4.3 第2课时 完全平方公式（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦完全平方公式因式分解，通过复习提公因式法、平方差公式及完全平方公式计算，引导学生观察从计算到分解的互逆过程，发现完全平方式特点，搭建新旧知识联系的学习支架。 资料以问题驱动探究，通过计算与分解对比、一般式抽象等环节，培养学生抽象能力和推理意识。习题层次分明，涵盖基础判断、综合分解及几何应用，助力学生用数学思维解决问题，提升应用意识与创新意识。

第四章 因式分解 4.3 公式法 第 2 课时 完全平方公式 【素养目标】 1.了解运用完全平方公式因式分解的式子特点． 2.能较熟悉地运用完全平方公式分解因式． 3.通过综合运用提公因式法和公式法分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力，通过知识结构图培养学生归纳总结的能力． 重点：理解用完全平方公式因式分解的原理，并学会运用． 难点：灵活地运用提公因式法和公式法进行因式分解． 【复习导入】 1. 因式分解： 2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？ 3. 完全平方公式用字母如何来表示？ 4. 完全平方公式有何特点？ 5. 完全平方公式能帮助简便运算因式分解吗？ 【合作探究】 探究点：用完全平方公式分解因式 问题1：计算：(1)(m－4n)2； (2)(m＋4n)2. 思考：这样计算的依据是什么？ 问题2：根据上面两道题，请大家试着分解因式： (1) m2－8mn＋16n2； (2) m2＋8mn＋16n2. 观察有什么规律？ 问题3：我们把这些式子推广到一般式： a2＋2ab＋b2 与 a2－2ab＋b2， 观察一下这两个多项式有什么特点？ [知识要点] 我们把 a2＋2ab＋b2 与 a2－2ab＋b2 这样的式子叫作完全平方式． 完全平方式的特点： 1. 必须是三项式(或可以看成三项的)； 2. 有两个数或式的平方和； 3. 有这两数或式之积的 ±2 倍. 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法. [典例精析] 例1 若 x2－6x + N 是一个完全平方式，则 N = ( ) A . 11 B. 9 C. －11 D. －9 [变式训练] 如果 x2－mx + 16 是一个完全平方式，那么常数 m 的值为_______. [练一练] 1.下列各式是不是完全平方式？ (1) a2－4a + 4； (2) 1 + 4a²； (3) 4b2 + 4b－1； (4) a2 + ab + b2； (5) x2 + x + 0.25. 问题4：你能将多项式 a2＋2ab＋b2 与 a2－2ab＋b2分解因式吗？ 把整式乘法的完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2 将等号两边互换位置，就得到： a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， a2－2ab＋b2＝(a－b)2. [典例精析] 例2 把下列完全平方式因式分解： (1) x2 + 14x + 492； (2) (m + n)2－6(m + n) + 9. 例3 把下列各式因式分解： (1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) －x2－4y2 + 4xy. [练一练] 2. 因式分解： (1) －3a2x2＋24a2x－48a2； (2) (a2＋4)2－16a2. 3. 把下列多项式因式分解. (1) x2－12x + 36； (2) 4(2a + b)2－4(2a + b) + 1； (3) y2 + 2y + 1－x2. 4. 用简便方法计算： (1) 1252－50×125 + 25²； (2) 652×11－352×11. 当堂反馈 1.下列四个多项式，能因式分解的是(　　) A.a＋2 B.a2＋a＋1 C.x2－y D.x2＋12x＋36 2.把多项式因式分解，正确的结果是(　　) A.4a2＋4a＋1＝(2a＋1)2 B.a2－4b2＝(a－4b)(a＋b) C.a2－2a－1＝(a－1)2 D.(a－b)(a＋b)＝a2－b2 3.若x2＋kx＋16能用完全平方公式因式分解，则k的值为(　　) A.4 B.－8 C.4或－4 D.8或－8 4.因式分解： (1)2x3＋4x2＋2x＝　 　； (2)(a2＋1)2－4a2＝　 　. 5.如果a2－8ab＋16b2＝0，且b＝2.5，那么a＝　 　. 6.把下列各式因式分解： (1)a2＋a＋； (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9. 7.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2－4a－8b＋20＝0，求△ABC中最长边c的取值范围. 参考答案 【复习导入】 1.把一个多项式转化为几个整式的积的形式. 2. (1) 提公因式法 (2) 平方差公式 a2－b2 = (a + b)(a－b) 3. (a±b)2＝a2±2ab＋b2 4. 公式的左边是两个数的和(或差)的平方，右边是这两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的 2 倍. 【合作探究】 探究点：用完全平方公式分解因式 问题1：解：(1) (m－4n)2＝m2－8mn＋16n2； (2) (m＋4n)2＝m2＋8mn＋16n2. 思考：依据：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2 问题2：解：(1) m2－8mn＋16n2＝(m－4n)2； (2) m2＋8mn＋16n2＝(m＋4n)2. 把等号两边互换位置就可以得到因式分解的结果. 问题3：两式的共同特点是：它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的 2 倍． [典例精析] 例1 B [变式训练]±8 [练一练]1.答：(1) 是； (2) 不是；(3) 不是； (4) 不是；(5) 是. [典例精析]例2 解：(1) 原式＝( x + 7 )2. (2) 原式＝[( m + n )－3]2＝( m + n－3 )2 例3 解：(1) 原式＝3a( x2 + 2xy + y2 )＝3a( x + y)2. (2) 原式＝－(x2 + 4y2－4xy)＝－(x2－4xy + 4y2) ＝－[x2－2 · x · 2y + (2y)2]＝－(x－2y)2 [练一练]2. 解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2. (2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2. 3.解：(1) 原式 = x2－2·x·6 + (6)2= (x－6)2. (2) 原式 = [ 2(2a + b) ]² －2·2(2a + b)·1 + ( 1 )²= (4a + 2b－1)2. (3) 原式 = ( y + 1)²－x² = (y + 1 + x)( y + 1－x). 4. 解：(1) 原式 = (125－25)² = 10000. (2) 原式 = (65 + 35)(65－35)×11= 33000. 当堂反馈 1.　D　 2.　A　 3.　D 4.(1)　2x(x＋1)2　； (2)　(a－1)2(a＋1)2　. 5.　10　. 6.(1)原式＝(a＋)2. (2)原式＝(m＋n－3)2. 7.解：∵a2＋b2－4a－8b＋20＝(a－2)2＋(b－4)2＝0， ∴a＝2，b＝4.又 ∵c是△ABC中最长边， ∴4≤c＜4＋2. ∴4≤c＜6. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $