1.1 第4课时 多边形的外角和（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“多边形的外角和”，属三角形证明章节第4课时。通过小刚沿五边形步道慢跑的情境导入，提问方向改变角及其总和，衔接三角形内角和知识，以问题链为支架引导探究。 资料以情境化探究为主线，通过问题链（外角与内角关系等）发展推理意识，例题、变式题及当堂反馈分层训练，培养应用意识，助力学生用数学思维解决问题，提升核心素养。

第一章 三角形的证明 1.1 三角形内角和定理 第4课时 多边形的外角和 【素养目标】 1. 探索多边形的外角和公式， 进一步发展简单推理的意识及能力。 (重点) 2. 会用多边形的外角和公式解决相关问题。 (难点) 【情境导入】 如图，小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑。 (1) 小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角。 (2) 他每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和是多少度？说说你的理由，并与同伴进行交流。 【合作探究】 探究点、多边形的外角和 【知识要点】 多边形内角的一边与另一边的反向延长 线所组成的角，叫作这个多边形的外角。如 图所示。 在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 它们的和叫作这个多边形的外角和。 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角。 问题1: 任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 问题2: 五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？ 问题3: 这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？ 【想一想】如果广场的形状是六边形、八边形， 那么结果会怎样？ 思考：边形的外角和又是多少呢？ 定理 多边形的外角和都等于_______. 问题4: 回想正多边形的性质，你知道正边形的每个内角是多少度吗？ 每个外角呢？ 例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7 : 2, 求这个多边形的边数。 【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大 ，求这个多边形的每个内角的度数及边数。 【练一练】 如图所示，小华从点 出发，沿直线前进 10 米后左转 ，再沿直线前进 10 米，又向左转 ，照这样走下去，他第一次回到出发地点 时， 走的路程一共是________米。 当堂反馈 1.若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 2.内角和与外角和相等的图形是(　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 3.如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角。若∠1＝32°，∠3＝60°，则∠2的度数是_______. 第3题图 第4题图 4.经过多边形一个顶点共有5条对角线，若这个多边形是正多边形，则它的每一个外角是________度。 5.如图，五边形ABCDE中，∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数是_____. 6.已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角的度数为_______. 7.李师傅要为某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的 多12°，请你帮李师傅求出这个正多边形的一个内角的度数和它的边数。 参考答案 探究点、多边形的外角和 问题1: 互补 问题2: 问题3: 五边形的外角和= 5个平角和-五边形内角和 .结论：五边形的外角和等于 . 【想一想】 思考： 边形的外角和个平角和边形的内角和 . 定理 多边形的外角和都等于 . 问题4: 每个内角的度数是 ，每个外角的度数是 . 例1 解： 设这个多边形是边形，则它的内角和等于 ，外角和等于 .根据题意，得 ，解得 .所以，这个多边形是八边形。 例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是 7 : 2, 求这个多边形的边数。 解法一： 设这个多边形的内角为 ，外角为 , 根据题意得 , .即每个内角是 ， 每个外角是 .答： 这个多边形的边数是 9 . 解法二： 设这个多边形的边数为 ，根据题意得 解得 .答： 这个多边形的边数是 9 . 【变式题】解： 设该正多边形的内角是 ，外角是 , 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是 ，则该正多边形的边数为 . 故这个多边形的每个内角的度数是 ，边数是 3 . 【练一练】 150 米。 当堂反馈 1. C. 2. B. 3.　88°　. 4.　45度. 5.　300°. 6.　60°. 7.解：设这个正多边形的一个内角的度数是 x°，则x＋ x＋12＝180， 解得x＝140. ∴ 这个正多边形的一个内角的度数是140°， 一个外角的度数是180°－140°＝40°. ∴ 这个正多边形的边数是 ＝ 9. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $