1.5 第1课时 角平分线的性质与判定（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“角平分线的性质与判定”，通过“修建仓库”的实际问题导入，复习尺规作图旧知，引出性质与判定定理的探究，搭建从现实情境到数学理论的学习支架，衔接前后知识脉络。 以合作探究为主线，设置动手操作、定理证明、对比表格等环节，引导学生通过推理验证性质与判定，培养数学思维中的推理能力。结合实际问题解决和分层习题设计，提升应用意识与创新意识，助力学生掌握重点突破难点。

第一章 三角形的证明 1.5 角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 【素养目标】 1. 复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理。(重点) 2. 能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题。 (难点) 3. 通过探索角平分线的判定定理的过程， 提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。 【复习导入】 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路。 图中点 表示大学， 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计。 (尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹) 【合作探究】 探究点一、角平分线的性质 思考：在的角平分线上任意取一点 ，分别折出过点 且与 的两边垂直的直线，垂足分别为 ，将再次对折，线段与能重合吗？ 改变点的位置，线段和还相等吗？对此你能得出什么结论？动手证一证。 【证一证】 已知：如图，是的平分线，点 在 上， ，垂足分别为 。求证： 。 【知识要点】 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。 应用格式： 是的平分线， . 【典例精析】 例1如图，为的平分线， 于点 , ， 试说明： 。 【练一练】 如图， 是的平分线，点在上， ，垂足分别是 , ，则 ________cm. 探究点二、角平分线的判定 定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 这个定理的逆命题是什么它是真命题吗？ 你能证明吗？ 【证一证】 已知：如图，点为内一点， ，垂足分别为 ，且 . 求证：点在的平分线上。 【知识要点】 定理：在一个角的内部， 到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 应用所具备的条件： (1) 位置关系：点在角的内部； (2) 数量关系：该点到角两边的距离相等。 定理的作用：判断点是否在角平分线上。 应用格式： , 点 在 的平分线上。 例2 如图，在中，，点在上， ，垂足分别为 ，且 ，求的长。 例3 如图，已知和的平分线相交于点 . 求证：点在的平分线上。 【回顾导入】 课堂导入的问题应该如何解决 角平分线的性质和角平分线的判定对比： 角的平分线的性质 角的平分线的判定 图形 已知条件 OP平分 于 于 于 于 结论 平分 当堂反馈 1.如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PD⊥OA于点D.若PD＝6，则点P到OB的距离为___________. 2.如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM＝PN.若∠BOC＝30°，则∠AOB的度数是_______. 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DC＝2AD，点D到BC的距离为5，则AC＝______. 4.如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，求证：OP垂直平分AB. 参考答案 探究点一、角平分线的性质 思考：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 【证一证】证明： , 垂足分别为 , . 是的平分线， , (AAS). (全等三角形的对应边相等). 例1 解： , . 为的平分线，且 , . 在Rt 和Rt 中， . . 【练一练】4 cm. 探究点二、角平分线的判定 【证一证】证明： ，垂足分别为 , . , . (全等三角形的对应角相等).平分 . 例2 解：，垂足分别为 , 且, 平分 (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 又 . 在Rt 中，, (在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半). 例3 证明：过点 作 于 于 , 于 . 点 在的平分线上， , . 又 点在的平分线上， , . 点在的平分线上。 【回顾导入】 解：如图所示。 当堂反馈 1.　6　. 2.　60°. 3.　15. 4.证明：∵ P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA=PB,∠PAO=∠PBO=90°. 在Rt△PAO和Rt△PBO中， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL). ∴OA=OB. ∵OP平分∠AOB， ∴OP垂直平分AB. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $