3(a-b)+2ab (a-b)-ab 15ab+2ab_17ab_17 5ab-ab 4ab 4 第2课时分式的约分 1.C2.0或-43.2 4山原式 (2)原式=u+2(a-2)_a+2 (a-2)2 a-2 5.C解析：十是最简分式，不能 约分，故A不符合题意，少 x-y (x+y)(x-y) =x十y,故B不符合 x一y 题意：m2+2m二1=二(m-1D m-1 m-1 -m十1，故C符合题意：3y 6xy ,故D不符合题意 2 6.C解析：2m-2 m2-1 m+1D(m-)m十为整数，且m 2(m-1) 2 为整数，.m+1=一1或1或一2或 2且m-1≠0能使0也为 整数的m的值为0，一2，一3，共3个 7.4解析：设A=a(1-b2)(1 c2)+b(1-c2)(1-a2)+c(1-a2)· (1-b2)=a(1-b2-c2+b2c2)十 b(1-c2-a2+a2c2)+c(1-a2 b2+a262)=(a+b+c)-ab (a+ b)-bc(b+c)-ac(c+a)+abc (ab+ ac+bc).a+b+c=abxc,..A= abc-ab (abc-c)-bc (abc-a)- ac(abc-b)+abc (ab+ac+bc)= abc-abc (ab-1+bc-1+ac-1)+ abc (ab+ac+bc )abc+3abc= 4abc..原式=4abc· 1一4. abc |2x+3y-52=0, 8.由题意，得 3.x-2y+12z=0, x=-2z, y=3z. 2x2-3xy x(2x-3y) 4x2-12.xy+9y2 (2x-3y)2 2x 2.x-3y2×(-2z)-3X3z13 方法归纳 设立新的未知数解决问题 解决这类两个方程中含有三 个未知数的问题时，常常将其中的 两个字母看成是未知量，另外一个 字母看成是已知量，用这个已知量 分别表示另外两个未知量，进而将 待求的分式转化为只含有一个已 知量的分式，再运用约分将分式进 行化简求得结果. 9.(1)①③. 解析：：-1(2x-3)(x+2) (x-1)(x+2) 2x一3,2x一3是整式，.①是“巧分 式：2十不能约分，②不是 x+3 “巧分式”y x十y (x-y)(x+y) =x一y,x一y是整 x十y 42 式，③是“巧分式” （2):分式二4红+m(m,n为常 x+n 数)是“巧分式”，它的“巧整式”为 x-7, .(x+n)(x-7)=x2-4.x+m. ∴.x2+(1-7)x-7n=x2-4x十m. .∴.n-7=-4,-7n=m. ∴.n=3,m=-21. （3)23+4+22是巧分式” A 理由“分式2+2匹的巧整式 A 为1-x, A=-2x3+2z=2z1- 1一x 1-x 2x1+x)1-x）=2x(1+x),即 1-x A=2x2+2x. 2+4x2+2_2z(x2+2x+1 2x2+2.x 2x(x+1) (x+1)2 =x十1，x十1是整式， x+1 :2+42+2匹是“巧分式” A 第3课时分式的通分 1.A2.4cy32 3 3.(1) 9y1 2xy 6y3 2x 6x2y2 2 2(x+1) (2) x2-xx(x+1)(x-1) 1 x-1 x2+xx(x+1)(x-1) 4.A 5.(1)m(m+3)(m-3) (2)x(x-1)2 6.棉花的单位面积产量为义 y一my(千克/公顷). x2-mz 小麦的单位面积产量为3y+” x-m 3zy十2（千克/公顷）. x2-mx 7.(1)0-1a-1)6+1D a+1(a+1)(b+1) ab+a-b-1 b-1 ab+a+6+1'6+1 (b-1)(a+1)ab-a+b-1 (b+1)(a+1)ab+a+b+1 (2).ab=3,a+b=4, ∴.(a-b)2=(a+b)2-4ab=4. .a-b=2或-2. 当a一b=2,ab=3,a+b=4时， a-1_ab+a-b-13+2-11 a+1ab+a+b+13+4+1-2 当a-b=-2,ab=3,a十b=4时， u-1-ab+a-b-1_3-2-}-0. a+1ab+a+b+13+4+1 综上所述，8号的值为或心， 方法归纳 通过整体运算解决 代数式求值的问题 解决这类与代数式的值有关 的问题时，常常需要对代数式进行 整体变形或化简.对于分式的变 形，一定要注意满足分式的基本性 质.解答的过程中，对于可能出现 的情形需要分情况加以讨论，再确 定是否满足条件，并求得所有可能 出现的结果 10.3分式的加减 1.A2.C3.(1)a-1(2)2 1 4.+2 5山原式=是是品 (a-1)2 (2)原式=(a十Da-D十 Aa a2-2a+1+4a (a+1)(a-1) (a+1)(a-1) (a+1)2 a+1 (a+1)(a-1)a-1 6.C解析：2+方=1a+b≠ 0,2b士4=1.4+2b=ab. ab .atab_atat26_2(atb)-2. a+b a+b a+b 7A解析：A十B m-1m-2 A(m-2) B(m-1) (m-1)(m-2)十(m-1)(m-2) (A+B)m-(2A+B .A (m-1)(m-2) m-1 B 3m-4 m-2(m-1D(m-2).A+B= 3,2A+B=4,解得A=1,B=2. 1 8.C解析：'ab=1,.P= a+1 1b+1+a+1 b+1(a+1)(b+1) a+b+2 a+b+2 =1,Q= ab+a+b+1 a+6+2 号+务-+出 b (a+1)(b+1) 2ab+a+b_a+b+2 ab+a+b+1 a+6+2 =1. .P=Q. 9.互为相反数解析：，B= 1 1 1 1 x+2+2-x=x+2-=2 = -2--2=4 4 x2-4 2-4而A=-4 .A与B之间的关系是互为相反数. 10.6-a 解析：被覆盖的部分 b2-a2 是a(a+b)-a十b-aa+b) (b+a)(b-a)b-a a(a+b) a 11.一解析：设小丽走第一条路所 用的时间为t1h,走第二条路所用的 时间为t3h六=，4=0 3 3-5=9 2=30:14=203067 品品>0品<0，即 t1<t2.∴.小丽走第一条路花费的时 间较少 12.(1)原式=2a-3a+2_a-1 a+1a+1' (2)原式=x1 x2-1x2-1 x+1 1 x2-1x2-1 43 2 (3)原式= a(a-2)a(a-2)= 2-a 1 a(a-2)= a 13.1)11 n n+l 1 n(m+D= (n+1)-=n+1 n(n+1) n(+1) n 11 n(n十1)n2+1 1 1 1 (2)原式=中一十2十x十2 111 x+3z+32+4++ 1 1 1 x+2024x+2025x+1 1 2024 x+2025(x+1)(x+2025) 原式-00 b-c)+6-@+c-a)+(c-b= (b-c)(b-a) (c-a)(c-b) a-b a-c a-b)a-c）+(a-ba-c b-c b-a b-c)(6-a+6-c)6-a c-a c-b (c-a)(c-b)+ (c-a)(c-b) 1 1 0. c-a 14.(1)A与B互为“和整分式”. :A=-7 2x+1 22,B x-2 :A十B=?+2红士 x-2x-2 x-7+2x+1_3x-6_3(x-22 =3. x-2 x-2 x-2 ∴.A与B互为“和整分式”，“和整值” k=3. (2):C-3x-4 G x-2 D x2-4 3x一4， .C+D= G x-2+x2-4 (3.x-4)(x+2) G (x+2)(x-2) +x+2)0x-2 3.x2+2x-8+G (x+2)(x-2)