1.2 第2课时 等腰三角形的判定与反证法（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦等腰三角形的判定定理（等角对等边）及反证法，课堂导入通过回顾等腰三角形性质，结合海上救生船情境问题，搭建从性质到判定的认知支架，引导学生建立新旧知识联系。 该资料以情境导入培养数学眼光，通过合作探究中的证明过程发展推理能力（数学思维），反证法步骤训练逻辑表达（数学语言）。习题设计层次分明，含辨一辨、典例精析及当堂反馈，助力学生巩固知识，提升分析归纳能力。

第一章 三角形的证明 1.2 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定与反证法 【素养目标】 1. 掌握等腰三角形的判定定理并学会运用.(重、难点) 2. 理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明。 (重点) 3. 通过推理证明等腰三角形的判定方法的过程， 发展推理能力， 培养分析、归纳问题的能力。 【情境导入】 问题：等腰三角形有哪些性质定理及推论？ 如图，位于海上 、两处的两艘救生船接到处遇险船只的报警，当时测得 . 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发， 能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)? 【合作探究】 探究点一、等腰三角形的判定 前面已经证明了等腰三角形的两底角相等。 反过来， 有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 建立数学模型： 如图，在 中， ，那么它们所对的边和有什么数量关系？ 你能验证你的结论吗？ 方法思考： ① 作高 可以吗？ ② 作角平分线 呢？ ③ 作中线 呢？ 【证一证】 证明： 过 作 平分 交 于点 . 还有别的方法吗？ 【知识要点】 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。 (简称 “等角对等边”). 应用格式： 在 中， , (等角对等边). 辨一辨：如图，下列推理正确吗？ ∵ ∠1=∠2 ∵ ∠1=∠2 ∴ BD = DC (等角对等边). ∴ DC = BC (等角对等边) 【典例精析】 例1 已知：如图， ， ，与相交于点 . 求证： 是等腰三角形。 【练一练】 1.已知： 如图，在 中， , 点分别是上的点，且 . 求证： 为等腰三角形。 探究点二、反证法 想一想：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等， 那么这两个角所对的边也不相等。 你认为小明这个结论成立吗？ 如果成立， 你能证明它吗？ 小明是这样想的： 如图，在中，已知 ，此时，与要么相等，要么不相等。 假设，那么根据定理“等角对等边”可得 ，这与已知条件是 , 相矛盾，因此 . 你能理解他的推理过程吗？ 【知识要点】 在证明时， 先假设命题的结论不成立， 然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立， 这种证明方法称为反证法。 【方法总结】 用反证法证题的一般步骤 1. 假设：先假设命题的结论不成立； 2. 归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果； 3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。 例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。 已知： . 求证： 中不能有两个角是直角。 【练一练】 2.求证：在一个三角形中，至少有一个内角≤60°. 已知： . 求证： 中至少有一个内角小于或等于 . 证明： 假设 __________________________________________ , 则 __________________________________________ . __________________________________________ , 即 __________________________________________ . 这与 __________________________________________ 矛盾， 故假设不成立。 __________________________________________ . 当堂反馈 1.在△ABC中，∠B＝∠C.若AC＝4，则AB的长为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD的长为 (　　) A.3 cm B.4 cm　 C.1.5 cm D.2 cm 第2题图 　第3题图 3.把两个全等的含30°角的直角三角板按如图所示的方式拼在一起，其中等腰三角形有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.用反证法证明“等角对等边”，应先假设__________________________________. 5.如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠DBC＝36°. (1)求∠1的度数； (2)求证：BC＝BD＝AD. 参考答案 探究点一、等腰三角形的判定 【证一证】 证明：过作平分 交于点 . 在与 中， (AAS). . 辨一辨：错，因为都不是在同一个三角形中。 例1 证明： , (SSS). (全等三角形的对应角相等). (等角对等边). 是等腰三角形。 【练一练】1. 证明： , . 又 , . . 为等腰三角形。 探究点二、反证法 例2 证明： 假设 中有两个角是直角， 不妨设和是直角， . 于是 . 这与三角形的内角和定理矛盾，因此 和 是直角的假设不成立。 所以一个三角形中不能有两个角是直角。 【练一练】2. 证明：假设 中没有一个内角小于或等于 , 则 . , 即 . 这与 三角形的内角和为 矛盾，故假设不成立。 中至少有一个内角小于或等于 . 当堂反馈 1. C. 2. A.　 3. D. 4.　某三角形中的两个角相等，这两个角所对的边不相等　. 5.(1)解：在△ABC中，∵∠ABC＝180°－∠A－∠C＝72°， ∴∠1=∠ABC -∠DBC=36°. (2)证明：在△BCD中， ∵∠2=180°-∠DBC -∠C=72°, ∴∠2=∠C. ∴ BD = BC. ∵∠1=∠A = 36°,∴ BD = AD. ∴BC = BD = AD. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $