8.2 特殊的平行四边形-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 8.2 特殊的平行四边形 第1课时矩形的概念与性质 >“答案与解析”见P14 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相 6.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,过 交于点O.若∠AOB=60°，AB=5,则AC的 对角线的交点O作EF⊥AC,交AD于点 长为 ( E,交BC于点F,则DE的长是 ( ) A.15 B.12 C.10 D.8 A.8 B.5 C.1 D分 (第1题) (第2题) 2.将一张矩形纸片按如图所示的方式折叠， (第6题) (第7题) EN,EM为折痕，折叠后点A',B',E在同一 7.将矩形ABCD与矩形CEFG按如 条直线上.若∠AEN=32°，则∠EMB'的度 图所示的方式放置，点B,C,E共 数为 线，点C,D,G共线，连接AF,取 A.58°B.32° C.35° D.45 AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2, 3.若将如图所示的矩形ABCD放入平面直角坐 CD=CE=1,则GH的长为 () 标系中，点A,B,D的坐标分别为（一a,b), A.1 (一4,3)，(a,b),则点C的坐标为 B.3 e号 号 8.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点 (第3题) (第4题) O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交 4.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EFI AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F, EC交AB于点F,且EF=CE,DE=2,矩形 则OE+EF的值为 ABCD的周长为16，则AE的长为 5.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是AB, CD上的点，连接CE,BF,且AE=DF.求 证：CE=BF (第8题) (第9题) 9.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,过点 O作OG⊥AC,交AB于点G,连接CG.若 (第5题) ∠BOG=15°，则∠BCG的度数是 10.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的 顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴 的正半轴上，OA=12,OC=9,连接AC.若 42 第8章四边形 CD平分∠ACO,交x轴于点D,则点D的思维拓展 坐标为 13.如图，在矩形ABCD中，E为AB y 上一定点，F为BC上一动点，以 EF为一边作□EFGH,点G,H 分别在CD,AD上.若□EFGH的面积不 OD A (第10题) 会随点F的位置改变而改变，则应满足 11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点 () 为O,过点O作直线EF,交AD于点E,交 D BC于点F. (1)求证：OE=OF (2)G为DC上一点，连接EG,OG,若 (第13题) AE2+CG=EG,求证：OG⊥EF. A.AD=4AE B.AD=2AB C.AB=2AE D.AB=3AE 14.如图，在矩形ABCD中，AB=4 AD=6.延长BC到点E,使CE= 3,连接DE (第11题) (1)动点P从点B出发，以每秒1个单位长 度的速度沿B→C→D→A向点A运动，连 接AP.设，点P运动的时间为x秒，求当x 为何值时，△ABP与△DCE全等 (2)动点P从点B出发，以每秒1个单位长 12.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点， 度的速度沿着线段BE向点E运动，连接 延长CE,BA交于点F,连接AC,DF DP.设点P运动的时间为t秒，则是否存 (1)求证：四边形ACDF是平行四边形 在t,使△PDE为等腰三角形？若存在，请 (2)当CF平分∠BCD时，若CD=2,求 求出t的值；若不存在，请说明理由， BC的长 (第14题) (第12题) 43 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 第2课时 矩形的判定 “答案与解析”见P16 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2024·泸州)已知四边形ABCD是平行四 6.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD 边形，下列条件中，不能判定□ABCD为矩 到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.添 形的是 ( 加下列一个条件后，不能使四边形DBCE成 A.∠A=90° B.∠B=∠C 为矩形的是 () C.AC=BD D.AC⊥BD A.AB=BE B.BE⊥DC 2.已知四边形ABCD是平行四边形，对角线 C.∠ADB=90° D.CE⊥DE AC,BD相交于点O,添加下列一个条件后， 能判定该四边形是矩形的是 ( ) A.AB=BC B.AC⊥AB C.AO=BO D.∠ABD=∠CBD (第6题) (第7题) 3.如图，在□ABCD中，AC,BD交于点O,M, 7.如图，在锐角三角形ABC中，延长BC到点 D,O是边AC上的一个动点，过点O作直线 N是BD上的两点，BM=DN.连接AM, MN∥BC,MN分别交∠ACB,∠ACD的平 MC,CN,NA.现添加一个条件，使得四边形 分线于点E,F,连接AE,AF.有下列结论： AMCN是矩形，这个条件可以为 ①OE=OF;②CE=CF;③若CE=12,则 (写出一个即可). O℃的长为6；④当AO=CO时，四边形 AECF是矩形.其中，正确的是 () A.①④B.①②C.①③D.②③④ 8.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD (第3题) (第4题) 4.如图，在□ABCD中，AC,BD相交于点O, 相交于点O,∠ABD=∠CDB,BE⊥AC于 AC=12,当OD= 时，□ABCD是 点E,DF⊥AC于点F,且BE=DF.有下列 矩形 结论：①BE∥DF;②四边形ABCD是平行 5.(2024·长春)如图，在四边形ABCD中， 四边形；③当E是AO的中点，且∠ABE= ∠A=∠B=90°，O是边AB的中点， 30时，四边形ABCD是矩形.其中，正确的 ∠AOD=∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形. 是 (填序号) (第8题) (第9题) (第5题) 9.如图，将□ABCD的边DC延长到点E,使 CE=CD,连接AE交BC于点F,∠AFC= n∠D,连接BE,AC.当n= 时，四 边形ABEC是矩形 44 第8章四边形 10.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交的思维拓展 于点O,点E,F在BD上，AE∥CF,连接 12.如图，将□ABCD的边DC延长到 AF,CE. 点E,使CE=DC,连接AC,AE (1)求证：四边形AECF为平行四边形 BE,AE交BC于点F.添加一个 (2)若∠EAO+∠CFD=180°，求证：四边 条件，使四边形ABEC是矩形.有下列四个 形AECF为矩形. 条件：①∠DAC=∠EAC;②AD=AE; ③∠AFC=2∠ABC;④AB=AD.其中， 可选择的是 (填序号) (第10题) (第12题) 13.如图，在□ABCD中，对角线AC BD相交于点O,直线GH经过点 O,与BA,DC的延长线分别交于 点G,H,与AD,CB分别交于点E,F. (1)求证：△BOG2△DOH (2)连接AH,CG,DG.若GH=GD,当点 11.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相 C位于DH的什么位置时，四边形AHCG 交于点O,E,F分别为OB,OD的中点，延 是矩形？请说明理由 长AE至点G,使EG=AE,连接CF,CG. (1)求证：△ABE≌△CDF (2)当线段AB与线段AC满足什么数量关 系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由. (第13题) (第11题) 45 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 第3课时 菱形的概念与性质 》“答案与解析”见P17 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2024·济宁)如图，菱形ABCD的对角线 6.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于 AC,BD相交于点O,E是AB的中点，连接 点O,过点A作AE⊥BC于点E,连接OE. OE.若OE=3,则该菱形的边长为( 若OB=6,菱形ABCD的面积为54，则OE A.6 B.8 C.10 D.12 的长为 A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 D (第1题) (第2题) 2.(2025·广州二模)如图，在平面直角坐标系 第6题) (第7题) 中，□AOBC的边OB在x轴上，点A(3,4), 7.如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，M,N分 C(9,4).若将边BC向左平移，则当四边形 别是边AB,BC的中点，MP⊥CD于点P, AOBC是菱形时，平移的距离是 () 连接MN,NP,则∠NPC的度数为() A.1 B.2 C.1或11D.2或11 A.50°B.60° C.70° D.80° 3.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点 8.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的 O.若AC=24,BD=10,则菱形ABCD的周 两条对角线的长度之和为 () 长是 A.8 B.12 C.16 D.32 9.如图，菱形ABCD的周长为40，对角线AC 的长为12，E是线段CD上一点，过点E作 (第3题) (第4题) EF⊥AB,交AB于点F,则线段EF的长为 4.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,H为边AB上的一点，∠AHD=90°， 连接OH.若OA=5,OH=2,则菱形ABCD 的面积为 5.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交 (第9题) (第10题) 对角线AC于点F,交AB于点E,连接DF. 10.如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为 求证：AF=DF. 6和8，M,N分别是BC,CD的中点，P是 对角线BD上的一点，则PM+PN的最小 值是 11.(2025·湖北期末)如图，在菱形ABCD中， B 对角线AC,BD交于点O,过点O的直线 (第5题) EF分别交DA,BC的延长线于点E,F,连 接BE,DF 46 第8章四边形 (1)求证：△AOE≌△COF. 思维拓展 (2)若EF=BD,BE=8,DE=16,求菱形 13.如图，在菱形ABCD中，点E在对 ABCD的面积. 角线BD上，点F在边CD上，连 接AE,EF,∠AED=60°，∠BAE= 2∠DEF.若DE=8,DF=2,则AE的长为 (第11题) (第13题) 14.分类讨论思想如图，在菱形ABCD 中，∠BCD=60°，点M在BC上 点N在AC上，连接DM,MN, BN,MN=BN. (1)若AC,BD相交于点O,点N恰好与点 O重合，求∠DMN的度数. (2)当点N在AC上运动时，∠DMN的度 12.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，点 数会发生变化吗？请说明理由， F在DB的延长线上，点E在DA的延长线 上，且满足DE=BF.求证：△EFC是等边 三角形 B M (第14题) (第12题) 47 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 第4课时菱形的判定 >“答案与解析”见P19 自基础进阶 (1)△AGF≌△CGE. 1.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交 (2)四边形AECF是菱形 于点O,OA=OC,且ABCD,则添加下列 一个条件后，能判定四边形ABCD为菱形 的是 ( (第5题) A.AC=BD B.∠ADB=∠CDB C.AD-BC D.∠ABC=∠DCB (第1题) (第2题) 2.如图，在□ABCD中，F是AB的中点，连接 素能攀升 DF并延长，交CB的延长线于点E,连接 6.如图，AD是△ABC的中线，O是AC的中 AE,BD.添加一个条件，使四边形AEBD是 点，过点A作AEBC,交DO的延长线于点 菱形，则这个条件可以是 ) E,连接CE.添加下列一个条件，仍不能判定 A.AB=DE B.∠BAD=∠BDA 四边形ADCE是菱形的为 () C.DF=EF D.DE平分∠ADB A.AB⊥AC B.AB=AC 3.如图，将△ABC沿着BC方向平移得到 C.AC平分∠DAED.AE=CE △DEF,连接AD,只需添加一个条件即可证 明四边形ABED是菱形，则这个条件可以是 (写出一个即可). (第6题) (第7题) 7.将两张全等的矩形纸片ABCD,AFCE按如 (第3题) 图所示的方式交叉叠放在一起，其中AB 4.在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点 AF,AE=BC.若AB=1,BC=3,则重叠（涂 O.现有下列条件：①ABCD;②AO=OC; 色)部分的面积为 () ③AB=AD;④AC平分∠DAB.从中选取 三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形， A.2 B.√5 c n青 则可以选择的是 8.在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=AD, (写出所有可能的情). AC,BD交于点O.有下列条件：①AC1 5.(2025·徐州)如图，在□ABCD中，E为BC BD;②OA=OC;③CA平分∠BCD; 的中点，EF⊥AC于点G,交AD于点F, ④∠ABC=∠ADC.其中，能判定四边形 AB⊥AC,连接AE,CF.求证： ABCD是菱形的为 (填序号) 48 第8章四边形 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB 思维拓展 90°，AC=4,BC=3,D为斜边 12.如图，点E,F分别在BC,CD上，若AB= AB上一点，以CD,CB为边作 AE=AF=AD=BC=CD=EF,则∠D的 □CDEB,当AD的长为 度数为 时，□CDEB为菱形 (第9题) 10.(2025·武汉一模)如图，在△ABC 中，D为BC上一点，E为AD的中 点，连接BE,过点A作AF∥BC, 交BE的延长线于点F,连接CF,DF. (第12题) (1)求证：四边形ABDF是平行四边形. 13.如图，在△ABC中，D是AB上一 (2)若∠BAC=90°，请添加一个条件，使四 点，DE⊥AC于点E,F是AD的 边形ADCF为菱形，并证明. 中点，FG⊥BC于点G,交DE于 点H.若AF=FG,AG平分∠CAB,连接 GE,GD. (1)求证：△ECG≌△GHD, (第10题) (2)小亮同学经过探究发现：AD=AC十 EC.请你帮助小亮同学证明这一结论： (3)若∠B=30°，请判断四边形AEGF是 否为菱形，并说明理由 11.如图，在□ABCD中，∠BAC=90°，E,F分 (第13题) 别是BC,AD的中点，连接AE,CF,G是线 段AC上一点，且AE=AG,连接EG. (1)求证：四边形AECF是菱形 (2)若AB=6,BC=10,求EG的长. (第11题) 49 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 第5课时 正方形的概念、性质与判定 >“答案与解析”见P21 自基础进阶 (2)若四边形AECF的周长为4√34，求EF 1.下列说法中，正确的是 的长 A.对角线相等的平行四边形是正方形 B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 (第5题) D.有一对邻角相等的平行四边形是正方形 2.(2025·自贡)如图，在平面直角坐标系中，正 方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，点 B(0,一2).若将正方形ABCD绕点O按逆 时针方向旋转90°，得到正方形A'B'CD',则 点D'的坐标为 () D:-- 幻素能攀升 A 6.如图，在正方形ABCD中，E为边BA延长 线上一点，点F在边BC上，且AE=CF,连 (第2题) 接DF,EF.若∠BFD=B,则∠AEF等于 A.（-3,5) B.(5,-3) () C(-2,5) D.(5,-2) A.90°-3 B.135°-8 3.(2024·兰州)如图，四边形ABCD为正方 C.3-45 D.23-135 形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F. 若AD=4,则EF= B B E (第6题) (第7题) 7.(2024·重庆B卷)如图，在边长为4的正方 B (第3题) (第4题) 形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长 4.如图，在□ABCD中，E为BC边上一点，以 线上一点，连接AE,AF,AM平分∠EAF交 AE为边作正方形AEFG.若∠BAE=40°， CD于点M,连接EM.若BE=DF=1,则 ∠CEF=15°，则∠C= DM的长为 （) 5.(2025·广安)如图，E,F是正方形ABCD的 A.2 B.√5 c后n昌 对角线BD上的两点，BD=10,DE=BF,连 8.小明用四根长度相等的木条制作了能够活 接AE,AF,CE,CF. 动的菱形学具，他先活动学具成为如图①所 (1)求证：△ADE≌△CBF. 示的菱形，并测得∠B=60°，接着活动学具 50 第8章四边形 成为如图②所示的正方形，并测得对角线 (2)当△FCG的面积为2时，求DG的长 AC的长为2，则图①中对角线AC的长为 (第11题) 1 ② (第8题) (第9题) 9.如图，在正方形ABCD中，E是边 AD的中点，F是CE上的一点.过 点F作GH⊥CE,分别交AB,CD 思维拓展 于点G,H.若BG=1,CH=5,则AG的长为 12.如图，过正方形ABCD的顶点D 10.如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP于 作直线DP,点C关于直线DP的 点P,CE⊥BP于点E,BP=CE 对称点为E,连接AE,直线AE交 (1)求证：四边形ABCD是正方形 直线DP于点F. (2)连接AC,延长EC到点F,使CF= (1)若∠CDP=25°，求∠DAF的度数 BE,连接PF交BC的延长线于点G,求 (2)请判断线段CD,EF,AF之间的数量 ∠BGP的度数. 关系，并说明理由 (3)在DP绕点D转动的过程中，设AF= a,EF=b,请直接用含a,b的式子表示DF 的长 G (第10题) 备用图 (第12题) 11.如图，在矩形ABCD中，AD=6,CD=8,菱 形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形 ABCD的边AB,CD,DA上，AH=2,连 接CF. (1)当DG=2时，求证：四边形EFGH是 正方形 5.AC⊥EF ∴.∠AOE=90° ∴.∠AEF=180°-∠DAC ∠AOE=40°. 8.A解析：设点E到AB的距离为 m,点A到BE的距离为n.:四边形 ABCD和四边形BEFG都是平行四 边形，∴.SaAD=AB·m,S口BFG= 1 BE·.:S△AE=2AB·m= 1 BE·,六SaAD=2S△AE, SaEG=2S△AE,∴.SDB5FG= SeAD.∴.☐BEFG的面积始终 不变. 9.√4红解析：如图，作点A关于直 线BC的对称，点A',AA'交BC于点 H,连接A'D交直线BC于点M,连 接AM',A'M,则AH=A'H,AH⊥ BC,AM'=A'M',MA MA'. ∴.MA+MD=MA'+MD≥A'D.当 点M,M'重合时，MA+MD取得最 小值，最小值为A'D的长.：AB= 4,∠ABC=30,.AH=2AB=2 .AA'=2AH=4.:四边形ABCD 是平行四边形，∴.AD∥BC.:AH⊥ BC,∴.AA'⊥AD..AD=5,∴.A'D= √AA2+AD=V√4+5=√④红. ∴.MA+MD的最小值为√4红 M、HCM A北 (第9题) 10.(1).△ABC是等边三角形， .∠ABC=60°. :∠EFB=60, ∴.∠ABC=∠EFB. .EF//DC. EF=DC, ∴.四边形EFCD是平行四边形 (2).BF=EF,∠EFB=60°， '.△EFB是等边三角形 EB=EF,∠FBE=6O. DC=EF, .EB=DC :△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=60,AB=AC ∴.∠ABE=∠ACD. 在△AEB和△ADC中， EB=DC, ∠ABE=∠ACD, AB=AC, .'.△AEB≌△ADC .'AE=AD=6. 11.(1)四边形ABCD是平行四 边形， ∴.∠D=∠B,ADBC .∴.∠DPC=∠PCB :CP平分∠BCD, ∴.∠PCD=∠PCB .∠DPC=∠PCD ∴.DP=DC CD=CP, .CP=CD-PD. .△PDC是等边三角形 '.∠D=60 .∠B=60° (2)4.8或8或9.6.解析：四边 形ABCD是平行四边形，.AD= BC=6cm,AD∥BC,即PD∥BQ.要 使以P,D,Q,B为顶点的四边形是 平行四边形，则PD=BQ.根据题意， 可知AP=0.5tcm.①当0<t≤3 时，PD=(6-0.5t)cm,BQ=(6 2t)cm.∴.6-0.51=6-2t,解得1 0,不合题意，舍去.②当3<1≤6时， PD=(6-0.5t)cm,BQ=(2t 6)cm.'.6-0.5t=2t一6，解得t= 4.8.③当6<t≤9时，PD=(6- 0.5t)cm,BQ=(18-2t)cm.∴.6- 0.5t=18-2t,解得t=8.④当9< t≤12时，PD=(6-0.5t)cm,BQ= 14 (2t-18)cm..'.6-0.5t=21-18,解 得t=9.6.综上所述，当t=4.8或8 或9.6时，以P,D,Q,B为顶点的四 边形是平行四边形 (3)如图，延长AE,交CF于点H. ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,ABCD. .CE平分∠ACF, .∠ACE=∠HCE. ,AE⊥CE, ∴.∠AEC=∠HEC=90°. 又CE=CE, ∴.△AEC≌△HEC. ∴.AE=HE,AC=HC AB//CD, ∴.∠ABE=∠HFE. 又：'∠AEB=∠HEF, ∴.△ABE≌△HFE. .'AB=HF. ·AB=CD, .HE=CD. .AC=CH=DH+CD=DH+ HF=DF=8. H (第11题) 8.2特殊的平行四边形 第1课时矩形的概念与性质 1.C2.B3.(4,3)4.3 5.四边形ABCD是矩形， '.AB=CD,∠EBC=∠FCB=90°. ·AE=DF ∴.AB-AE=CD-DF,即BE=CF 在△EBC和△FCB中， (BE=CF, {∠EBC=∠FCB, BC=CB, '.△EBC≌△FCB. .'CE=BF 6.A解析：连接CE.四边形 ABCD是矩形，.∠ADC=90°， CD=AB=3,AD=BC=4,OA= OC.EF⊥AC,AE=CE.设 DE=x,则CE=AE=4一x.在 Rt△CDE中，由勾股定理，得DE+ CD2=CE2,即x2+32=(4-x)2,解 得名DE的长是写 7.C解析：延长GH交AD于点P. ,四边形ABCD和四边形CEFG都 是矩形，∴.∠ADC=∠ADG= ∠CGF=90°，AD=BC=2,CG EF=2,FG=CE=1.∴.AD∥GF. ∴.∠PAH=∠GFH.H是AF 的中点，.AH=FH.在△APH ∠PAH=∠GFH, 和△FGH中，AH=FH, ∠AHP=∠FHG, ∴.△APH≌△FGH.∴.AP=FG= 1 1,PH-GH=7PG.PD=AD- AP=1.CG=2,CD=1,..DG= 1.∴.在Rt△PDG中，由勾股定理，得 PG=√PD+DG=√2.∴.GH= 9.15°解析：：四边形ABCD是矩 形，.∠ABC=90°，AO=OC OB=OD..∴.∠OCB=∠OBC .AO=OC,OG⊥AC,∴.GC=GA, ∠G0C=90°.∠0G=15, ∴.∠C0B=90°-15°=75.∴.∠0CB= ∠0BC=号18-∠C0B)=52.5 .'.∠CAB=180°-∠ABC-∠OCB= 180°-90°-52.5=37.5°..GC=GA, ∴.∠ACG=∠CAB=37.5°. .'.∠BCG=∠OCB-∠ACG=15. 10.(号0）解析：四边形0ABC 是矩形，'.AB=OC=9,BC=OA= 12..A(12,0),B(12,9).如图，过点 D作DM⊥AC于点M.,'CD平分 ∠ACO,DO⊥CO,DM⊥AC, ∴.∠DCO=∠DCM,∠COD ∠CMD=90°.又，CD=CD, '.△CDO≌△CDM..∴.OD=MD, OC=MC=9..AC= √0C2+0A7=√92+12=15， ∴.AM=6.设OD=DM=m,则 AD=12-m.在Rt△ADM中， ,AD2=DM+AM2,.(12- 9 m)2=m2+6,解得m=2点D 的坐标为（号： A (第10题)》 11.(1):对角线AC的中点为O, .A0=C0, ,·四边形ABCD是矩形， .∴.AD∥BC '.∠DAC=∠ACB. 在△AOE和△COF中， ∠EAO=∠FCO, RAO=CO, ∠AOE=∠COF, '.△AOE2△COF .OE=OF. (2)如图，连接FG. :四边形ABCD为矩形， ∴.∠BCD=90°. ∴.CF2+CG2=FG 由(1)知，△AOE2△COF, .'.AE=CF. ∴.AE2+CG2=FG2, AE2+CG2=EG2, .EG=FG. OE=OF, 15 '.OG⊥EF (第11题) 12.(1).四边形ABCD是矩形， .AB//CD. .∠FAE=∠CDE. E是AD的中点， ∴.AE=DE 在△FAE和△CDE中， ∠FAE=∠CDE, RAE-=DE, ∠FEA=∠CED, .△FAE≌△CDE. .FA=CD. 又AFCD ∴.四边形ACDF是平行四边形 (2)四边形ABCD是矩形， ∴.∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC. CF平分∠BCD, '.∠DCE=45° ∴.易得△CDE是等腰直角三角形. ∴.DE=CD=2. E是AD的中点， .AD=2DE=4. .BC=4. 13.C解析：由题意，易得△AEH≌ △CGF,△BEF≌△DGH,∴.AH= CF,S△AEH=S△GF,S△BFF=S△xH AB=a,BC=b,BE=c,BF=x, 则AH=CF=b-x,AE=a-c ∴.SOFRH=S矩形AD一2(S△EF十 〔1 1 SAAEn)=ab-2_2cx+2(a-c). (b-z)=ab-(cx+ab-ax-bc+ cx)=ab一cx-ab+a.x+bc一cx= (a-2c)x十bc.:'F为BC上一动 点，∴.x是变量.：□EFGH的面积 不会随点F的位置改变而改变，为固 定值，∴.a-2c=0..a=2c.∴.E是 AB的中点.'.AB=2AE 14.(1),四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠BAD=∠DCE=90°， AB=DC=4. ①当点P在边BC上时，若△ABP 与△DCE全等，则BP=CE,此时 x=3÷1=3. ②当点P在边AD上时，若△ABP 与△DCE全等，则AP=CE,此时 x=(6+4+6-3)÷1=13. 综上所述，当x的值为3或13时， △ABP与△DCE全等. (2)存在. ,四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD=4,AD=BC=6, CD⊥BC 在Rt△DCE中，CE=3,CD=4, DE=VCD2+CE2=5. 若△PDE为等腰三角形，则PD= DE或PE=DE或PD=PE 当PD=DE时， PD=DE,DC⊥BE, .'PC=CE=3. .'BP=BC-CP=3. .t=3÷1=3. 当PE=DE=5时， BP=BE-PE=6+3-5=4. .t=4÷1=4. 当PD=PE时， PE=PC+CE=3+PC, .'PD=3+PC. 在Rt△PDC中，PD=CD2+PC, .(3+PC)2=16+PC2」 &0=名 Bp-Be-p .t= 综上所述1的值为3或4或婴 第2课时矩形的判定 1.D2.C3.答案不唯一，如 AM⊥MC4.6 5.O是边AB的中点， ..OA=OB. 在△AOD和△BOC中， ∠AOD=∠BOC, ROA=OB, ∠A=∠B, ∴.△AOD≌△BOC. .DA=CB. ∠A=∠B=90, .∠A+∠B=180. .DA//CB. ,'.四边形ABCD是平行四边形 又.∠A=90°， .四边形ABCD是矩形 6.B解析：·四边形ABCD为平行 四边形，∴.AD∥BC,AD=BC.又 ,AD=DE,.DE=BC.又 :DE∥BC,∴.四边形DBCE为平 行四边形.选项A:AB=BE, DE=AD,.BD⊥AE..∠BDE= 90°.∴.□DBCE为矩形.故本选项不 符合题意.选项B:对角线互相垂直的 平行四边形不一定为矩形，故本选项 符合题意.选项C::∠ADB=90°， .∠EDB=90°.∴.□DBCE为矩 形.故本选项不符合题意.选项D: :CE⊥DE,∴.∠CED=90. ∴.□DBCE为矩形.故本选项不符合 题意， 7.A解析：.MNBC, '.∠OEC=∠BCE,∠OFC= ∠DCF.,CE,CF分别平分 ∠ACB,∠ACD,'.∠ACE= ∠BCE,∠ACF=∠DCF. ∴.∠OEC=∠OCE,∠OFC= ∠OCF.∴.OC=OE,OC=OF, .∴.OE=OF.故①正确..·∠BCD= 180°，∴.∠ECF=∠ACE+∠ACF= 2∠ACB+∠ACD)=7X180°- 90.若CE=CF,则∠OEC=45°，即 16 ∠BCE=45°，即∠ACB=90°.'△ABC 是锐角三角形，∴.∠ACB≠90°.故② 错误.若CE=12,则没有条件可以得 出OC的长为6.故③错误..OE= OF,AO=CO,.四边形AECF是平 行四边形.又·∠ECF=90°，∴.四边 形AECF是矩形.故④正确.综上所 述，正确的是①④. 8.①②③解析：：∠ABD= ∠CDB,∴.AB∥CD..∴.∠BAE= ∠DCF.:BE⊥AC,DF⊥AC, ∴.∠AEB=∠CFD=∠BEO= ∠DFO=90°.∴.BEDF.故①正确. BE=DF,∴.△ABE≌△CDF. ∴.AB=CD.∴.四边形ABCD是平 行四边形.故②正确.当E是AO的 中点时，BE是AO的垂直平分线， .AB=BO.∴.∠ABO=2∠ABE= 60°..△ABO是等边三角形 ∴.AO=BO.四边形ABCD是平 行四边形，.AC=2AO,BD=2BO. ∴.AC=BD.∴.四边形ABCD是矩 形.故③正确.综上所述，正确的是 ①②③. 9.2解析：四边形ABCD是平行 四边形，'.AB=CD,AB∥CD,BC∥ AD.∴.∠BCE=∠D.CE=CD, .AB=CE.又，AB∥CE,∴.四边 形ABEC是平行四边形.'.EF= A证，C=合C,要使四边形 1 ABEC是矩形，只需AE=BC,即 EF=CF,此时∠FEC=∠BCE. .∠AFC=∠FEC+∠BCE= 2∠BCE.又∠BCE=∠D, ∴.∠AFC=2∠D..n=2. 10.(1).四边形ABCD为平行四 边形， ..OA=OC. .AE//CF, ∴.∠EAO=∠FCO. .∠AOE=∠COF, .'.△AEO≌△CFO. .OE=OF .四边形AECF为平行四边形 (2):∠EAO+∠CFD=180°， ∠CFO+∠CFD=180°， ∴.∠EAO=∠CFO. :∠EAO=∠FCO, .∠FCO=∠CFO. .OC=OF. 由(1)可知，OA=OC,OE=OF ..AC=EF 又，四边形AECF为平行四边形， .四边形AECF为矩形 11.(1)·四边形ABCD是平行四 边形， .AB=CD,AB//CD,OB=OD. .∠ABE=∠CDF」 E,F分别为OB,OD的中点， BE=20B,DF-20D. ∴BE=DF 在△ABE和△CDF中， AB=CD, X∠ABE=∠CDF, BE=DF, .△ABE≌△CDF (2)当AC=2AB时，四边形EGCF 是矩形 理由：四边形ABCD是平行四 边形， ..OA=OC. .AC=20A. .·AC=2AB, .AB=OA. E是OB的中点， .AG⊥OB. ∴.∠OEG=90. .AB=CD,OA=OC, .CD=OC. F是OD的中点 .CF⊥OD, .EG//CF. △ABE≌△CDF, .AE=CF. EG-AE .'EG=CF. ∴.四边形EGCF是平行四边形 ∠OEG=90, .四边形EGCP是矩形 12.①②③解析：四边形ABCD 是平行四边形，∴.AD∥BC,AB∥ CD,AB=CD..CE=CD,..CE= AB..四边形ABEC是平行四边形 AD∥BC,∴.∠ACF=∠DAC. :∠DAC=∠EAC,∴.∠ACF= ∠EAC.∴.AF=FC.四边形 ABEC是平行四边形，.AF= 2AE,CP=号CAE=C ∴.四边形ABEC是矩形.故①符合题 意.·AD=AE,AD=BC,∴.AE= BC.四边形ABEC是平行四边形 '.四边形ABEC是矩形.故②符合题 意.，∠AFC=2∠ABC,∠AFC= ∠ABC+∠BAF,∴.∠ABC= ∠BAF.,.AF=BF..四边形 ABEC是平行四边形，.AF= 2AE,BF=号BC.·AE=BC ∴.四边形ABEC是矩形.故③符合题 意.由AB=AD不能推出四边形 ABEC是矩形，故④不符合题意.综上 所述，使四边形ABEC是矩形可以选 择的是①②③. 13.(1)四边形ABCD是平行四 边形， .OB=OD,AB//CD. .'.∠BGO=∠DHO. 在△BOG和△DOH中， ∠BGO=∠DHO, ∠BOG=∠DOH, OB=OD. .'.△BOG2△DOH. (2)当C是DH的中点时，四边形 17 AHCG是矩形 理由：，△BOG≌△DOH, .BG=DH. 四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD, .BG-AB=DH-CD,AG-CH. 又AGCH, ∴.四边形AHCG是平行四边形 ,GH=GD,C是DH的中点， ∴.GC⊥CD. ∴.∠GCH=90°. ∴.四边形AHCG是矩形. 第3课时菱形的概念与性质 1.A2.C3.524.20 5.如图，连接BF EF垂直平分AB, .'AF=BF. ,四边形ABCD是菱形， ∴.AD=AB,∠DAF=∠BAF. 又AF=AF, .△DAF≌△BAF, .'DF=BF .AF=DF. B (第5题) 6.B解析：四边形ABCD是菱 形，.OA=OC,OB=OD=之BD, BD⊥AC..BD=2OB=12. 1 :SA=2AC·BD=54, ∴.AC=9..AE⊥BC,.'.∠AEC= 900E=2AC=4.5 7.A解析：如图，延长PN,交AB 的延长线于点G.四边形ABCD是 菱形，∴.AB=BC,AB∥CD,AD∥ BC.∴.∠BMP+∠CPM=180°， ∠G=∠NPC,∠ABC=180°- ∠A=80°..MP⊥CD,即∠CPM= 90°，∴.∠BMP=90°.M,N分别 是边AB,BC的中点，.BM= AB,BN-CN-BC.AB- BC,.'.BM=BN=CN..'.BMN= ∠BNM=180°-∠MBN=50.在 2 △BGN和△CPN中， ∠G=∠NPC, ∠GNB=∠PNC,∴.△BGN≌ BN=CN, △CPN.∴.GN=PN..N是PG的 中点.，∠BMP=90,∴.MN= PN=2PG.÷∠NMP=∠NPM '.∠BMP-∠NMP=∠CPM ∠NPM,即∠BMN=∠NPC. ,∠BMN=50°，∴.∠NPC=50°. (第7题) 8.C解析：如图，四边形ABCD为 菱形，且AC,BD交于点O.四边 形ABCD是菱形，∴.OA=OC AC,OD=OB=BD,AC⊥BD. ,菱形ABCD的面积为28， ·2BD·AC=20D·0A=28①. :菱形ABCD的边长为6，∴.易得 OD+OA2=36②.由①②两式，得 (OD+OA)2=OD2+0A2+2OD. OA=36+28=64..OD+OA=8. ∴.2(OD+OA)=16,即该菱形的两 条对角线的长度之和为16. (第8题) 解析：如图，连接BD,交AC 于点O.,菱形ABCD的周长为40， 对角线AC的长为12，.AB=二× 4 40=10,0A=0c=2AC=6,AC1 BD,AB∥CD,OB=OD..OB= √AB2-OA=8,则BD=2OB= 16..ABCD,EF⊥AB,.EF是 菱形AB边上的高.由S菱形AD= 2BD·AC=AB·EF,得2X16X 12=10EP.EF=48 5 (第9题) 10.5解析：作点M关于BD的对 称点Q,连接MQ,NQ,NQ交BD于 点P,连接PM,则PM=PQ,MQ⊥ BD,此时PM十PN的值最小，为 NQ的长.，四边形ABCD是菱形， ∴.AB∥CD,AC⊥BD,AB=BC= CD,∠ABP=∠CBP.∴.易得点Q 在AB上..MQ⊥BD,.ACMQ: :M是BC的中点BM=号BC ∴.易得BQ=BM=7BC=2AB. :N是CD的中点，CN=2CD, '.BQ=CN.AB∥CD,即BQ∥ CWN,∴.四边形BQNC是平行四边 形..NQ=BC..易得P为AC, BD的交点.四边形ABCD是菱 形，CP=2AC=3,BP=zBD 4.在Rt△BPC中，由勾股定理，得 BC=WBP2+CPz=5.∴.NQ= BC=5.∴.PM+PN的最小值是5. 11.(1).四边形ABCD是菱形， .AO=CO,AD∥BC. '.∠AEO=∠CFO. 18 在△AOE和△COF中， ∠AEO=∠CFO ∠AOE=∠COF, AO-CO. ∴.△AOE≌△COF. (2)·四边形ABCD是菱形， ∴.AD=AB=BC,AD∥BC. 由(1)，得△AOE≌△COF, ∴.AE=CF, ∴.AD+AE=BC+CF,即DE=BF 又DE∥BF, ∴.四边形EBFD是平行四边形 又EF=BD, ∴.四边形EBFD是矩形 .∠DEB=90° 设AD=x,则AB=x,AE=16-x. 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 AE2+BE2=AB2,即(16-x)2+ 82=x2,解得x=10. ∴.AD=10. .S装无Axn=BE·AD=8X10=80. 12.四边形ABCD是菱形， ∴.ADBC,CD=CB. ∴.∠BCD=180°-∠ADC=180° 120°=60°. .△BCD是等边三角形. ∴.∠BDC=60. ∴.∠FBC=∠BCD+∠BDC=120°. ∴.∠EDC=∠FBC 在△EDC和△FBC中， CD=CB, ∠EDC=∠FBC, DE=BE, ∴.△EDC≌△FBC. ∴.CE=CF,∠DCE=∠BCF. ∴.∠ECF=∠BCE+∠BCF= ∠BCE+∠DCE=∠BCD=6O. ∴.△EFC是等边三角形 13.5解析：如图，连接AC交BD于 点O,连接EC.设∠DEF=a, ∠ABD=B,则∠BAE=2a. .'.∠AED=∠BAE+∠ABD=2a+ B=60°.四边形ABCD是菱形， .AB∥CD,AC⊥BD,AD=CD, ∠ADE=∠CDE.又DE=DE, .△ADE2△CDE.∴.∠AED= ∠CED=60°，AE=CE..∠CEF= ∠CED-∠DEF=60°-a=2a+3 a=a+B.:AB∥CD,∴.∠EDF= ∠ABD=B.∴.∠CFE=∠DEF+ ∠EDF=a+B.∴.∠CFE=∠CEF. CE=CF.:AC⊥BD, .∠COD=∠EOC=90° 又：∠CED=60°，∴.∠ECO=30°. 设OE=x,则CE=2x..OC= √CE-OE=√5.x.在Rt△COD 中，OD=DE一OE=8一x,CD= CF+DF=CE+DF=2x+2.由 OD2+OC2=CD2,得(8-x)2+ 5)2=(2x+2)2,解得x=2 .CE=2x=5..AE=5. D 0 B (第13题) 14.(1)当点N恰好与点O重合时， 如图①所示. ,四边形ABCD是菱形， .'BC=CD,OB=OD :∠BCD=60°， ∴.△BCD是等边三角形. .∠CBD=60 MN=BN, ∴.△BMN是等边三角形 .∠BNM=60°」 .∠DNM=180°-∠BNWM=120°. 又.'MN=BN,BN=DN, DN=MN. ·.∠DMN=2(180°-∠DNM)= 号×180-120)=30. (2)当点N在AC上运动时，∠DMN 的度数不发生变化，始终等于30°. 理由：连接BD交AC于点O,连 接DN. ,四边形ABCD是菱形， ∴.AC是BD的垂直平分线. .BN=DN. ∴.∠NBO=∠NDO. ∴.设∠NBO=∠NDO=a. 由(1)可知，△BCD是等边三角形，则 ∠DBC=60°」 分两种情况讨论： ①当点N在线段OA上时，如图② 所示。 ∴.∠NBM=∠DBC+∠NBO= 60°+a. MN=BN, ∴.∠NMB=∠NBM=60°+a. 在△NBM中，∠BNM+∠NMB+ ∠NBM=180°， .∠BNM+60°+a+60°+a=180°. ∴.∠BNM=60°-2a. ,AC⊥BD,∠NBO=∠NDO=a, .∴.∠BNO=∠DNO=90°-a. '.∠MNO=∠BNO-∠BNM= 90°-a-(60°-2a)=30°+a. .'.∠MND=∠MNO+∠DNO= 30°+a+90°-a=120°. BN=DN,MN=BN, ∴.MN=DN. ∴.∠DMN=- 2(180°=∠MND)白 2×(180°-120)=309. ②当点N在线段OC上时，如图③ 所示 ∴.∠NBM=∠DBC-∠NBO= 60°-a. :MN=BN, ∴.∠NMB=∠NBM=60-a. 在△NBM中，∠BNM+∠NMB+ ∠NBM=180°， 19 '.∠BNM+60°-a+60°-a=180 .∠BNM=60°+2a. :AC⊥BD,∠NBO=∠NDO=a, ∴.∠BNO=∠DNO=90°-a. ∴.∠MNC=180°-（∠BNO+ ∠BNM)=180°-(90°-a+60°+ 2a)=30°-a. :∠CND=180°-∠DNO=180° (90°-a)=90°+a, ∴.∠MND=∠MNC+∠CND= 30°-a+90°+a=120°. BN=DN,MN=BN, .MN=DN. &∠DMN=号(18O-∠MND)= 合×180-12w9）=30 综上所述，当点N在AC上运动时， ∠DMN的度数不发生变化，始终等 于30°. ① N B M ② B M ③ (第14题) 第4课时菱形的判定 1.B2.D3.答案不唯一，如 AB=AD4.①②③或②③④或 ①②④或①③④ 5.(1):AB⊥AC,E为BC的中点， ∴.AE=BE=EC. EF⊥AC, .'AG=GC. ,四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC. .'.∠FAG=∠ECG 又·∠AGF=∠CGE, ∴.△AGF≌△CGE. (2)△AGF≌△CGE, .'AF=CE. 又AFCE, .四边形AECF是平行四边形 又.EF⊥AC, .四边形AECF是菱形 6.B 7.C解析：如图，设BC交AE于点 G,AD交CF于点H.:四边形 ABCD,四边形AFCE是全等的矩 形，.AB=CE=1,∠B=∠E= 90°，AD∥BC,AE∥CF.∴.四边形 AGCH是平行四边形.在△ABG和 △CEG中，：∠AGB=∠CGE, ∠B=∠E,AB=CE,,∴.△ABG2 △CEG.∴.AG=CG..四边形 AGCH是菱形.设AG=CG=x,则 BG=BC-CG=3-x.在Rt△ABG 中，由勾股定理，得AB2十BG= AG2,即1+(3-x)2=x2,解得x= 号CG-号菱形AGCH的面 积=CG·AB=号×1=号，即重叠 (涂色)部分的面积为3 (第7题) 8.①②④ 9.子解析：如图，连接CE交AB 于点O.:在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=4,BC=3,∴.AB= √AC2+BC=√4+3=5.若 □CDEB为菱形，则CE⊥BD,OD= OB.'SAs=2AB·OC=2AC· BC,∴.OC= 12 5 在Rt△BOC中，由 勾股定理，得OB=√BC-OC= 9 ..AD=AB- 20B=51 (第9题) 10.(1)E是AD的中点， .AE-DE. .AF∥BC, ∴.∠AFE=∠DBE. 在△AEF和△DEB中， ∠AFE=∠DBE, ∠AEF=∠DEB, AE=DE, .△AEF2△DEB. .'AF=DB. 又AFBC, '.四边形ABDF是平行四边形 (2)添加的条件不唯一，如D为BC 的中点 由(1)可知，AF=DB, :∠BAC=90°，D为BC的中点， &AD=DB=DC=专BC ..AF=DC. AF//BC, ∴.四边形ADCF是平行四边形. 又.AD=DC, '.四边形ADCF为菱形 11.(1):四边形ABCD是平行四 边形， ∴.AD=BC,AD∥BC. E,F分别是BC,AD的中点， 20 &AF=2AD,EC=合C ∴.AF=EC. 又：AFEC, ∴.四边形AECF是平行四边形. :∠BAC=90°，E为BC的中点， AE-BC-CE. .四边形AECF是菱形 (2)如图，连接EF,交AC于点O. :在Rt△ABC中，AB2+AC=BC2, .62+AC2=102 .AC=8. 1 ”AE=2BC=5,AE=AG, .AG=5. ,四边形AECF是菱形， .O是AC的中点，AC⊥EF. AO-AC-4 .在Rt△AOE中，EO= √AE-AO2=3. 又：OG=AG-AO=5-4=1, .在Rt△OEG中，EG= /OE2+OG2=√/10. E (第11题) 12.80°解析：，AB=BC=CD= AD,∴.四边形ABCD为菱形 ∴.∠B=∠D,AD∥BC.∴.∠C+ ∠D=180°.AD=AF,∴.∠D= ∠AFD..∠AFC+∠AFD=180°， ∠C+∠D=180°，∴.∠AFC=∠C. 同理，可得∠C=∠AEC.∴.∠C= ∠AEC=∠AFC..·AE=AF=EF, ∴.△AEF是等边三角形 ∴.∠EAF=60°.∠EAF+ ∠AEC+∠C+∠AFC=360°， ∴.∠AEC+∠C+∠AFC=300°. .∠C=100.∠D+∠C=180°， ∴.∠D=180°-100°=80. 13.(1),AF=FG, ∴.∠FAG=∠FGA. .AG平分∠CAB, ∴.∠CAG=∠FAG. .∠CAG=∠FGA. ∴.AC∥FG. '.∠DHG=∠CEH」 DE⊥AC, .∠DHG=∠CEH=90 .∠EHG=90° .FG⊥BC, ..∠CGH=90° .四边形CEHG是矩形 .∠C=∠DHG=90°，EC=GH. 如图，连接EF. ,F是AD的中点， .'EF=FD. 又，∠DHG=90°，即FG⊥DE, .FG垂直平分ED .GE=DG. 在Rt△ECG和Rt△GHD中， GE=DG, EC=GH, .'.Rt△ECG≌Rt△GHD,即 △ECG≌△GHD. (2)如图，过点G作GP⊥AB于点P. 由(1)，得∠C=90°， .GC⊥AC. .AG平分∠CAB, ∴.CG=PG. 又AG=AG, ∴.Rt△CAG≌Rt△PAG. ..AC=AP. 由(1)，得EG=DG. 又CG=PG, ∴.Rt△ECG≌Rt△DPG. .EC=DP. .AD-AP+DP-AC+EC. (3)四边形AEGF是菱形 理由：四边形CEHG是矩形， ∴.EHCG,即ED∥BC. ∴.∠ADE=∠B=30 AB=号AD, F是AD的中点， AE=AF-FG=2AD. 由(1)，得AEFG, ∴.四边形AEGF是平行四边形， 又：AE=AF, ∴.四边形AEGF是菱形. (第13题) 第5课时正方形的概念、 性质与判定 1.C2.A3.24.115 5.(1),四边形ABCD为正方形， ∴.AD=BC,BC∥AD ∴.∠ADE=∠CBF. 在△ADE和△CBF中， (DA=BC, ∠ADE=∠CBF, DE=BE ∴.△ADE≌△CBF (2)如图，连接AC交BD于点O, ,四边形ABCD为正方形，BD=10, ∴.BD垂直平分AC,OA=OC OB-OD-BD-5. .∠AOF=90°，AF=CF,AE=CE, 由(1)可知，△ADE≌△CBF, ..AE=CF. ∴.AF=CF=AE=CE .四边形AECF是菱形. ∴.OF=OE. .EF=2OF. :四边形AECF的周长为4AF= 4√34， .AF=√34 在Rt△AOF中，由勾股定理，得OF= √AF2-OA=√（√34）2-52=3. 21 '.EF=2OF=6,即EF的长为6. B下 (第5题) 6.B解析：如图，连接DE.四边 形ABCD为正方形，∴.AD=CD, ∠BAD=∠ADC=∠C=∠B=90° .∠DAE=90°=∠C.在△ADE和 △CDF中，.·AD=CD,∠DAE= ∠C,AE=CF,∴.△ADE≌△CDF. ∴.DE=DF,∠ADE=∠CDF. ∴.∠EDF=∠ADE+∠ADF= ∠CDF+∠ADF=∠ADC=90° ∴△EDF为等腰直角三角形 .∠EFD=45°.：∠BFD=B, ∴.∠BFE=∠BFD-∠EFD=B 45°.∠B=90°，.∠AEF=180° ∠B-∠BFE=180°-90°-(3- 45)=135°-3. E B F C (第6题) 7.D解析：四边形ABCD是边长 为4的正方形，∴.AB=AD=BC CD=4,∠B=∠ADC=∠C=90. ∴.∠ADF=90°=∠B.在△ABE和 AB-AD, △ADF中，∠B=∠ADF,∴.△ABE≌ BE=DF, △ADF.'.AE=AF..AM平分 ∠EAF,.∠EAM=∠FAM.在 △AEM和△AFM中， (AE=AF, ∠EAM=∠FAM,∴.△AEM≌ AM-AM, △AFM.∴.EM=FM.设DM=x,则 MC=CD-DM=4-x,CE=BC- BE=4-1=3,EM=FM=FD+ DM=1十x.在Rt△MCE中，根据勾 股定理，得EM=MC2+CE2,即 (1十x)2=(4-x)2+32,解得x= 是&DM的长为号 8.√2解析：在正方形ABCD中， ∠B=90,.AB2+CB2=AC2. .AB =CB,AC=2,.'2AB2=4. ∴.AB=√2.在菱形ABCD中，AB= CB=√2.∠B=60°，∴.△ABC是 等边三角形.∴.AC=AB=√2. 9.7解析：过点G作GM⊥CD于点 M.:四边形ABCD是正方形， .∠B=∠BCD=∠D=90°，AB= BC=CD=AD..GM⊥CD, .∠GMC=∠GMH=90°.，∴.四边 形GBCM是矩形，∠GMH=∠D. .'GM=BC=CD,CM=BG=1. :GH⊥CE,.∠DCE=90°- ∠FHM=∠MGH.在△CDE和 △GMH中，，∠DCE=∠MGH, CD=GM,∠D=∠GMH=90°， .△CDE≌△GMH..'.DE=MH. ,CH=5,∴.DE=MH=CH- CM=4.:E是边AD的中点， .AD=2DE=8...AB=AD=8. ∴.AG=AB-BG=8-1=7. 10.(1),四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°. ∴.∠ABP+∠EBC=90. AP⊥BP, .∠APB=90. .∠ABP+∠PAB=90. ∴∠EBC=∠PAB. CE⊥BP, .∠APB=∠BEC=90. .BP=CE, ∴.△ABP≌△BCE. .'AB=BC. '.四边形ABCD是正方形， (2):△ABP≌△BCE, .AP=BE. ,·BE=CF ∴.AP=CF AP⊥BP,FE⊥BP, .AP//CF ∴.四边形ACFP是平行四边形. .AC//PF ∴.∠ACB=∠BGP ·.·四边形ABCD是正方形， .∴.∠BGP=∠ACB=45. 11.(1),四边形ABCD为矩形， ∴.∠A=∠D=90 ∴.∠DGH+∠DHG=90. ,四边形EFGH为菱形， .EH=HG. AH=2,DG=2, ∴.AH=DG. .'.Rt△AEH≌Rt△DHG .∠AHE=∠DGH. ∴.∠AHE+∠DHG=∠DGH+ ∠DHG=90. .∠EHG=90 '.四边形EFGH是正方形 (2)如图，过点F作FQ⊥DC,交DC 的延长线于点Q,连接EG,则 ∠FQG=90. .∠A=∠FQG. 由矩形和菱形的性质，知AB∥DC, HE∥GF,EH=GF, .'.∠AG=∠QGE,∠HEG=∠FGE ∴.∠AEG-∠HEG=∠QGE ∠FGE,即∠AEH=∠QGF. 又.·∠A=∠FQG,EH=GF, .'.△AEH2△QGF .∴.AH=QF=2. :SaG=zCG·FQ=2XGX 2=2, .CG=2. 22 .DG=CD-CG=6. D EB (第11题) 12.(1)如图①，连接CE,DE :点C关于直线DP的对称点为E, ∴.∠CDP=∠EDP=25,CD=ED. .·四边形ABCD是正方形， '.∠ADC=90°，AD=CD. ∴.AD=ED,∠ADE=∠ADC+ ∠CDP+∠EDP=90°+25°+25°= 140°. ∴.∠DAF=∠DEA= 2(180° ∠ADE)= .1 2 ×(180°-140°)=20. (2)2CD2=AF2+EF2」 理由：如图②，连接DE,CE,AC,CF :四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD,∠ADC=90. :点C关于直线DP的对称点为E, ∴.CF=EF,CD=ED=AD, ∠DCF=∠DEF. ∴.∠DEF=∠DAF. ∴.∠DAF=∠DCF. .'.∠FAC+∠FCA=∠FAC+ ∠DCF+∠DCA=∠FAC+ ∠DAF+∠DCA=∠DAC十 ∠DCA=180°-∠ADC=90°. ∴.∠AFC=180°-（∠FAC+ ∠FCA)=90. 在Rt△ACF中，AC2=AF2+CF2= AF2+EF2 在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD= 2CD2. .2CD2=AF2+EF2. (3)连接DE,CE,AC,CF,CE与DP 交于点H. 如图③，当点F在点D,H之间时， 1 DF=√2a-b). 如图④，当点D在点F,H之间时， 1 DF=(6-a). 如图⑤，当点H在点F,D之间时， m=√Fa+b ③ ⑤ (第12题) 专题特训四正方形中的 常见模型 1.6解析：如图，延长CB至点G,使 BG=DF,连接AG.·四边形ABCD 是正方形，.AB=AD,∠BAD= ∠ABC=∠D=∠C=90°. ∴.∠ABG=90°=∠D.在△ABG和 (AB=AD, △ADF中， ∠ABG=∠D, BG=DF, .'.△ABG≌△ADF..∴.AG=AF， ∠BAG=∠DAF.,∠EAF=45, ∴.∠EAG=∠BAE+∠BAG= ∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF= 45°.∴.∠EAF=∠EAG.在△AEG (AG-AF, 和△AEF中，∠EAG=∠EAF, AE-AE, ∴.△AEG≌△AEF..GE=FE.设 正方形ABCD的边长为x,则DF= x-4,EC=x-3,EF=GE=BG+ BE=DF+BE=x一4+3=x一1.在 Rt△EFC中，由勾股定理，得EF2= EC2+CF2,即(x-1)2=(x-3)2+ 42,解得x=6.'.正方形ABCD的边 长为6. (第1题) 2.①②④解析：四边形ABCD 是正方形，∴.∠BAD=∠ABC= ∠ADC=90°，AB=AD=BC=CD. 如图①，把△ADF绕点A按顺时针 方向旋转90得到△ABH.由旋转的 性质，得BH=DF,AH=AF, ∠BAH=∠DAF,∠ABH= ∠ADF=90°.∴.∠ABC+∠ABH= 180°..H,B,E三点共线. :∠EAF=45,∴.∠DAF十 ∠BAE=90°-∠EAF=45.故①正 确..∠EAH=∠BAH十∠BAE= ∠DAF+∠BAE=45°=∠EAF.在 △AEH和△AEF中，：AH=AF, ∠EAH=∠EAF,AE=AE, ∴.△AEH≌△AEF.∴.EH=EF, ∠AEH=∠AEF.∴.∠AEB= ∠AEF.'.BE+DF=BE+BH= 23 EH=EF.故④正确.∠ANM= ∠ADB+∠DAN=45°+∠DAN, ∠AEB=90°-∠BAE=90°-(45°- ∠DAN)=45°+∠DAN, ∴.∠ANM=∠AEB=∠AEF.故② 正确.如图②，将△ADN绕点A按顺 时针方向旋转90°得到△ABG,连接 MG..DN=BG,∠DAN=∠BAG, AN=AG,∠ADN=∠ABG=45°.又 .∠ABD=45°，.∠DBG=90 ∴.GM=BG+BMP.∠DAN+ ∠BAE=45°，'.∠BAG+∠BAE 45°=∠EAF,即∠NAM=∠GAM. 又：'AM=AM,∴.△ANM≌ △AGM.∴.MN=GM..MN= GM=BG+BM=DN+BM.故 ③不正确.综上所述，正确的是 ①②④. E ① B E ② (第2题) 3.(1)如图，过点B作BF⊥BE,交 EC的延长线于点F,则∠EBF=90. ∠BEC=45°， .∠F=45°. ∴.∠F=∠BEC. ∴.BF=BE ·四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=90. ∴.∠ABC-∠CBE=∠EBF- ∠CBE,即∠ABE=∠CBF. 在△ABE和△CBF中， (BE=BF, ∠ABE=∠CBF, AB=CB,