精品解析： 河南省南召县云阳镇第一初级中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题

2021-2022学年河南省南阳市南召县云阳一中九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列式子中，不是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 式子有意义的条件是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 3. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是（） A. 5 B. 3 C. −5 D. −3 4. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的方程有实根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，和相交于点F，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，，（不与A、C重合），过P点的一条直线与的边相交，所构成的三角形与原三角形相似（ ）条． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是 （　　） A. 新三角形与原三角形相似 B. 新矩形与原矩形相似 C. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似 D. 都不相似 9. 一个群里共有个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点点M不与B，C重合，，CN与AB交于点N，连接OM，ON，下列五个结论：≌；≌；∽；；若，则的最小值是，其中正确结论的个数是　　 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（（本大题共5小题，共15分）） 11. 计算：_______． 12. 关于x的一元二次方程mx2+nx=0的一根为x=3，则关于x的方程m（x+2）2+nx+2n=0的根为_____． 13. 若a、b、c、d满足，则=_____． 14. 若，则___． 15. 将三角形纸片（）按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，，若以点为顶点的三角形与相似，那么的长度是________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 在计算的值时，小陇的解题过程如下： 解： （1）老师认为小陇的解法有错，请你指出：小陇是从第________步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 17. 解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 18. 已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 19. 在中，，，，D是线段上一点，且，以A，D，E为顶点的三角形与相似，求的长． （1）写出正确的比例式及后续解答； （2）指出另一个错误，并给予正确解答． 20. 小明在解一元二次方程时，发现这样一种解法． 如：解方程 解：原方程可变形为 ， 直接开平方整理得：； 我们称小明的这种解法为“平均数法” （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程变形为 ， 直接开平方整理得：； 上述过程中的______；______；______；______． （2）请用“平均数法”解方程： 21. 如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P． （1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由； （2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2 cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由． 22. 某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，准备降价销售． （1）假如经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．若两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； （2）聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，每件衬衫售价每降低3元，每星期可多卖出6件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年河南省南阳市南召县云阳一中九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列式子中，不是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵中当a<0时，无意义， ∴选项C不是二次根式． 故选C． 2. 式子有意义的条件是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】要使该式有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， ∴． 3. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是（） A. 5 B. 3 C. −5 D. −3 【答案】B 【解析】 【分析】先把化成最简二次根，再根据同类二次根式的定义得出，然后求解即可得出答案． 【详解】解∶由题意可知：， 则， ， 故选∶B． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型． 4. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 5. 关于x的方程有实根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题需分两种情况讨论，时方程为一元一次方程，时方程为一元二次方程，利用根的判别式判断有实根的条件，合并两种情况得到的取值范围． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，原方程为，是一元一次方程，解得，有实根，符合题意； ②当时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实根， ∴判别式， 代入，，得：， 解得，即此时且， 合并两种情况得，的取值范围是． 6. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，和相交于点F，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意利用相似三角形判定及性质逐一对选项进行判断即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A正确， ∵， ∴，B错误， ∵， ∴，C错误， ∵， ∴，D错误， 故选：A． 7. 已知中，，（不与A、C重合），过P点的一条直线与的边相交，所构成的三角形与原三角形相似（ ）条． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法，过点P作直线与另一边平行或垂直，或即可． 【详解】解：如图，过点P作直线与另一边平行（两条）或垂直（一条），或（一条），共4条直线． 8. 将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是 （　　） A. 新三角形与原三角形相似 B. 新矩形与原矩形相似 C. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似 D. 都不相似 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定定理证明即可． 【详解】解：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′， ∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′； ∵AB=CD=x，AD=BC=y，则A′B′=C′D′=x+2，A′D′=B′C′=y+2， ∴， ∵∵x≠y， ∴, ∴新矩形与原矩形对应边的比不相等， ∴新矩形与原矩形不相似. 故选A． 【点睛】考查的是相似图形的判断，掌握对应角相等，对应边成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键． 9. 一个群里共有个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发(x-1)条消息，则发消息共有x（x-1）条,再根据共发信息1980条，列出方程x（x-1）=1980. 【详解】解：设有x个好友，依题意，得： x（x-1）=1980. 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意设出合适的未知数，再根据等量关系式列出方程是解题的关键. 10. 如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点点M不与B，C重合，，CN与AB交于点N，连接OM，ON，下列五个结论：≌；≌；∽；；若，则的最小值是，其中正确结论的个数是　　 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质,可判定△CNB≌△DMC, △OCM≌△OBN, △CON≌△DOM, △OMN∽△OAD,根据全等三角形的性质以及勾股定理可进行求解. 【详解】因为正方形ABCD中,CD=BC, ∠BCD=90°, 所以∠BCN+∠DCN=90°, 因为CN⊥DM, 所以∠CDM+∠DCN=90°, 所以∠BCN=∠CDM, 又因为∠CBN=∠DCM=90°, 所以△CNB≌△DMC,故①正确, 根据△CNB≌△DMC,可得CM=BN, 又因为∠OCM=∠OBN=45°,OC=OB, 所以△OCM≌△OBN, 所以OM=ON, ∠COM=∠BON, 所以∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN,即∠DOM=∠CON, 又因为DO=CO, 所以△OCN≌△DOM,故②正确, 因为∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°, 所以∠MON=90°,即△MON是等腰直角三角形, 又因为△AOD是等腰直角三角形, 所以△OMN∽△OAD,故③正确, 因为AB=BC,CM=BN, 所以BM=AN, 又因为Rt△BMN中,BM2+BN2=MN2, 所以AN2+CM2=MN2,故④正确, △OCM≌△OBN, 所以四边形BMON的面积=△BOC的面积=1,即四边形BMON的面积是定值1, 当△MNB的面积最大时, △MNO的面积最小, 设BN=x=CM,则BM=2-x, 所以△MNB的面积=, 当x=1时, △MNB的面积有最大值 此时△OMN的面积最小值是,故⑤正确, 故选D. 【点睛】本题主要考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,解决本题的关键是要能够综合运用几何图形的性质结合等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,解决问题. 二、填空题（（本大题共5小题，共15分）） 11. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了化简二次根式，根据和计算即可. 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：. 12. 关于x的一元二次方程mx2+nx=0的一根为x=3，则关于x的方程m（x+2）2+nx+2n=0的根为_____． 【答案】1或﹣2． 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2+nx=0的一根为x=3，∴9m+3n=0，解得n=﹣3m，且m≠0，∴关于x的方程m（x+2）2+nx+2n=0为mx2+4mx+4m﹣3mx﹣6m=0，整理可得mx2+mx﹣2m=0．∵m≠0，∴x2+x﹣2=0，解得：x=1或x=﹣2．故答案为1或﹣2． 点睛：本题主要考查了解一元二次方程，由方程根的定义求得m和n的关系是解题的关键． 13. 若a、b、c、d满足，则=_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比性质求解即可． 【详解】∵， ∴=． 故答案为． 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了等比性质．等比性质：在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等. 对于实数a，b，c，d，且有b≠0，d≠0，如果，则有. 14. 若，则___． 【答案】13或 【解析】 【分析】将看作整体，根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 15. 将三角形纸片（）按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，，若以点为顶点的三角形与相似，那么的长度是________． 【答案】2或 【解析】 【分析】由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况根据相似三角形的性质讨论即可． 【详解】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况： ①时， ， 又∵， ∴ 解得； ②时， ， ， 而，即 解得． 故的长度是2或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 在计算的值时，小陇的解题过程如下： 解： （1）老师认为小陇的解法有错，请你指出：小陇是从第________步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的运算法则进行判断即可，同类二次根式可以直接合并，不是同类二次根式的不能合并； （2）先计算二次根式的乘法和除法，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：小陇是从第步开始出错的． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 解得：； 【小问2详解】 解： ∴，， ∴ ∴ 解得： 18. 已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】（1）证明：． ∵不论m为何值，，即． ∴不论m为何值，方程总有实数根． （2）m=1 【解析】 【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值． 【详解】解：（1） 略 （2）解关于x的一元二次方程，得 ， ∴，． ∵方程的两个根都是正整数， ∴是正整数， ∴或． 又∵方程的两个根不相等， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况是解答的关键． 19. 在中，，，，D是线段上一点，且，以A，D，E为顶点的三角形与相似，求的长． （1）写出正确的比例式及后续解答； （2）指出另一个错误，并给予正确解答． 【答案】（1），解答见解析 （2）另一个错在没有进行分类讨论，解答见解析 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形对应边成比例列出比例式，进而计算即可； （2）有一个没有进行分类讨论，过点D作，则，仿照（1）可得出结论． 【小问1详解】 解：过点D作，交于点E，则， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：另一个错在没有进行分类讨论， 如图，过点D作，交于点E，则， ∴， ∵，， ∴， ∴． 综合以上可得，或． 20. 小明在解一元二次方程时，发现这样一种解法． 如：解方程 解：原方程可变形为 ， 直接开平方整理得：； 我们称小明的这种解法为“平均数法” （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程变形为 ， 直接开平方整理得：； 上述过程中的______；______；______；______． （2）请用“平均数法”解方程： 【答案】（1）5，2，， （2）； 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键． （1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可； （2）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可； 【小问1详解】 解： 原方程可变形为 ∴ ∴ ∴直接开平方整理得：； ∴，，，． ∴上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5，2，，． 【小问2详解】 原方程可变形为， ∴ ∴ ∴直接开平方整理得：； 21. 如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P． （1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由； （2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2 cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由． 【答案】（1）能，AP=8或2 （2）能，AP=4 【解析】 【分析】（1）设AP=x，根据矩形的性质，在Rt△ABC、Rt△PDC、Rt△PBC中分别运用勾股定理即可求得结果； （2）如图，仿照（1）的思路即可求得结果． 【小问1详解】 解：设AP=x， 由勾股定理可得BP2=16+x2，CP2=16+(10-x)2， 而在Rt△PBC中，有BP2+ CP2=BC2， 即16+x2+16+(10-x)2=100， 所以x2-10x+16=0, 即(x-5)2=9， 所以x-5=±3， 所以x=8，x=2， 即AP=8或2； ∴能使三角板直角边分别通过点B与点C，此时AP的长度为8cm或2cm 【小问2详解】 解：如图，过点E作， 由题意可知四边形CDME时是长方形 ∴CE=DM=2 设AP=x，则PM=10-2-x=8-x，BE=10-2=8 由勾股定理可得BP2=16+x2，EP2=16+(8-x)2， 而在Rt△PBE中，有BP2+ EP2=BE2， 即16+x2+16+(8-x)2=64， 所以x2-8x+16=0, 即(x-4)2=0， 所以x=4, 即AP=4； ∴在AP＝4cm时，CE＝2cm． 【点睛】本题考查主要对一元二次方程的应用勾股定理，解题的关键是根据题意列出关系式，解方程． 22. 某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，准备降价销售． （1）假如经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．若两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； （2）聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，每件衬衫售价每降低3元，每星期可多卖出6件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？ 【答案】（1） （2）175元或185元 【解析】 【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设售价定为元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件，利用每星期销售该种衬衫获得的总利润=每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为， ∵经两次降价后的每件售价162元， ∴， 解得，，(舍去)， 答：每次降价的百分率是； 【小问2详解】 解：设售价定为元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：应把售价定为元或元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $