第1章 问题解决策略：反思（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦三角形证明，核心为等腰三角形性质（中线、高、角平分线相等）及全等三角形判定应用。通过复习等腰三角形性质和全等判定定理导入，搭建旧知到新知的学习支架，引导探究证明思路。 亮点是以“反思”策略贯穿，逆向反思逆命题、比较全等证法、拓展至高与角平分线，发展推理能力与创新意识。探究式教学结合知识网小结，助学生深化理解，教师可提升教学效率，落实核心素养。

问题解决策略：反思 第一章 三角形的证明 北师版八年级(下) 1. 经历借助“特殊化”策略解决问题的过程，了解“特殊化”策略的意义、运用情境和一般步骤，体会“特殊化”策略在分析问题、解决问题中的价值，发展推理能力。(重点) 2. 积累利用“特殊化”策略解决不同知识领域问题的经验，提高分析问题、解决问题的能力。 (难点) 素养目标 问题：等腰三角形有哪些基本性质？全等三角形判定定理有哪些？ 等腰三角形两腰相等、两底角相等、底边上的高，中线，角平分线三线合一； 全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 复习导入 证明：等腰三角形两腰上的中线相等。 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 和 CE 分别是边 AC，AB 上的中线。 求证：BD＝CE。 问题 理解问题 已知条件是什么？目标是什么？将条件标注到图形中，你发现了哪些相等关系? AE＝ AB AD＝ AC 新知探究 拟订计划 (1) 证明两条线段相等有哪些常用的方法？ 证明两条线段所在的三角形全等、 利用等腰三角形的性质(等角对等边)、利用线段的垂直平分线性质等。 新知探究 (2) 以 BD 为边的三角形有哪些？以 CE 为边的三角形呢？其中哪些三角形有可能全等？ 以 BD 为边的三角形：△ABD、△BDC。 以 CE 为边的三角形：△ACE、△BCE。 △ABD 与△ACE 有可能全等。 △BDC 与△BCE 有可能全等。 新知探究 (3) 找出两个有可能全等的三角形，要证明这两个三角形全等，已知哪些边或角相等？还需要证明哪些边或角相等？ △ABD 与△ACE 有可能全等。 已知相等的边或角： AB＝AC (已知)，∠A＝∠A (公共角)， AD＝AE (由 AB＝AC 及中线定义可得) 不需要再证明其他边或角相等，可根据“SAS”(边角边) 判定三角形全等。 新知探究 (4) 整理你的思路，并与同伴进行交流。 思路：先根据中线定义和 AB＝AC得出 AD＝AE， 再利用“SAS”证明 △ABD≌△ACE，最后由全等三角形对应边相等得出 BD＝CE。 新知探究 按照下述思路写出证明过程，并说明每一步的理由。 实施计划 (1) 通过△ABD≌△ACE，证明 BD＝CE。 解：∵ BD 是 AC 边上的中线， ∴ AE＝ AB； ∴ AD＝ AC； ∵ CE 是 AB 边上的中线， 又∵ AB＝AC，∴ AD＝AE。 又∵ ∠A＝∠A (公共角)， ∴△ABD≌△ACE (SAS)。 ∴BD＝CE。 新知探究 (2) 通过△CBD≌△BCE，证明 BD＝CE。 解：∵ BD 是 AC 边上的中线， ∴ BE＝ AB； ∴ CD＝ AC； ∵ CE 是 AB 边上的中线， 又∵ AB＝AC， ∴ ∠ABC＝∠ACB，BE＝CD。 又∵BC＝BC(公共角)， ∴△CBD≌△BCE (SAS)。 ∴BD＝CE。 新知探究 回顾反思 (1) 比较两种证明方法，你更喜欢哪种方法？说说你的理由。 答案不唯一，比如更喜欢第一种方法。 理由：第一种方法直接利用等腰三角形的边相等以及公共角，结合中线定义得到全等条件，步骤相对更简洁直接，从三角形的“上半部分”直接证明全等，思路更清晰。 新知探究 (2) 根据题目的条件，你还能得到哪些结论？与同伴进行交流。 还能得到∠ABD＝∠ACE， ∠ADB＝∠AEC 等结论 (由△ABD≌△ACE， 全等三角形对应角相等)； 也能得到∠CBD＝∠BCE (由△CBD≌△BCE， 全等三角形对应角相等)。 新知探究 (3) 适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论？ 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 和 CE 分别是边 AC，AB 上的高。 求证：CE＝BD。 证明如下：∵△ABC 是等腰三角形， ∴∠ABC =∠ACB . ∵ CE⊥AB ，BD⊥AC ， ∴ ∠BEC = ∠CDB = 90°. ∵ BC=CB ， ∴△BEC≌△CDB (AAS). ∴CE = BD. 新知探究 (4) 本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等。反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？你能证明自己结论的正确性吗? 已知：如图在△ABC 中，BD、CE 分别是边 AC 和 AB 上的中线，CE＝BD， 求证：△ABC 是等腰三角形。 新知探究 ∵ CE 是边 AB 上的中线， ∴ AE = BE. ∵ DE = FE，∠AED = ∠BEF，AE = BE， ∴△AED≌△BEF (SAS). ∴∠A = ∠FBE，AD = BF. ∵ BD 是边 AC 上的中线， ∴AD = DC = BF. ∵∠BDC =∠A +∠ABD，∠DBF =∠FBE +∠ABD. ∴∠BDC =∠DBF. 证明：连接 DE 延长至 F，使 DE = FE，连接BF . F 新知探究 ∵ DC = BF，∠BDC =∠DBF，BD = DB， ∴△BDC≌△DBF (SAS). ∴∠CBD =∠FDB. ∴FD∥BC. 延长 BC 至点 G，使 CG = DE， ∵FD∥BG，∴∠EDC =∠GCD. ∴△EDC≌△GCD(SAS). ∴ EC = GD=BD，∠ECD =∠GDC. ∴ EC∥DG.∴∠ECB =∠G =∠DBC. ∵ EC = DB，BC = CB，∴△EBC≌△DCB (SAS). ∴∠EBC =∠DCB. ∴△ABC 是等腰三角形. F G 新知探究 相等. 理由：设 BD，CE 相交与点 O. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵ BD、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线, ∴∠EBO＝∠CBO＝∠OCB＝∠OCD. ∴OB＝OC. ∵∠EOD＝∠DOC， ∴△EOB≌△DOC. ∴EO＝DO. ∵EO＋OC＝DO＋OB， ∴CE＝BD. 拓展：如果把原题中的 BD、CE 分别是边 AC 和 AB 上的中线换成 BD、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，CE 和 BD 还相等吗？ 新知探究 例1 证明命题“全等三角形对应边上的中线相等”. 已知：如图，△ABC≌△A'B'C'，AD 和 A'D' 分别是边 BC，B'C' 上的中线. 求证：AD = A'D'. A B C D A' B' C' D' 证明：∵△ABC≌△A'B'C'， ∴AB = A'B'，∠B =∠B'，BC = B'C'. ∵AD，A'D′ 是 BC 和 B'C'上的中线， ∴BD = BC，B'D' = B'C'. 在△ABD 与△A'B'D' 中， ∴BD = B'D'. ∴△ABD≌△△A'B'D'. ∴AD = A'D'. AB = A'B'， ∠B =∠B'， BD = B'D'， 新知探究 例2 将 0 ~ 9 这 10 个数字填写到图中 10 个圆圈内，使得相邻两数差的绝对值的和最大. 解：如图所示(答案不唯一). 0 8 2 6 4 5 3 7 1 9 新知探究 问题解决策略：反思 结论逆向反思 拓展反思 方法反思 反推“两边中线相等一三角形等腰”，深化性质与判定关联 比较两种全等证法，积累思路 延伸至高、角平分线及等边三角形，构建知识网 课堂小结 1. 如图，△ABC 是等边三角形，BD⊥AC，点 E 在 BC的延长线上，且∠EDC＝30°. 求证：△BDE 是等腰三角形。 解：∵△ABC 是等边三角形，BD⊥AC， ∴根据等边三角形的性质，∠ABC =∠BCA = 60°， ∠DBC = ∠ABC = 30°. ∵∠EDC = 30°， ∴∠E = ∠ACB－∠EDC = 60°－30° = 30°. ∴∠DBC = ∠E = 30°. ∴BD = DE. ∴△BDE 是等腰三角形. 课堂小结 2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC ，垂足分别为 E 、F. 求证：DE = DF . 证明： ∵ DE⊥AB ，DF⊥AC ， ∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°. 又 ∵ AB = AC ， ∴ △ABC 是等腰三角形，∴∠B =∠C . ∵ D 是 BC 边的中点， ∴ DB = DC. ∴△EBD≌△FCD (AAS) ， ∴ DE = DF. 新知探究 变式1：在上图中，若点 D ，E ，F 分别是 BC ，AB ，AC 边的中点．DE 与 DF 依然相等吗？ 证明： ∵ E 、F 分别为 AB ，AC 的中点 ， ∴AE = AB AF= AC. 又 ∵ AB = AC ，∴ AE = AF . ∵ D 是 BC 边的中点，而△ABC为等腰三角形 ∴ AD 为∠BAC 的角平分线. ∴△AED≌△AFD (SAS) ， ∴ DE = DF . 新知探究 变式2：在上图中，如果 DE ，DF 分别是 ∠ADB，∠ADC 的平分线 ，DE 与 DF 还有相等的数量关系吗？ 证明： ∵ AB = AC ，D 为 BC 的中点 . ∴ AD⊥BC ，AD 平分∠BAC. 而 DE ，DF 分别是 ∠ADB，∠ADC 的平分线. ∴ ∠ ADE = ∠ADF ，∠DAE = ∠DAF . 在 △ AED 和△ AFD 中， ∴△AED ≌ △AFD (ASA) ，∴ DE = DF . 新知探究 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $