第9章 因式分解—— 因式分解的应用 计算天天练 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第九章 因式分解 第九章 因式分解 知识点4 因式分解的应用（一） 1 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．按“智慧数”从小到大的顺序逐一列举：3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12，9＝52﹣42，11＝62﹣52… （1）第8个“智慧数”是　 　 ． （2）某数学兴趣小组在上面列举的基础上发现：除1外所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 设k是正整数， ∵（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1 又∵k是正整数， ∴2k+1为大于或等于3的奇数． ∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 他们还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请你参考上面的方法进行证明． （3）用含有k的式子表示除1，2，4外的其它非“智慧数”　 　 （k是正整数）． 2．综合与应用 【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合理解掌握运算方法．如图1反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：p（a+b+c）＝pa+pb+pc． 【类比应用】 （1）任务一：观察图2，完成填空：①若x＝3，p＝q＝1，则S图2＝　 　 ． ②（x+p）（x+q）＝　 +　 x+pq ． 【综合应用】 （2）任务二：①由图3，可以得到等式：　 ． ②若实数a，b，c满足：a+b+c＝6，ab+bc+ac＝11；求a2+b2+c2的值． ③若实数a，b，c满足：8a×4b×2c＝128，9a2+4b2+c2＝17；求6ab+3ac+2bc的值． 第九章 因式分解 因式分解的应用（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．比如，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a﹣b）看成一个整体，则4（a﹣b）﹣2a+2b+（a﹣b）＝4（a﹣b）﹣2（a﹣b）+（a﹣b）＝（4﹣2+1）（a﹣b）＝3（a﹣b）． （1）已知a2﹣2a＝0，则2a2﹣4a+5＝　　 ； （2）已知a+b＝﹣5，求4（a+b）﹣7a﹣7b+1的值； （3）已知b2﹣ab＝3，a2+2ab＝4，求2b2+3a2+4ab的值． 2．先阅读下面的内容，再解决问题． 材料一：若m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，且n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3， 材料二：方程2x2+3x＝0就可以这样来解： 解：原方程可化为x（2x+3）＝0， ∴x＝0或2x+3＝0， ∴原方程的解为x＝0或， 请根据上述材料解决下列问题： （1）若x2+3y2﹣2xy+4y+2＝0，求x和y的值． （2）已知：a、b、c为△ABC的三边长，且a2﹣3bc﹣ab+3ac＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． （3）若x﹣y＝6，xy+z2﹣4z+13＝0，则x＝　　 ，y＝　　 ，z＝　　 ． 第九章 因式分解 因式分解的应用（三） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． （1）图B可以解释的代数恒等式是 　　 ； （2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解． 2．【问题提出】 计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 【问题探究】 为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母α代替，原算式化为： 1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6 然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法； ①1+a+a（1+a） ＝（1+a）+a（1+a） ＝（1+a）（1+a） ＝（1+a）2 ②由①知1+a+a（1+a）＝（1+a）2，所以， 1+a+a（1+a）+a（1+a）2 ＝（1+a）2+a（1+a）2 ＝（1+a）2（1+a） ＝（1+a）3 （1）仿照②，写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程． 【发现规律】 （2）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝　 ． 【问题解决】 （3）计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝　 （结果用乘方表示）． 第九章 因式分解 因式分解的应用（四） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．认真阅读下列材料，然后利用乘法公式尝试解答问题． 【阅读材料】 材料一 分解因式：a2﹣6a+5． 解：a2﹣6a+5＝a2﹣6a+9﹣9+5 ＝（a﹣3）2﹣4 ＝[（a﹣3）+2][（a﹣3）﹣2] ＝（a﹣1）（a﹣5）． 材料二 ∵无论a取何值，代数式（a﹣3）2的值都大于等于0， ∴当代数式（a﹣3）2减去4时，代数式（a﹣3）2﹣4的值大于等于﹣4， ∴代数式（a﹣3）2﹣4有最小值，最小值为﹣4． 【问题解决】 （1）分解因式： ①a2﹣2a﹣3； ②a2+8ab+12b2． （2）①说明：代数式﹣3a2﹣12a﹣7的最大值为5． ②求代数式2a2+12a+8的最小值． 2．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　　 ；（填序号） ①a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 ②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ③b2+ab＝b（a+b） （2）请你应用从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①若x2﹣9y2＝27，x+3y＝3，求x﹣3y的值； ②琳琳家有一块正方形地，因为修路，把这块地的东边缩短了5m．村长建议在这块地（缩短后）的南边加长5m，变成长方形地．琳琳的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而琳琳却提出了反对意见，认为这样她家这块地的面积减少了25m2．你认为琳琳的说法正确吗？为什么？ 因式分解的应用（一）参考答案 1.【分析】（1）根据题意可得12和13都是“智慧数”，据此可得答案； （2）设n是大于1的正整数，则（n+1）2﹣（n﹣1）2＝4n，根据4n是“智慧数”，即可证明结论； （3）根据（2）所求可知除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2，据此可得答案． 【解答】（1）解：∵12＝42﹣22，13＝72﹣62， ∴12和13都是“智慧数”， ∴小明列举的第8个“智慧数”是13， 故答案为：13； （2）证明：设n是大于1的正整数， 则（n+1）2﹣（n﹣1）2 ＝n2+2n+1﹣（n2﹣2n+1） ＝n2+2n+1﹣n2+2n﹣1 ＝4n， ∵n是大于1的正整数， ∴n+1和n﹣1 都是正整数， ∴4n是“智慧数”， 又∵4n能被4整除， ∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”； （3）解：由（2）可知除1外的所有奇数是“智慧数”，除4外的所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， ∴除1，2，4外的非“智慧数”一定是偶数且不能被4整除， ∴除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2， ∴除1，2，4外的非“智慧数”可以表示为4k+2， 故答案为：4k+2． 2.【分析】（1）①观察图2可知：图2的面积＝（x+p）（x+q），将x、p、q的值代入即可； ②图2的面积＝（x+p）（x+q）＝一个正方形的面积+三个长方形的面积即可； （2）①图3是边长为a+b+c的正方形，其面积＝三个小正方形的面积+6个小长方形的面积，由此可得到等式； ②将a+b+c＝6，ab+bc+ac＝11值代入①的等式即可； ③将8a×4b×2c＝128变形为：23a+2b+c＝27，得到3a+2b+c＝7．然后将9a2+4b2+c2＝17变形为：（3a）2+（2b）2+c2＝17，再利用①中的等式即可． 【解答】解：（1）①∵x＝3，p＝q＝1， ∴S图2＝（x+p）（x+q）＝（3+1）×（3+1）＝4×4＝16． 故答案为：16； ②观察图2可知：S图2＝（x+p）（x+q）＝x2+qx+px+pq＝x2+（p+q）x+pq， 故答案为：x2，p+q，pq； （2）①由图3，可以得到等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； ②∵实数a，b，c满足：a+b+c＝6，ab+bc+ac＝11， （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴62＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac） ∴a2+b2+c2＝36﹣2×11＝14． ∴a2+b2+c2的值为：14； ③∵实数a，b，c满足：8a×4b×2c＝128， ∴23a×22b×2c＝27， ∴23a+2b+c＝27， ∴3a+2b+c＝7．∵9a2+4b2+c2＝17， ∴（3a）2+（2b）2+c2＝17， ∴（3a+2b+c）2＝49， 即：（3a）2+（2b）2+c2+12ab+6ac+4bc＝49， ∴17+2（6ab+3ac+2bc）＝49， 解得6ab+3ac+2bc＝16． 因式分解的应用（二）参考答案 1.【分析】（1）把a2﹣2a看成一个整体，化简整式，然后整体代入即可； （2）将待求式变形，用已知条件整体代入求解； （3）把2b2+3a2+4ab变形，然后直接代入即可解答． 【解答】解：（1）∵a2﹣2a＝0， ∴2a2﹣4a+5＝2（a2﹣2a）+5＝2×0+5＝5； 故答案为：5． （2）∵a+b＝﹣5， ∴原式＝4（a+b）﹣7（a+b）+1 ＝﹣3（a+b）+1 ＝﹣3×（﹣5）+1 ＝15+1 ＝16． （3）∵b2﹣ab＝3，a2+2ab＝4， ∴原式＝2b2﹣2ab+3a2+6ab ＝（2b2﹣2ab）+（3a2+6ab） ＝2（b2﹣ab）+3（a2+2ab） ＝2×3+3×4 ＝18． 50． 2.【分析】（1）利用完全平方公式因式分解得到（x﹣y）2+2（y+1）2＝0，得到x﹣y＝0，y+1＝0，进而求解即可； （2）利用分组分解法因式分解得到（a﹣b）（a+3c）＝0，得到a﹣b＝0，进而求解即可； （3）利用完全平方公式把x﹣y＝6变形为，将xy+z2﹣4z+13＝0变形为，再代入计算求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知x2﹣2xy+y2+2y2+4y+2＝0， ∴（x﹣y）2+2（y2+2y+1）＝0， ∴（x﹣y）2+2（y+1）2＝0， ∴x﹣y＝0，y+1＝0， 解得：x＝﹣1；y＝﹣1； （2）由条件可知a2﹣ab+3ac﹣3bc＝0， ∴a（a﹣b）+3c（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）（a+3c）＝0， ∵a、b、c为△ABC的三边长， ∴a+3c≠0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC为等腰三角形； （3）由条件可知（x﹣y）2＝36， ∴（x+y）2﹣4xy＝36， ∴， ∴， ∵xy+z2﹣4z+13＝0， ∴xy+9+z2﹣4z+4＝0， ∴， ∴x+y＝0，z﹣2＝0， ∴x＝﹣y，z＝2， 把x＝﹣y代入x﹣y＝6可得：﹣y﹣y＝6，解得y＝﹣3， ∴x＝3， 故答案为：3；﹣3；2． 因式分解的应用（三）参考答案 1.【分析】（1）根据正方形面积求出即可； （2）画出图形，即可得出答案，根据图形和矩形面积公式求出即可． 【解答】解：（1）2a2+2ab＝2a（a+b），故答案为：2a2+2ab＝2a（a+b）， （2）如图所示： 2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）． 2.【分析】（1）通过前面②的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式； （2）通过前面②的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式； 发现规律：是根据①②的结果写出结论； （3）通过前面②的例子，用提取公因式法（1+3）一步步分解因式，最后化为积的形式． 【解答】解：（1）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3 ＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3 ＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3 ＝（1+a）3+a（1+a）3 ＝（1+a）3（1+a） ＝（1+a）4； （2）由②③发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1； 故答案为：（1+a）n+1； （3）1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6 ＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6 ＝（1+3）6（1+3） ＝（1+3）7 ＝47． 故答案为：47． 因式分解的应用（四）参考答案 1.【分析】（1）①②把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，再用平方差公式进行因式分解； （2）①②把所给代数式的前两项配成完全平方式，然后整理成和原来式子相等的式子，根据完全平方式的取值范围可得所求代数式的最大（小）值． 【解答】解：（1）①a2﹣2a﹣3 ＝a2﹣2a+1﹣4 ＝（a﹣1）2﹣22 ＝（a﹣1+2）（a﹣1﹣2） ＝（a+1）（a﹣3）； ②a2+8ab+12b2 ＝a2+8ab+16b2﹣4b2 ＝（a+4b）2﹣（2b）2 ＝（a+4b+2b）（a+4b﹣2b） ＝（a+6b）（a+2b）； （2）①原式＝﹣3（a2+4a+4）+12﹣7 ＝﹣3（a+2）2+5， ∵（a+2）2≥0， ∴﹣3（a+2）2≤0， ∴﹣3（a+2）2+5≤5，即代数式﹣3a2﹣12a﹣7的最大值为5． ②原式＝2（a2+6a+9﹣9）+8 ＝2（a+3）2﹣18+8 ∵（a+3）2≥0， ∴2（a+3）2﹣10≥﹣10， ∴代数式2a2+12a+8的最小值为﹣10． 2.【分析】（1）根据图1、2分别写出阴影部分面积，再得出等式即可； （2）①将第一个式子的左边分解因式，再将x+3y＝3代入求得x﹣3y； ②根据题意列出算式，用平方差公式进行计算，再合并同类项，然后作出判断． 【解答】解：（1）根据图示，可得到的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：②； （2）①x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）， 又x2﹣9y2＝27，x+3y＝3， 所以27＝3（x﹣3y）， 所以x﹣3y＝9； ②琳琳的说法正确， 理由：根据题意，原来地边长为a，则面积为a2， 后来地的面积为（a+5）（a﹣5）＝a2﹣25， 所以她家这块地的面积减少了25（m2）． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $