6.2 第3课时 平行线间的距离及平行四边形判定与性质的综合（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“平行线间的距离及平行四边形判定与性质的综合”，以铁轨枕木实例导入，复习平行四边形定义，通过典例分析和练一练构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料特色在于情境化导入激发学习兴趣，通过合作探究与推理证明发展抽象能力和推理意识，综合运用题锻炼数学表达与应用意识，分层练习设计帮助巩固知识，提升解决问题能力。

第六章 平行四边形 6.2 平行四边形的判定 第3课时 平行线间的距离及平行四边形判定与性质的综合 【素养目标】 1.通过实例认识“平行线之间的距离”，探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”这一性质，培养抽象能力和空间观念． 2.通过推理证明掌握“夹在两条平行线间的线段处处相等”的性质，发展类比推理能力． 3.能综合运用平行四边形的性质与判定解决问题，锻炼数学表达能力． 重点：掌握平行线间的距离的概念，探索并证明“夹在两条平行线间的线段处处相等”这一性质． 难点：综合运用平行四边形的性质与判定解决问题． 【复习导入】 在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流. 【合作探究】 探究点1：平行线之间的距离 [典例精析] 例1 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D. 求证：AC = BD. [知识要点] 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等 (如图，AC = BD). 这个距离称为平行线之间的距离. (简记为：两条平行线间的距离处处相等). 思考：两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？ [练一练] 1. 如图，已知l1∥l2，AB∥CD，HE⊥l2，FG⊥l2，垂足分别为 E，G，则下列说法错误的是(　　) A．AB 的长就是 l1 与 l2 之间的距离 B．AB＝CD C．HE 的长就是 l1 与 l2 之间的距离 D．HE＝FG [典例精析] 例2 如图，直线 AE∥BD，点 C 在 BD 上，若 AE = 5，BD = 8， △ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 . [练一练] 2. 如图，设点 P 是 □ ABCD 的边 AB 上任意一点，设△APD 的面积为 S1 ，△BPC 的面积为 S2 ，△CDP 的面积为 S3 ，则 (　　) A．S3＝S1＋S2 B．S3＞S1＋S2 C．S3＜S1＋S2 D．S3＝ (S1＋S2) 问题：如图 a∥b，c∥d ，我们能得出 AD = BC ？ [交流·尝试] 每人准备一张方格纸，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并与同伴讨论各自画图的正确性。 提示：根据平行四边形的定义和平行四边形的判定定理作图. 探究点2：平行四边形性质与判定的综合运用 例3 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M，N 分别在 AD 和 BC 上，点 E，F 在 BD 上，且 DM = BN，DF = BE . 求证：四边形 MENF 是平行四边形. 例4 如图，将 □ ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D′ 处，折痕 l 交 CD 边于点 E，连接 BE．求证：四边形 BCED′ 是平行四边形. 归纳 此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE =∠EAD′=∠DEA =∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题. [练一练] 3.如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问 BF 与 CE 相等吗？为什么？ 4.如图，点 E ，F 分别在□ ABCD 的边AB ，CD 的延长线上，且 BE = DF ，连接 AC ，EF ，AF，CE，AC 与 EF 交于点 O .求证：AC，EF 互相平分. 当堂反馈 1.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，则下列结论不一定成立的是(　　) A.AB＝CB B.∠B＝∠D C.AD∥BC D.∠A＋∠B＝180° 2.如图，在▱ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，则图中共有平行四边形(　　) A.3个 B.4个　　 C.5个 D.6个 第2题图　 3.如图，在四边形ABCD中，AO＝OC，BO＝DO.若AD＝6，则BC＝　 　. 第3题图 4.如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB＝5 cm，S△ABC＝10 cm2，则△ABD中AB边上的高为　 　. 第4题图　　 5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，D在BC边上，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是　　. 第5题图 6.如图，已知E，F分别为▱ABCD的边AD，BC上的点，且DE＝BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，求证： (1)EM＝FN； (2)EF与MN互相平分. 参考答案 【合作探究】 探究点1：平行线之间的距离 [典例精析] 例1证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD， ∴∠1 =∠2 = 90°. ∴ AC∥BD. ∵ AB∥CD， ∴ 四边形 ACDB 是平行四边形(平行四边形的定义). ∴ AC = BD(平行四边形对边相等). 思考： 点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间的距离的基础，它们本质都是点与点之间的距离. 总结：任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段长度. [练一练] 1. A 例2 10 [练一练]2. A [交流·尝试] 例图展示： 探究点2：平行四边形性质与判定的综合运用 例3 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC(平行四边形的定义)， ∴∠MDF =∠NBE. ∵ DM = BN，DF = BE， ∴△MDF≌△NBE . ∴ MF = NE，∠MFD =∠NEB. ∴∠MFE =∠NEF. ∴ FM∥EN. ∴ 四边形 MENF 是平行四边形. 例4 证明：由题意得∠DAE = ∠D′AE， ∠DEA = ∠D′EA，∠D = ∠AD′E， ∵ DE∥AD′， ∴ ∠DEA =∠EAD′， ∴ ∠DAE = ∠EAD′ = ∠DEA = ∠D′EA， ∴ ∠DAD′ = ∠DED′. ∴ 四边形 DAD′E 是平行四边形. ∴ DE = AD′. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥DC，AB = DC， ∴ CE∥D′B，CE = D′B， ∴ 四边形 BCED′ 是平行四边形. [练一练] 3.解：BF＝CE．理由如下： ∵ DF∥BC，EF∥AC， ∴四边形 FECD 是平行四边形，∠FDB = ∠DBE. ∴ FD = CE. ∵ BD 平分∠ABC，∴∠FBD = ∠EBD. ∴ ∠FBD = ∠FDB. ∴ BF = FD. ∴ BF＝CE. 4.证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = DC，AB∥DC. 又 ∵BE = DF， ∴ AB+BE=DC+DF，即 AE = CF. ∵ AE = CF，AE∥CF， ∴四边形 AECF 是平行四边形. ∴ AC，EF 互相平分. 当堂反馈 1.A 2.　B 3.　6　 4.　4 cm　 5.30　. 6.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EAM＝∠FCN. ∵DE＝BF， ∴AE＝CF. ∵EM⊥AC于M，FN⊥AC于N， ∴∠AME＝∠CNF＝90°.在△AEM和△CFN中， ∴△AEM≌△CFN(AAS). ∴EM＝FN. (2)如图，连接EN，FM. ∵EM⊥AC，FN⊥AC， ∴∠EMN＝∠FNM＝90°. ∴EM∥FN.又 ∵由(1)得EM＝FN， ∴四边形EMFN是平行四边形. ∴EF与MN互相平分. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $