第8章 四边形 折叠问题 专项练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第八章 四边形 第八章 四边形 知识点11 折叠问题 平行四边形折叠问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为 　 　 ． 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，则∠BAC的度数为 　 　 ． 3．如图，在▱ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与▱ABCD的一边垂直时，DM的长为 　 　 ． 4．综合实践课上，老师让同学们开展了▱ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将▱ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点C′处，点D的对应点为点D′，连接CC′． （1）【观察发现】如图1，若∠BCC′＝15°，EC′⊥AB，BC＝4+2，求EC的长； （2）【操作探究】如图2，当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形． 5．已知：如图，Rt△ABC中，AC＝2BC，∠ABC＝90°，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转，使顶点B落在AC上的点E处，得到△DEC，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻折（离开原所在平面）180°后．得到△ABF，连接DA． 求证：四边形AFCD是平行四边形． 第八章 四边形 平行四边形折叠问题（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，小强将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，小强测得长边CD＝12，则四边形A′EBC的周长为 　 　 ． 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A＝　 　 ． 3．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 　 　 ． 4．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝　 　 ． 第4题图 第4题图 5．E为▱ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，且EF＝DF．若∠C＝52°，那么∠ABE＝　 　 ． 6．如图，将▱ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，点E在AD上． （1）求证：四边形ABFE为平行四边形； （2）若AB=4，BC=6，求四边形ABFE的周长． 第八章 四边形 矩形折叠问题（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为　 　 ． 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝6，将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若∠BAC＝30°，则点D的坐标为　 　 ． 3．如图，在一张长方形纸片上画一条线段AB，将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，若∠ABC＝58°，则∠1＝　 　 ． 4．如图，芳芳用一张长10厘米的长方形纸如图进行翻折，折出的平行四边形面积比原来少了15平方厘米．折成的平行四边形的面积是　 　 平方厘米． 5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴的正半轴和y轴正半轴上，点B的坐标为，4），点E的坐标为（m，0），且m＞0，将矩形OABC沿CE进行翻折，点A的对应点为F． （1）连接OB，线段OB的长为 　 　 ； （2）当点B，E，F三点共线时，求m的值． 第八章 四边形 矩形折叠问题（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAC＝50°，E是射线CB上一点，将△COE沿OE翻折得△FOE，当OF∥AB时，∠OEB的度数为　 　 ． 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD上一点，把△ADE沿直线AE翻折，D点恰好落在BC边上的F点处，则CE＝　 　 ． 3．如图，长方形ABCD，E在BC上，将△DCE沿DE翻折，点C落在点F位置，如果∠1＝25°，那么∠2＝　 　 ． 4．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，将△ADC沿AC边翻折得到△AEC，连接DE． （1）证明△ADE是等边三角形； （2）取AB边的中点F，连接CF、CE，证明四边形AFCE是矩形． 5．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接DE、AE，将△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处． （1）求证：△ABE≌△DFA； （2）如果AB＝6，EC：BE＝1：4，求线段DE的长． 第八章 四边形 矩形折叠问题（三） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为　 　 ． 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝37°，点H和点G分别是边AD和BC上的点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为　 　 ． 3．如图，小明将纸片换成一张长方形纸片ABCD，点E，F分别是线段AD，BC上的点，他先将纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点A'，B'，A'B'与线段AD交于点G，点H是线段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点D的对应点为点D'，使得点B'恰好在GD'上，测得∠EFB'＝62°，则∠DGH的度数为　 　 ． 4．如图a是长方形纸带，∠DEF＝22°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE 的度数是　 　 ． 5．一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF． （1）求证：AF∥CE； （2）当∠BAC＝　　 度时，四边形AECF是菱形？说明理由． 第八章 四边形 矩形折叠问题（四） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．请你找一张长方形的纸片，按以下步骤进行动手操作： 步骤一：在CD上取一点P，将角D和角C向上翻折，这样将形成折痕PM和PN，如图①所示； 步骤二：翻折后，使点D，C落在原长方形所在的平面内，即点D′和C′，细心调整折痕PN，PM的位置，使PD′，PC′重合，如图②，设折角∠MPD′＝∠α，∠NPC′＝∠β． （1）猜想∠MPN的度数； （2）若重复上面的操作过程，并改变∠α的大小，猜想：随着∠α的大小变化，∠MPN的度数怎样变化？ 2．如图，ABCD为矩形纸片，E、F分别为AB、DC上的点，将此矩形两次翻折，EM和FN为折痕，其中A′、D′分别为A、D的对应点，且点A′在射线EF上；B′、C′分别为B、C的对应点，且点C′在射线FE上． （1）求证：四边形ENFM为平行四边形； （2）若四边形ENFM为菱形，求∠EMF的度数． 第八章 四边形 矩形折叠问题（五） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点落在A′处． （1）求证：B′E＝BF； （2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由． 2．如图，把长方形ABCD的两角折叠，折痕分别为EF、HG，点B、D折叠后的对应点分别是B'、D'，并且使HD'与B'F在同一直线上，已知长方形的两组对边分别平行，试说明两条折痕EF、GH也相互平行． 3．将矩形纸片按如图所示折叠（BD⊥CD）． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若矩形纸片的宽为2，求平行四边形ABCD的面积． 第八章 四边形 矩形折叠问题（六） 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，已知AF∥BE，DF∥CE，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H． （1）判断∠CGH与∠DFE是否相等，并说明理由； （2）①判断GH是否平分∠AGE，并说明理由； ②若∠DFA＝52°，求∠HGE的度数． 2．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，求矩形ABCD长与宽的比值． 3．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法如图1： 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开如图1． 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时，得到了线段BN如图2． （1）求∠NBC的度数； （2）通过以上折纸操作，还得到了一些不同角度的角，请写出除∠NBC以外的两个角及它们的度数； （3）请你继续折出15°大小的角，说出折纸步骤及得到的15°角． 第八章 四边形 菱形折叠问题 计算大冲关 （难度等级 ） 8．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，8），点C在线段AB上，点D在y轴上，将∠ABO沿直线CD翻折，使点B与点A重合．若点E在线段CD延长线上，且CE＝5，点M在y轴上，点N在坐标平面内，如果以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，那么点N有　 　 ． 第1题图 第2题图 第3题图 24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，则t的值为　 　 时，四边形QPCP′为菱形． 25．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝　 　 °． 40．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，▱ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则▱ABCD为1阶准菱形． （1）猜想与计算： 邻边长分别为4和7的平行四边形是　 　 阶准菱形；已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a＝7b+r，b＝3r，请写出▱ABCD是　 　 阶准菱形． （2）操作与推理： 小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形． 第八章 四边形 正方形折叠问题 计算大冲关 （难度等级 ） 1．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，E是AD边上的一点，将正方形沿CE折叠，点D的对应点为点F，点G为AB的中点，当点F恰好落在线段EG上时． 求证： （1）∠ECG＝45°； （2）AF∥CG． 2．如图，正方形纸片ABCD中，E为BC的中点，折叠正方形，使点A与点E重合，压平后，得折痕MN，设梯形ADMN的面积为S，梯形BCMN的面积是T，求S：T的值． 3．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形AEGF是正方形． （2）若AD＝6，BD＝2，则DC＝　　 ． 平行四边形折叠问题（一）参考答案 1.解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， 由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC∠1＝22°， ∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114° 2.解：令∠ECD＝x°，则∠ACE＝2x°， ∴∠ACD＝3x°， ∵ABCD为平行四边形， ∴∠BAC＝3x°， 由折叠可知，∠E＝∠B＝80°， ∠ACE＝2∠ECD，∠CAE＝∠BAC＝3x°， 在△ACE中，∠E+∠EAC+∠ACE＝180°， 即80°+3x+2x＝180°， 解得：x＝20， ∴∠BAC＝20°×3＝60°． 3.解：如图1，当BF⊥AD时， ∵平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴BF⊥BC， ∴∠AMB＝90°， ∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB， ∴∠A＝∠F＝45°， ∴∠ABM＝45°， ∵AB＝4， ∴AM＝BM＝44， ∵BC＝AD＝10， ∴DM＝AD﹣AM＝10﹣4＝6； 如图2，当BF⊥AB时， ∵平行四边形ABCD中，AB∥DC， ∴BF⊥DC， ∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB， ∴∠A＝∠EFB＝45°， ∴∠ABF＝90°， 此时F与点M重合， ∵AB＝BF＝4， ∴AF＝48， ∴DM＝10﹣8＝2． 综合以上可得DM的长为2或6． 故答案为：2或6． 4.解：（1）由折叠知EC＝EC'， ∴∠EC'C＝∠ECC'＝15°， ∴∠BEC'＝∠ECC'+∠ECC＝30°， ∵EC'⊥AB， ∴∠EC'B＝90°， ∴BE＝2BC'． 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴BC'＝2， ∴； （2）证明：由折叠知∠CEF＝∠C'EF，∠EFD＝∠EFD'． 由▱ABCD得AD∥BC，∠D＝∠B， ∴∠CEF+∠EFD＝180°． ∴∠C'EF+∠EFD'＝180°．， ∴CE∥DF． ∴∠BC'E＝∠D′＝∠D＝∠B． ∴BE＝C'E＝CE， ∴， ∵AD∥BC，点D在BA延长线上， ∴∠B＝∠DAF＝∠D'， ∴AF＝D'F＝DF， ∴， ∵AD＝BC， ∴C'E＝D'F． 又∵C'E∥D'F， ∴四边形EC'D'F是平行四边形． 5.证明：∵△ABF由△ABC翻折而成， ∴AC＝AF，∠F＝∠ACB， ∵Rt△ABC中，AC＝2BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝30°，∠ACB＝60°， ∵将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转，使顶点B落在AC上的点E处，得到△DEC， ∴∠ACB＝∠ECD＝60°，AC＝CD， ∴AF＝CD， ∵∠F+∠DCF＝∠F+∠ACB+∠ECD＝60°+60°+60°＝180°， ∴AF∥CD， ∴四边形AFCD是平行四边形． 平行四边形折叠问题（二）参考答案 1. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴∠A1DE＝∠AED， ∵△A1DE是由△ADE折叠得到， ∴∠ADE＝∠A1DE，∠AED＝∠A1ED，AD＝A1D，AE＝A1E， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴AE＝A1D＝A1E， ∴A1C＝EB，A1E+A1C＝A1D+A1C＝DC＝12， ∴四边形A1EBC是平行四边形， ∴四边形A1EBC的周长为2（A1E+A1C）＝2CD＝24， 故答案为：24． 2.解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN， ∴AB∥CD∥MN， ∴∠DMN＝∠FMN＝∠A， ∵∠AMF＝50°， ∴∠DMF＝180°﹣∠AMF＝130°， ∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝65°， 故答案为：65． 3.解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝52°， 由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°， ∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°， ∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°； 故答案为：36°． 4.解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C， 由折叠的性质得：∠D1AE＝∠C， ∴∠D1AE＝∠BAD， ∴∠D1AD＝∠BAE＝55°； 故答案为：55°． 5.解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C＝52°， 由折叠的性质得：∠BFE＝∠A＝52°，∠FBE＝∠ABE， ∵EF＝DF， ∴∠EDF＝∠DEF∠BFE＝26°， ∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠EDF＝102°， ∴∠ABE∠ABD＝51°； 故答案为：51°． 6.（1）证明：∵将▱ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处， ∴EF=ED，∠CFE=∠CDE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠B=∠D， ∴AE∥BF，∠B=∠CFE， ∴AB∥EF， ∴四边形ABFE为平行四边形； （2）解：∵四边形ABFE为平行四边形， ∴EF=AB=4， ∵EF=ED， ∴ED=4， ∴AE=BF=6-4=2， ∴四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+EA=12． 矩形折叠问题（一）参考答案 1.解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴∠AFB＝∠DAF， 由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB， ∴∠AFB′＝∠DAF， ∵AB'∥BD， ∴∠B′AM＝∠1＝26°， ∴∠AMB′＝90°﹣∠B′AM＝64°， ∴∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°， ∴∠DAF＝32°， ∴∠BAF＝∠B′AF＝∠B′AM+∠DAF＝26°+32°＝58° 2.解：过D点作DF⊥x轴，垂足为F，则DF∥y轴， ∵四边形AOCB为矩形， ∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，BC＝AO＝6，AB＝OC， ∵∠BAC＝30°， ∴AC＝12，OC＝AB， 由折叠可知：∠DAC＝∠BAC＝30°，AD＝AB， ∴∠OAE＝30°， ∴OE，AE， ∴ED， ∵DF∥y轴， ∴∠EDF＝∠EAO＝30°， ∴EF，DF＝3， ∴OF＝OE+EF， ∴D点坐标为（，﹣3） 3.解：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，且∠ABC＝58°， ∴∠BAD＝122°， ∵将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'， ∴∠BAD＝∠BAD'＝122°， ∴∠1＝122°+122°﹣180°＝64° 4.解：∵长10厘米的长方形纸如图进行翻折，折出的平行四边形面积比原来少了15平方厘米， ∴15÷3＝5（厘米），10×5﹣15＝50﹣15＝35（平方厘米）， ∴这张长方形纸的宽是5厘米，折成的平行四边形的面积是35平方厘米． 故答案为：35． 5.解：（1）如图1， ∵矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，B（4，4）， ∴A（4，0），∠OAB＝90°，AB＝4， ∴OA＝4， ∴OB4， 故答案为：4． （2）如图2，点A与点B在直线CE同侧，连接BE，点L在x轴负半轴上， ∵点B，E，F三点共线， ∴∠LEF＝∠AEB， 由翻折得∠FEC＝∠AEC， ∴∠FEC﹣∠LEF＝∠AEC﹣∠AEB， ∴∠LEC＝∠BEC， ∵BC∥x轴， ∴∠BCE＝∠LEC， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴BE＝BC＝OA＝4， ∴AE4， ∵E（m，0）， ∴m＝OE＝OA﹣AE＝44； 如图3，点A与点B在直线CE异侧，设CE交AB于点H，连接BE， 由翻折得∠EFH＝∠EAH＝90°，∠G＝∠AOC＝90°，GC＝OC＝AB＝4， ∵点B，E，F三点共线， ∴∠HFB＝180°﹣∠EFH＝90°， ∴∠HFB＝∠HFG＝90°， ∴点B在FG上， ∴∠CBG＝∠BEA， ∴sin∠BEA＝sin∠CBG， ∴BE4， ∵AE4， ∴m＝OE＝OA+AE＝44， 综上所述，m的值为44或44． 矩形折叠问题（二）参考答案 1.解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°，AB∥CD， ∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣50°＝40°， ∵OF∥AB， ∴OF∥AB， ∴∠COF＝∠BAC＝50°， 由折叠的性质可知：∠EOC∠COF＝25°， ∴∠OEB＝∠ACB+∠EOC＝40°+25°＝65°， 故答案为：65°． 2.解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝10，CD＝AB＝8． ∵△AEF是△ADE翻折得到的， ∴AF＝AD＝10，EF＝DE， ∴BF＝6， ∴FC＝4， ∵FC2+CE2＝EF2， ∴42+CE2＝（8﹣CE）2， 解得CE＝3． 故答案为3． 3.解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠ADC＝90°， 由翻折可知：∠F＝∠C＝90°，∠EDF＝∠EDC（90°﹣∠1）65°＝32.5°， ∴∠2＝90°﹣32.5°＝57.5°． 故答案为：57.5°． 4.（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠CAB＝60°， ∵点D是BC边的中点， ∴∠DAC∠BAC＝30°， ∵将△ADC沿AC边翻折得到△AEC， ∴AD＝AE，∠CAE＝∠DAC＝30°，CD＝CE， ∴∠DAE＝60°， ∴△DAE是等边三角形． （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠BAC＝60°， ∵F为AB中点，D为BC中点， ∴AF＝CD＝CE ∵∠CAE＝30°， ∴∠FAE＝90°， ∵△ABC的面积SAB×CFBC×AD， ∴CF＝AD， ∵AD＝AE， ∴CF＝AE， 即AF＝CE，AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵∠FAE＝90°， ∴四边形AFCE是矩形． 5.证明：（1）由矩形ABCD，得∠B＝∠C＝90°，CD＝AB，AD＝BC，AD∥BC 由△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处，得△DFE≌△DCE ∴DF＝DC，∠DFE＝∠C＝90°， ∴DF＝AB，∠AFD＝90°， ∴∠AFD＝∠B， 由AD∥BC得∠DAF＝∠AEB， ∴△ABE≌△DFA； （2）由EC：BE＝1：4，设CE＝x，BE＝4x，则AD＝BC＝5x， 由△ABE≌△DFA，得AF＝BE＝4x 在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF＝3x 又∵DF＝CD＝AB＝6， ∴x＝2 在Rt△DCE中，DE． 矩形折叠问题（三）参考答案 1.解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由折叠得∠A′EN＝∠AEN＝32°，∠B′EM＝∠BEM，∠EB′M＝∠B＝90°， ∴∠AEA′＝2∠AEN＝64°，∠BEB′＝2∠B′EM， ∵点A′，B′，E在同一直线上， ∴∠AEA′+∠BEB′＝180°， ∴64°+2∠B′EM＝180°， ∴∠B′EM＝58°， ∴∠EMB′＝90°﹣∠B′EM＝90°﹣58°＝32° 2.解：延长HK，MN交于点T， 由折叠可知，∠HKP＝90°，∠MNE＝90°， ∵MN∥KP， ∴∠T＝∠HKP＝90°， ∴∠ENM＝∠T＝90°， ∴EN∥HK， ∵∠EFC＝37°， ∴∠AEF＝37°， ∴∠AEN＝74°， ∴∠AHK＝74°， ∵∠KHD＝180°﹣∠AHK＝106°． 故答案为：106°． 3.解：∵四边形ABCD为长方形， ∴∠B＝90°，BC∥AD． 由折叠得，∠DGH＝∠D'GH，∠B＝∠FB'G＝90°，∠EFB＝∠EFB'， ∴∠EFB＝∠EFB'＝62°， ∴∠CFB'＝180°﹣∠EFB﹣∠EFB'＝56°． 如图2，过点B′作B'K∥AD，交AB于点K． ∵BC∥AD， ∴BK∥BC， ∴∠CFB′＝∠KB′F，∠DGB′＝∠GB′K， ∴∠GB′F＝∠GB′K+∠FB′K＝∠DGB'+∠CFB'＝90°， ∴∠DGB'＝90°﹣∠CFB'＝90°﹣56°＝34°． ∵∠DGH＝∠D'GH， ∴∠DGH∠DGB'＝17°． 故答案为：17°． 4.解：∵∠DEF＝22°，长方形ABCD的对边AD∥BC， ∴∠EFB＝∠DEF＝22°， 由折叠，∠EFB处重叠了3层， ∴∠CFE＝180°﹣3∠EFB＝180°﹣3×22°＝114°． 5.（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 由翻折知，∠DAF＝∠HAF∠DAC，∠BCE＝∠MCE∠BCA， ∴∠HAF＝∠MCE， ∴AF∥CE； （2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD， 由（1）得：AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BAC＝30°， ∴∠DAC＝60°． ∴∠ACD＝30°， 由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°， ∴∠HAF＝∠ACD， ∴AF＝CF， ∴四边形AECF是菱形； 故答案为：30． 矩形折叠问题（四）参考答案 1.解：（1）∵∠α＝∠MPD，∠β＝∠NPC， 又∵∠α+∠β+∠MPD+∠NPC＝180°， ∴α+β＝90°，即∠MPN＝90°； （2）∠MPN的度数不变，仍为90°． ∵∠DPM＝∠MPC′＝α，∠CPN＝∠NPC′＝β， ∴∠MPC′+∠NPC′＝∠MPN＝90°． 2.证明：（1）∵矩形ABCD， ∴AB∥CD， ∴∠CFE＝∠AEF， 由翻折可得：∠AEM＝∠MEF，∠CFN＝∠EFN， ∴∠MEF＝∠EFN， ∴ME∥FN， ∴四边形ENFM是平行四边形； （2）∵四边形ENFM为菱形， ∴MF＝ME， ∴∠MFE＝∠MEF， ∵AB∥CD， ∴∠MFE＝∠FEN， ∵∠AEM＝∠MEF， ∵∠AEM+∠MEF+∠FEN＝180°， ∴∠AEM＝60°， ∴∠EMF＝60°． 矩形折叠问题（五）参考答案 1.（1）证明：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠B′EF＝∠BFE， ∵把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点落在A′处， ∴B′F＝BF， ∠B′FE＝∠BFE， ∴∠B′FE＝∠B′EF， ∴B′E＝B′F ∴B′E＝BF； （2）解：a2+b2＝c2；理由如下： ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠A＝90°， 由折叠得：A′E＝AE＝a，A′B′＝AB＝b，B′F＝BF＝c，∠A′＝∠A＝90°， ∴B′E＝BF＝c， 在Rt△A′B′E中，由勾股定理得：A′E2+A′B′2＝B′E2， ∴a2+b2＝c2． 2.解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DHF＝∠BFH， 由折叠知：∠FHG＝∠DHG∠DHF， ∠HFE＝∠BFE∠BFH， ∴∠FHG＝∠HFE， ∴EF∥HG， 即两条折痕也相互平行． 3.（1）证明：∵四边形EGHF是矩形， ∴EF∥GH， 又∵BD⊥CD， ∴∠EDB＝∠DBH＝90°， 由折叠可得∠EDA＝∠ADB＝45°，∠DBC＝∠CBH＝45°， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴AD∥BC， 又∵CD∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）∵DB⊥AB，∠ADB＝45°， ∴AB＝DB＝2， ∴平行四边形ABCD的面积＝2×2＝4． 矩形折叠问题（六）参考答案 1.解：（1）∠CGH＝∠DFE， 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴CG∥DF，∵GH∥EF， ∴∠AGC＝∠AFD，∠AGH＝∠AFE， ∵∠CGH＝∠AGC+∠AGH，∠DFE＝∠DFA+∠AFE， ∴∠CGH＝∠DFE； （2）①GH平分∠AGE； 理由如下： ∵GH∥EF， ∴∠AGH＝∠AFE，∠HGE＝∠GEF， ∵CE∥DF， ∴∠1＝∠GEF， ∵∠1＝∠GFE， ∴∠GFE＝∠GEF， ∴∠AGH＝∠EGH， ∴GH平分∠AGE； ②∵将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠， ∴∠EFG＝∠1， ∵∠DFG＝52°， ∴∠EFG＝64°， ∵GH∥EF， ∴∠AGH＝∠AFE＝64°， ∵∠EGF＝∠DFG＝52°， ∴∠HGE＝64°． 2.解：连接DE，如图： ∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处， ∴四边形ABEF为正方形， ∴∠EAD＝45°， 由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上， ∴DE平分∠GDC， ∴∠GDE＝∠CDE， ∵DG为折痕， ∴∠DGE＝90°＝∠C， 而DE＝DE， ∴Rt△DGE≌Rt△DCE（AAS）， ∴DC＝DG， ∵∠EAD＝45°，∠DGA＝90°， ∴△AGD为等腰直角三角形， ∴ADDGCD， ∴矩形ABCD长与宽的比值为， 故答案为． 3.解：（1）如图，连接AN， 由折叠可得：AB＝NB，EF垂直平分AB， ∴NA＝NB， ∴AB＝NA＝NB， ∴△ABN为等边三角形， ∴∠ABN＝60°， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°， ∠NBC＝∠ABC﹣∠NBC＝90°﹣60°＝30°； （2）由折叠可知：∠ABM＝∠NBM∠ABN60°＝30°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠AMB＝60°； （3）如图所示， 再一次折叠纸片，使点A落在BM上，并使折痕经过点B，得到折痕BH，则∠ABH＝15°． 菱形折叠问题参考答案 1.解：如图中，分别以EC为边，EC为对角线讨论可知满足条件的菱形有5个． 2.解：如图，连接PP′交CQ于D， ∵四边形QPCP′为菱形， ∴PP′⊥CQ，CD＝DQ， ∵点Q的速度是每秒1cm， ∴CDCQ（8﹣t）cm， 过点P作PO⊥AC于O， 则四边形CDPO是矩形， ∴CD＝PO， ∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝45°， ∴POAP， ∵点P的运动速度是每秒cm， ∴POt＝tcm， ∴（8﹣t）＝t， 解得t． 故答案为：． 3.解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵∠D＝120°， ∴∠DAC＝∠DCA（180°﹣∠D）＝30°． ∵CD∥AB， ∴∠BAD′＝∠DCA＝30°． ∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上， ∴AD＝AD′， ∴AB＝AD′， ∴∠AD′B＝∠ABD′（180°﹣∠BAD′）＝75°． 故答案为75． 4.解：（1）如图1， 利用邻边长分别为4和7的平行四边形进行4次操作，所剩四边形是边长为1的菱形， 故邻边长分别为4和7的平行四边形是4阶准菱形： 如图2， ∵b＝3r， ∴a＝7b+r＝21r+r＝7×3r+r， 利用邻边长分别为22r和3r的平行四边形进行7+2＝9次操作，所剩四边形是边长为1的菱形， 故邻边长分别为22r和3r的平行四边形是9阶准菱形： 故答案为：4，9； （2）由折叠知：∠ABE＝∠FBE，AB＝BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥BF， ∴∠AEB＝∠FBE， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AE＝AB， ∴AE＝BF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴四边形ABFE是菱形． 正方形折叠问题参考答案 1.证明：（1）由折叠知，CD＝CF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CB＝CD＝CF， 在Rt△BCG和Rt△FCG中， ， ∴Rt△BCG≌Rt△FCG（HL）， ∴∠BCG＝∠FCG， 又∵∠FCE＝∠DCE， ∴∠ECG＝∠FCG+∠FCE∠BCD＝45°， 即∠ECG＝45°； （2）由（1）知Rt△BCG≌Rt△FCG， 即GF＝BG＝AG，∠CGF＝∠CGB， ∴∠GAF＝∠GFA， ∵∠BGF＝∠CGF+∠CGB＝∠GAF+∠GFA， ∴∠CGF＝∠CGB＝∠GAF＝∠GFA， ∴AF∥CG． 2.解：连接MA，ME， 由翻折可得，AN＝NE，AM＝ME， 设AB＝2x，AN＝a，在Rt△BEN中，a2＝（2x﹣a）2+x2，4xa＝5x2，a， ∴在Rt△ADM，设DM＝b，Rt△ADM中，AM2＝（2x）2+b2， 在Rt△EMC中，CM＝2x﹣b， （2x﹣b）2+x2＝（2x）2+b2， 则DM＝bx， ∴． 3.解：（1）根据题意得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴AD＝AE，∠DAB＝∠EAB，AD＝AF，∠DAC＝∠FAC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝∠DAB+∠DAC+∠EAB+∠FAC＝∠BAC+∠BAC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°， ∴四边形AEGF是矩形， ∵AD＝AE，AD＝AF， ∴AE＝AF， ∴矩形AEGF是正方形； （2）设CD＝x，则BC＝x+2 ∵AD＝6，BD＝2，四边形AEGF是正方形， ∴EG＝FG＝AD＝6，∠BGC＝90°， ∵△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴BD＝BE＝2，CD＝CF＝x， ∴BG＝6﹣2＝4，CG＝6﹣x， 在Rt△BGC中，根据勾股定理得，BG2+CG2＝BC2， ∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2， 解得x＝3， ∴CD＝3， 故答案为：3． 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