1.2 第3课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质”，以池塘测量情境导入，通过合作探究证明定理，再回顾导入解决问题，构建“情境—探究—应用”的学习支架，衔接前后知识。 资料通过“探究—证明—归纳—应用”流程，培养推理意识，情境问题发展应用意识，动手操作提升几何直观。习题分层设计，含例题、变式及当堂反馈，助力学生掌握知识，发展数学核心素养。

第一章 三角形的证明 1.2 等腰三角形 第3课时 等边三角形的判定及含角的直角三角形的性质 【素养目标】 1. 学习并掌握等边三角形的判定方法， 能够运用等边三角形的性质和判定解决问题。(重点) 2. 理解并掌握含角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题。(难点) 3. 通过探究含角的直角三角形的性质的过程，加深对特殊直角三角形的认识，培养分析问题、解决问题的能力。 【情境导入】 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 为小路端点) 和一棵小树 为小树位置 .测得的相关数据为：，， ，则 长多少 m ? 【合作探究】 探究点一、等边三角形的判定 探究：一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流。 【证一证】 定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形。 已知： 如图， . 求证： 是等边三角形。 定理：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 已知：若 . 求证：是等边三角形。 证明完整吗？ 是不是还有另一种情形呢？ 【验证】第二种情况：有一个底角是 . 已知： 如图，在 中， . 求证：是等边三角形。 【归纳总结】 等腰三角形 (含等边三 角形) 性质 判定 例1 如图，在等边三角形中， , 求证：是等边三角形。 想一想：本题还有其他证法吗？ 变式：上题中，若将条件 改为 , 还是等边三角形吗？试说明理由。 已知：如图，在等边三角形 中， . 求证： 是等边三角形。 【回顾导入】 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 为小路端点)和一棵小树 为小树位置 . 测得的相关数据为： , 则 长多少米？ 探究点二、含30°的直角三角形的性质 操作：用两个含有 角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？ 想一想：在直角三角形中， 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 【猜想验证】 已知：如图， 是直角三角形， . 求证： . 【定义总结】 定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 , 那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言： 在 中， . . (在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半) 拓展推论： 例2 求证：如果等腰三角形的底角为 ，那么腰上的高是腰长的一半。 已知：如图，在 中， , 是腰上的高， 求证： . 【练一练】2.如图，在 中，是高， . 则 的长为_____. 当堂反馈 1.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，AB＝6，则AC的长为 ( 　) A.4 B.6 C.8 D.10 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB的长为 ( 　) A.4 B. 3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，则底边上的中线AD＝______. 4.下列三角形：①有两个内角是60°的三角形；②有两边相等且是轴对称的三角形；③有一个角是60°且是轴对称的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。其中是等边三角形的有___________. 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC.若AD＝6，求CD的长。 书写通关 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC=_________. ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠_______=30°. ∴∠ABD=∠A. ∴AD=________ = 6. 又∵∠DBC＝30°. ∴ CD =_____ BD =__________ . 6.如图，△ABC是等边三角形，D为AC上任一点，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.求证：△ADE是等边三角形。 参考答案 探究点一、等边三角形的判定 【证一证】 定理： 三个角都相等的三角形是等边三角形。 证明： . , . . 是等边三角形。 定理：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 证明： , . . . 是等边三角形。 【验证】第二种情况：有一个底角是 . 证明： (已知), (等边对等角). (三角形内角和定理). . 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等边三角形). 【归纳总结】 等腰三角形 (含等边三 角形) 性质 判定 等边对等角 等角对等边 “三线合一”，即等腰三角形顶角平分线， 底边上的中线、高线互相重合 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相等，且每个角都是 60° 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形 例1 证明： 是等边三角形， . , . . 是等边三角形。 变式： 证明： 是等边三角形， . , 是等腰三角形。 又 . 是等边三角形。 【回顾导入】 探究点二、含30°的直角三角形的性质 想一想： 猜想：在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半。 【猜想验证】 证明： 延长 至点 ，使 ，连接 . , . , (SAS). (全等三角形的对应边相等). 在 中， (三角形内角和定理). . . 是等边三角形(有一个角是 的等腰三角形是等边三角形). 例2 证明：在 中， , (等边对等角). (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 是腰 上的高， . (在直角三角形中，如果有一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半). . 【练一练】2. 1. 当堂反馈 1.　B　 2.　A　 3.　6　. 4.　①③④　. 5. 书写通关 60　° ∠DBC　BD　 　　3　 6.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴AD=AE,∠BAD=∠CAE=60°. ∴△ADE是等边三角形。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $