第4章 因式分解 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学单元复习课件系统梳理了因式分解的定义、提公因式法、平方差公式和完全平方公式，通过知识要点分层次呈现定义内涵、方法步骤及注意事项，构建从概念理解到方法应用的逻辑脉络，帮助学生形成完整的因式分解知识网络。 其亮点在于采用“知识梳理-考点例析-分层训练”的复习策略，如通过“提公因式法分解多项式”“平方差公式解决阴影面积问题”等实例，培养学生的运算能力和推理意识，设置基础练、综合练和优题分层练习，满足不同学生需求，既巩固知识又提升应用能力，助力教师高效开展针对性复习教学。

小结与复习 第四章 因式分解 北师版 八年级(下) 一、因式分解 1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫 做多项式的_________，也叫将多项式__________. 2. 因式分解的过程和　 　的过程正好______： 前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者 是把几个整式的______化为一个________. 因式分解 乘积 分解因式 整式乘法 相反 多项式 乘积 乘积 知识要点 二、提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个 多项式各项的________，简称多项式的________. 2. 公因式的确定： (1)系数：多项式各项整数系数的 ； (2)字母：多项式各项　 　的字母； (3)各字母指数：取次数最　　的． 公因式 公因式 最大公约数 相同 低 知识要点 3. 定义：逆用乘法对加法的______律，可以把 _______写在括号外边，作为积的一个_____，这 种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法. 分配 公因式 因式 知识要点 三、公式法 —— 平方差公式 1. 因式分解中的平方差公式 a2－b2＝　 　 ； 2. 多项式的特征：(1) 可化为个____整式； (2) 两项符号______； (3) 每一项都是整式的______. 3. 注意事项：(1) 有公因式时，先提出公因式； (2) 进行到每一个多项式都不能再分解为止. (a＋b)(a－b) 两 相反 平方 知识要点 四、公式法 —— 完全平方公式 1. 完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( )2 a2 - 2ab + b2 = ( )2 2. 完全平方式的特征：(1) 三项式； (2) 有两项是两个数 (或式) 的_______的形式； (3) 另一项是这两个数 (或式) 的______的_____倍. 3. 注意事项：有公因式时，应先提出_______. a + b a - b 平方和 乘积 ±2 公因式 知识要点 例1 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1) a2 - 4 + 3a = (a + 2)(a - 2) + 3a； (2) (a + 2)(a - 5) = a2 - 3a - 10； (3) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2； (4) 3x - 2xy + x = x(3x - 2y)2. 考点一 因式分解与整式乘法的关系 不是 不是 是 不是 考点讲练 考点二 提公因式法分解因式 例2 因式分解： (1) 8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c)； (3) (a＋b)(a－b)－a－b. 解：(1) 原式 ＝ 4ab2(2a2＋3bc). (2) 原式 ＝ (2a－3)(b＋c). (3) 原式 ＝ (a＋b)(a－b－1). 方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 考点讲练 1. 把下列多项式分解因式. (1) (x3－x2)＋(x－1) (2) ax－bx－ay＋by 解：(1)原式＝(x3－x2)＋(x－1) ＝x2(x－1)＋(x－1) ＝(x－1)(x2＋1) (2)原式＝(ax－bx)－(ay－by) ＝x(a－b)－y(a－b) ＝(a－b)(x－y) 【练一练】 考点讲练 例3 计算： (1) 39×37－13×91； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. 考点三 利用提公因式法求值 解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91 ＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14 ＝ 20.16×(29＋72＋13－14)＝2016. 考点讲练 2. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值． 解：因为 a＋b ＝ 7，ab ＝ 4， 所以原式＝ ab(a＋b) ＝ 4×7＝28. 方法归纳 原式提取公因式变形后，将 a＋b 与 ab 作为一个整体代入计算即可得出答案． 【练一练】 考点讲练 考点四 平方差公式分解因式 例4 分解因式： (1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2. 解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 考点讲练 3. 已知 x2－y2＝－1，x＋y＝ ，求 x－y 的值. 解：∵ x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1， x＋y＝ ， ∴ x－y＝－2. 【练一练】 考点讲练 4. 如图，100 个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为 100 cm，向里依次为 99 cm，98 cm，…，1 cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？ 考点讲练 解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积 的差，而正方形的面积是其边长的平方， 则 S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050． 答：所有阴影部分的面积和是 5050 cm2. 考点讲练 考点五 完全平方公式分解因式 例5 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2) (a2＋4)2－16a2. 解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2. (2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2. 考点讲练 5. 已知 a＋b＝5，ab＝10，求 a3b＋a2b2＋ ab3的值. 解： a3b＋a2b2＋ ab3＝ ab(a2＋2ab＋b2) ＝ ab(a＋b)2. 当 a＋b＝5，ab＝10 时， 原式＝ ×10×52＝125. 【练一练】 考点讲练 因式分解 定义 提公因式法 公式法 平方差公式 完全平方公式 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $