第1章 问题解决策略：反思 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

一、几何背景下的多结论问题 问题解决策略：反思 掌握证明两条线段相等的常用．能够针对解决过的问题进行回顾反思． 课标要求 第一章　三角形的证明 随堂测 策略应用 课堂讲练 策略迁移 1 课堂讲练 返回目录 返回目录 问题解决策略：反思 问题 等腰三角形中的相等线段 例1　（新BS八下P42改编）证明：等腰三角形两腰上的中线相等． 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是边AC，AB上的中线． 求证：BD＝CE. 返回目录 问题解决策略：反思 【问题分析】（1）证明两条线段相等有哪些常用的？分别适用于什么情况？ 解：①全等：已知“边的关系（含公共边）”或“边角关系”，要证明的两条线段在两个三角形中； ②等角对等边：已知角度关系，要证的两条线段在同一个三角形中； ③角平分线或垂直平分线的性质：已知角平分线、垂线、垂直平分线． 返回目录 问题解决策略：反思 （2）以BD为边的三角形有_________________，以CE为边的三角形有_________________，其中哪些三角形可能全等？ △ABD和△BCD △ACE和△BCE 解：△ABD和△ACE、△BCD和△CBE可能全等． 返回目录 问题解决策略：反思 （3）找出两个有可能全等的三角形，要证这两个三角形全等，已知哪些边或角相等，还需证明哪些边或角相等？ 解：在△ABD和△ACE中，已知AB＝AC，∠A＝∠A，需证明AD＝AE. 在△BCD和△CBE中，已知BC＝CB，需证明CD＝BE，∠BCD＝∠CBE. 返回目录 问题解决策略：反思 【问题解决】（4）下面有两种思路，请任选一种完成证明． 思路一：通过△ABD≌△ACE，证明BD＝CE. 思路二：通过△BCD≌△CBE，证明BD＝CE. 解：选择思路一．证明如下： ∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线， 又∵AB＝AC，∴AD＝AE. 返回目录 问题解决策略：反思 ∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴BD＝CE. （或选择思路二．证明如下： ∵AB＝AC，∴∠BCD＝∠CBE. ∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线， 返回目录 问题解决策略：反思 ∴△BCD≌△CBE（SAS）.∴BD＝CE.） 返回目录 问题解决策略：反思 【回顾反思】（5）比较两种证明，你更喜欢哪种？说说你的理由． 解：更喜欢思路一．因为已知条件更多，思路更简单．（答案不唯一） 返回目录 问题解决策略：反思 （6）根据题目的条件，你还能得到哪些结论？请任写出一个，并给出证明． 解：如答图1，设BD与CE相交于点O，则BO＝CO. 答图1 证明：由（4）可得△BCD≌△CBE. ∴∠CBD＝∠BCE. ∴BO＝CO.（答案不唯一） 返回目录 问题解决策略：反思 （7）适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论？ 解：将“BD和CE分别是边AC，AB上的中线”改为“BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线”，其余条件不变，求证：BD＝CE. 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∴∠ABD＝∠ACE. 返回目录 问题解决策略：反思 ∴△ABD≌△ACE（ASA）. ∴BD＝CE. （答案不唯一） 返回目录 问题解决策略：反思 （8）将题干中的条件与结论互换，并改变部分条件，该命题是否成立？如本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等．反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？你能证明上述命题的正确性吗？（提示：重心到三角形某一顶点的距离∶重心到该顶点所对的边的距离＝2∶1） 解：已知：如答图2，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD＝CE. 答图2 返回目录 问题解决策略：反思 求证：△ABC是等腰三角形． 证明：如答图2，取BC的中点F，连接AF，AF，BD，CE相交于 点G，则点G是△ABC的重心． 又∵BD＝CE，∴BG＝CG. ∵F是BC的中点，∴GF⊥BC，即AF⊥BC. ∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形． 答图2 返回目录 问题解决策略：反思 解决问题之后，还可以继续进行思考与尝试：①条件不变，尝试寻找更多可能成立的结论；②适当改变条件（如将条件改成更一般的条件、更特殊的条件或者类似的条件），探究结论是否仍然成立；③探究是否可以将一些条件和结论互换． 返回目录 问题解决策略：反思 策略应用 返回目录 返回目录 问题解决策略：反思 1.求证：全等三角形对应边上的中线相等． 已知：如图，__________________，线段AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的________． 求证：____________． 证明： △ABC≌△A′B′C′ 中线 AD＝A′D′ ∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′. ∵AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线， 返回目录 问题解决策略：反思 ∴△ABD≌△A′B′D′（SAS）. ∴AD＝A′D′. 返回目录 问题解决策略：反思 2.根据上述思考方向，小丽提出一个左边题目的变式，即“求证：全等三角形对应角的平分线相等”．请你完成填空并进行解答． 已知：如图，__________________，线段AD，A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的____________． 求证：______________．  证明： △ABC≌△A′B′C′ 平分线 AD＝A′D′ ∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′. ∵AD，A′D′分别是∠BAC和∠B′A′C′的平分线， 返回目录 问题解决策略：反思 ∴∠BAD＝∠B′A′D′. ∴△BAD≌△B′A′D′（ASA）. ∴AD＝A′D′. 返回目录 问题解决策略：反思 策略迁移 返回目录 返回目录 问题解决策略：反思 3.将0～9这10个数字填写到图中10个圆圈内，使得相邻两数差的绝对值的和最大． 解：填数如答图3所示．（答案不唯一） 答图3 返回目录 问题解决策略：反思 参考上述问题提出几个新的问题，并说明它们与原来问题的联系与区别． 返回目录 问题解决策略：反思 随堂测 返回目录 返回目录 问题解决策略：反思 1．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF，求证：AB＝AC. 证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∴△BDE≌△CDF（HL）. ∴∠B＝∠C.∴AB＝AC. 返回目录 问题解决策略：反思 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFB＝90°. ∵D为AB的中点，∴AD＝BD. ∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL）.∴∠A＝∠B. 又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠A＝∠B＝∠C. ∴△ABC是等边三角形． 返回目录 问题解决策略：反思 ∴AD＝AC，AE＝AB. 在△ABD和△ACE中， ∴CD＝AC，BE＝AB.∴CD＝BE. 在△BCD和△CBE中， ∴∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB. 在△ABD和△ACE中， 由重心的性质可知BG＝BD，CG＝CE. ∴BD＝BC，B′D′＝B′C′.∴BD＝B′D′. 在△ABD和△A′B′D′中， ∴∠BAD＝∠BAC，∠B′A′D′＝∠B′A′C′. 在△BAD和△B′A′D′中， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， 在Rt△ADE和Rt△BDF中， $