4.2.2 提公因式为多项式的因式分解学案 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

4.2.2 提公因式为多项式的因式分解学案 【学习目标】 1、准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解；（重点） 2、能运用整体思想进行因式分解.（难点） 【复习引入】 提公因式法因式分解的一般步骤： 1、多项式的第一项系数为负数时， ； 2、公因式的系数是多项式各项 ； 3、字母取多项式各项中都含有的 ； 4、相同字母的指数取各项中最小的一个，即 ； 思考1：提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找下面各式的公因式 （1）； （2）； （3）； （4）； 思考2：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？ 一、提公因式为多项式的因式分解 【典例精析】 例1 把下列各式分解因式 （1）； （2）； 【归纳总结】 1、公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式； 2、整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法； 【练一练】 1、 2、 3、 例2 把下列各式因式分解： （1）； （2）； 【归纳总结】两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法： （1）当相同字母前的符号相同时，则两个多项式相等。 如：和 即 （2）当相同字母前的符号均相反时，则两个多项式互为相反数。 如：和 即 【做一做】在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； 由此可知规律： （1）① 与 互为相反数 (是偶数） (是奇数） ② 与 互为相反数 (是偶数） (是奇数） （2）与 互为相同数, (是整数） 【当堂练习】 1、请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立. （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） ; （6） ; （7） ; 2、因式分解： 3、因式分解： 解法一： 解法二： 【课堂小结】因式分解： 1、公因式为多项式，方法： 步骤： 2、注意： ① ② ③ ④ 4.2.2 提公因式为多项式的因式分解学案详解 【学习目标】 1、准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解；（重点） 2、能运用整体思想进行因式分解.（难点） 【复习引入】 提公因式法因式分解的一般步骤： 1、多项式的第一项系数为负数时， 先提取负号，注意多项式的各项都要变号 ； 2、公因式的系数是多项式各项 最大公因数 ； 3、字母取多项式各项中都含有的 相同字母 ； 4、相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂 ； 思考1：提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找下面各式的公因式 （1）； （2）； （x-y） （b+c） （3）； （4）； (x-3) y(x+1) 思考2：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？ 一、提公因式为多项式的因式分解 【典例精析】 例1 把下列各式分解因式 （1）； （2）； =(a+2b) =y(x+1)(1+xy+y) 【归纳总结】 1、公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式； 2、整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法； 【练一练】 1、=(a+b)(x+y) 2、=(x-y)(3a-1) 3、=6(p+q)(p+q-2) 例2 把下列各式因式分解： （1）； （2）； =(x-y)(a-b) = 【归纳总结】两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法： （1）当相同字母前的符号相同时，则两个多项式相等。 如：和 即 （2）当相同字母前的符号均相反时，则两个多项式互为相反数。 如：和 即 【做一做】在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立： （1） - ； （2） + ； （3） - ； （4） + ； （5） + ； （6） + ； （7） - ； （8） + ； 由此可知规律： （1）① 与 互为相反数 (是偶数） (是奇数） ② 与 互为相反数 (是偶数） (是奇数） （2） 与 互为相同数, (是整数） 【当堂练习】 1、请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立. （1） - ; （2） - ; （3） + ; （4） + ; （5） - ; （6） - ; （7） - ; 2、因式分解： = 3、因式分解： 解法一： 原式= 解法二：原式= = = = = 【课堂小结】因式分解： 1、公因式为多项式，方法： 步骤：① 确定多项式各项的多项式公因式（可以先观察多项式的结构，将能整体看成一个字母的多项式部分当作整体，再找系数的最大公约数、相同多项式因式的最低次幂）； ② 用多项式的每一项除以这个公因式，得到另一个因式； ③ 将多项式写成公因式 × 另一个因式的形式。 2、注意： ① 公因式要提尽，即提取公因式后，另一个因式中不再含有公因式； ② 当多项式的首项系数为负数时，先提取负号，使括号内的首项系数为正，同时括号内各项要变号； ③ 如果多项式的某一项与公因式完全相同，提取公因式后，该项变为1，而不是0； ④ 提取公因式后，要注意检查另一个因式的项数是否与原多项式的项数一致，且是否还能继续分解。 学科网（北京）股份有限公司 $