8.3 三角形的中位线-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 8.3 三角形的中位线 “答案与解析”见P27 自基础进阶 (2)若BC=10,求DF的长. 1.如图，在△ABC中，AB=10,AC=7,BC 9,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点，连接 DE,EF,则四边形DBFE的周长是( (第5题) A.13 B.15 C.17 D.19 幻素能攀升 6.如图，在四边形ABCD中，P,R分别是BC, (第1题) (第2题) CD上的点，R是定点，E,F分别是AP,RP 2.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC,D是 的中点，连接EF.在点P从点C移动到点B BC的中点，AE⊥BE,连接DE,AB=5, 的过程中，下列结论中，成立的是() AC=3,则DE的长为 ( A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小 A.1 C.2 D.2 C.线段EF的长不变 3.如图，F,G,H分别是AD,BD,BC的中点， D.线段EF的长与点P的位置有关 且AB=CD,∠ABD=30°，∠BDC=80°，则 ∠GHF的度数为 P (第6题) (第7题) 7.如图，D是△ABC内部一点，AC⊥BD,且 AC=8,BD=6,依次取AB,BC,CD,AD的 (第3题) (第4题) 4.(2025·扬州)如图，在△ABC中，D,E分别 中点M,N,P,Q,并顺次连接，得到四边形 MNPQ,则四边形MNPQ的面积是( 是边AB,BC的中点，点F在线段DE的延 A.12B.16 C.24D.48 长线上，且∠BFC=90°.若AC=4,BC=8, 8.如图，在△ABC中，AB=20,AC=9,M是 则DF的长是 BC的中点，AD平分△ABC的外角∠CAE, 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E,F分 交BC的延长线于点D,过点M作MN∥ 别是BC,AC的中点，延长BA到点D,使 AD,交AB于点N,则AN的长为 AD-AB,连接DE,DP,DE交AF于 点P B (1)求证：AP=FP. (第8题) 56 第8章四边形 9.如图，在四边形ABCD中，AC平 思维拓展 分∠BAD,∠ACD=∠ABC= 12.易错题如图，在△ABC中，∠A= 90°，E,F分别为AC,CD的中 E 60°，AC>AB>2,点D,E分别在 点，∠D=a,则∠BEF的度数为 A B (第9题) 边AB,AC上，且BD=CE=2,连答案讲解 (用含α的式子表示). 接DE,M是DE的中点，N是BC的中点， 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D,E 则MN的长为 分别在BC,AC边上，连接AD,BE,M,N, H分别是AD,BE,AB的中点，连接MN, MH,NH. (1)试猜想△MNH是何特殊三角形，并说 (第12题) 明理由， 13.在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D为 (2)若AE=4,BD=6,求线段MN的长 AC的中点. (1)如图①，E为线段DC上任意一点，将 线段DE绕，点D按逆时针方向旋转90°得 到线段DF,连接CF,过点F作FH⊥FC, 交直线AB于点H,连接EF.判断FH与 (第10题) FC之间的数量关系并加以证明. (2)如图②，若E为线段DC的延长线上任 意一点，(1)中的其他条件不变，请直接判断 (1)中得出的结论是否发生改变， 11.如图，O是△ABC内一点，连接OB,OC,线 段AB,OB,OC,AC的中点分别为D,E, F,G. (1)判断四边形DEFG的形状，并说明理由. ② (第13题) (2)若M为EF的中点，OM=2,∠OBC和 ∠OCB互余，求线段BC的长， E M F (第11题) 57设FA=x,则FP=x .B'F=x-4 在Rt△ABF中，由勾股定理，得 FA2=B'F2+AB'2,2=(x- +6,解得=号 FA的长为号 ③如图①，连接AC. 由折叠的性质，得AB′=AB=6, PB'=PB ∴.△PCB'的周长=CP+PB+ CB'=CP+PB+CB'=CB+CB'= 8+CB' 易知AB'+CB'≥AC,当点B'恰好位 于对角线AC上时，AB′+CB'的值最 小，为AC的长，此时CB'的长最小， 则△PCB'的周长最小. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=√AB+BC=√62+82=10. ∴.CB长的最小值=AC-AB'=4. .△PCB'周长的最小值=8+4=12. ④AB=2HG. 理由：如图②，由折叠的性质，可知 ∠1=∠2，AB=AB',BB⊥AE. 过点B作B'M∥DE,交AE于点M. AB∥DE, ∴.AB//DE//B'M. .∠1=∠2=∠3=∠AED .AB'=B'M=AB. ∴.H是AM的中点. :∠EAB'=2∠AEB',即∠2= 2∠5， .∠3=2∠5. ∠3=∠4+∠5， .∠4=∠5. .B'M=EM. .'B'M=EM=AB'=AB :G是AE的中点，H是AM的 中点， ·.AG=2AE,AH=2AM. 1 :HG AG-AH= (AE 1 AM)=EM. HG-7AB. .∴.AB=2HG B F B' D C ① p G 3 M B D C ② (第9题) 8.3三角形的中位线 1.D2.A3.25°4.6 5.(1)如图，连接EF,AE. E,F分别为BC,AC的中点， ÷EF/AB,EF=2AB. 又：AD=AB. ∴.EF=AD. 又EF∥AD, .四边形AEFD是平行四边形 .AP=FP (2)在Rt△ABC中， .·E为BC的中点，BC=10, 1 AE=2BC=5. 又，四边形AEFD是平行四边形， .∴.DF=AE=5. B R- --P (第5题) 6.C解析：如图，连接AR.E,F 分别是AP,RP的中点，∴.EF是 △APR的中位线.·EF=2AR.由 27 题意知，AR的长不变.'.线段EF的 长不变 B (第6题) 7.A解析：M,Q分别是AB,AD 的中点，且BD=6,∴.MQ∥BD, MQ=号BD=3.同理，可得PN/ BD,PN=2BD=3,MN∥AC, MN=2AC=4.·MQ/PN,MQ PN.∴.四边形MNPQ是平行四边 形.AC⊥BD,MQ∥BD,∴.MQ⊥ AC.又.MN∥AC,.∴.MQ⊥MN. .四边形MNPQ是矩形. ∴.SI边形NpQ=MQ·MN=3X 4=12. 解析：如图，在AN上截取 NF=BN,连接CF.,M是BC的中 点，∴.MN是△BCF的中位线 .MN∥CF..·MN∥AD,∴.CF∥ AD.∴.∠AFC=∠EAD,∠ACF= ∠DAC.AD平分∠CAE, .∠EAD=∠DAC.∴.∠AFC= ∠ACF...AF=AC=9..∴.BF= AB-AF 11.NF BN, ·NP2AN=NF+AF婴 N B M C (第8题) 9.270°-3a解析：，∠ACD=90°， ∠D=a,.∠DAC=90°-a.AC 平分∠BAD,∴.∠BAC=∠DAC= 90°-a.∠ABC=90,E为AC 的中点，.BE=AE=EC. ∴.∠EBA=∠EAB=90°-a. .∠BEC=180°-2a.E,F分别 为AC,CD的中点，'.EF∥AD .∠FEC=∠DAC=90°-a. ∴.∠BEF=∠BEC+∠FEC= 180°-2a+90°-a=270°-3a. 10.(1)△MNH是直角三角形 理由：M,N,H分别是AD,BE, AB的中点， ∴.HM∥BD且HM=)BD,HN∥ AE且HN=AE. .∠AHM=∠ABC,∠BHN= ∠BAC. ∴.∠MHN=180°-（∠AHM+ ∠BHN)=180°-（∠ABC+ ∠BAC). ,∠ACB=90°， ∴.∠ABC+∠BAC=90°. ∴.∠MHN=180°-（∠ABC+ ∠BAC)=90°. ∴.△MNH是直角三角形. (2)·AE=4,BD=6, ·M=2BD=3,HN=AE=2 ,△MNH是直角三角形， ∴.MN2=MH2+NH=9+4=13. ∴.MN=√13. 11.(1)四边形DEFG是平行四边形 理由：E,F分别为线段OB,OC的 中点， EF-BC,EF//BC. 同理，可得DG=号C,G/BC. .EF=DG,EF∥DG. .四边形DEFG是平行四边形 (2)∠OBC和∠OCB互余，即 ∠OBC+∠OCB=90°， .∠BOC=90, 在Rt△EOF中， ,M为斜边EF的中点，OM=2, ∴.EF=2OM=4. .BC=2EF=8. 12.√5解析：如图，过点C作CH∥ AB,连接DN并延长，交CH于 点H,连接EH,过点C作CJ⊥EH 于点J.BD∥CH,.∠B= ∠NCH.N是BC的中点， '.BN=CN.又∠DNB= ∠HNC,'.△DNB≌△HNC .'BD=CH,DN =HN.BD= EC=2,'.CH=EC=2. '.∠CEH=∠CHE..AB∥CH, ∴.∠A+∠ACH=180°.又，∠A= 60°，∴.∠ECH=120°.∴.∠CEJ= 1 ×(180°-120)=30.又：CJ1 EH,.JC=1. JH=√5.∴.EH=2EJ=2√5. :DN=HN,.N是DH的中点. 又M是DE的中点，.MN= 2EH-. -,H (第12题) ·易错警示 未能灵活运用中点构造 三角形的中位线导致错误 解答此类题时，有的同学往往 束手无策，主要原因是未能灵活运 用图形中的中，点构造三角形的中 位线，将问题中分散的条件化归到 同一个三角形中，使所求问题得到 转化.本题中的N是BC的中点， 也可以连接DN,并延长至点H, 使得DN=NH,连接EH,CH,从 而将BD与CE化归到同一个三角 形中，且使MN成为△DEH的中位 线，只要求得EH的长即可解决问题 13.(1)FH=FC. 延长DF交AB于点G. 28 由题意知，∠EDF=∠ACB=90°， DE-DE .∠EDF+∠ACB=180. ∴.DGCB. 取AB的中点K,连接DK. D为AC的中点， ∴.DK∥BC 又.DGBC, ∴.点K,G重合，即DG为△ABC的 中位线！ .DXG-TBC. .AC=BC, ∴.DC=DG '.DC一DE=DG一DF,即EC= GF. :∠EDF=90°，FH⊥FC, .∠1+∠CFD=90°，∠2+ ∠CFD=90° ∴.∠1=∠2. .·△DEF与△ABC都是等腰直角 三角形， .∴.∠DEF=∠B=45」 DG//CB, '.∠AGD=∠B=45°」 ∴.∠CEF=∠FGH=135. ∴.△CEF≌△FGH. .CF=FH. (2)(1)中得出的结论不发生改变， 专题特训六构造三角形 中位线探究中点问题 1.B解析：如图，连接BD.E,F 分别是边AB,AD的中点，.EF是 △ABD的中位线.∴.BD=2EF= 2×4=8,EF∥BD.,∴.∠ADB= ∠AFE=52°..在△BDC中， BD2+CD2=82+62=100,BC2= 102=100,'.BD2+CD2=BC2. .∠BDC=90°.∴.∠ADC=