第四章 4.1 因式分解（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

新知一览 因式分解 提公因式为多项式的因式分解 因式分解 提公因式为单项式的因式分解 公式法 提公因式法 完全平方公式 平方差公式 4.1 因式分解 第四章 因式分解 八年级下册数学（北师版） 问题：993 - 99 能被 100 整除吗？ 所以，993 - 99 能被 100 整除. 想一想：993 - 99 还能被哪些整数整除? 复习回顾 因式分解的概念 1 议一议 你能尝试把 a3 - a 化成几个整式的乘积的形式吗? 与同伴交流. 提示：类比 993 - 99 的因数分解 a3 - a = a(a2 - 1) = a(a + 1)(a - 1) 探究新知 做一做 观察下面拼图过程，写出相应的关系式. (1) a m b m c m a+b+c m ________________＝________________ m(a + b + c) ma + mb + mc x x ________________＝________________ (2) 1 x x 1 1 1 x+1 x+1 x2 + 2x + 1 (x + 1)2 联系：等号左右两边是同一多项式的不同表现形式. 区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多 项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？ 问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？ 其中，每个整式都叫做这个多项式的因式. 归纳总结 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式. 判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解： A. x(a﹣b) = ax﹣bx B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2 C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1) D. ax + by + c = x(a + b) + c E. 2a3b = a2 • 2ab F. (x + 3)(x﹣3) = x2﹣9 √ × × × × × 提示：判定一个等式是因式分解的条件：(1)左边是多项式；(2)右边是积的形式；(3)右边的因式全是整式. 辩一辩 根据左边的算式进行因式分解： (1) 3x2-3x = ( )( ) (2) ma+mb-m = ( )( ) (3) m2-16 = ( )( ) (4) y2-6y+9 = ( )( ) 计算下列各式： (1) 3x(x - 1) = __________ (2) m(a+b-1) = _______ (3)(m+4)(m-4) = _____ (4)(y-3)2 = _____ 3x2 - 3x ma+mb-m m2 -16 y2-6y+9 3x x-1 m a+b-1 m+4 m-4 y-3 y-3 做一做 或 (y-3)2 想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同? 由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是整式乘法， 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与上面的变形互为逆过程. 因式分解与整式乘法的关系 2 x2 - 1 (x + 1)(x - 1) 因式分解 整式乘法 想一想：因式分解与整式乘法有什么关系? 是互为相反的变形，即 因式分解等式的特征： x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) 左边是多项式， 右边是几个整式的乘积. 例 若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为 a(x﹣2)(x + 3)，求 a，b 的值. 解：∵ x2 + ax + b = a(x﹣2)(x + 3) = ax2 + ax - 6a， ∴ a = 1，b =﹣6a =﹣6. 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可. 典例精析 下列多项式中，分解因式的结果为 -(x + y)(x - y)的是（　　） A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2 C．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2 B 练一练 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式分解，也可称为___________ 其中，每个整式叫做这个多项式的______ 与多项式乘法运算的关系 的变形过程 前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者是把几个整式的______化为一个_______ 积 分解因式 因式 相反 多项式 乘积 乘积 当堂小结 1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 ( ) A. a(a + b - 1) = a2 + ab - a B. a2 - a - 2 = a(a - 1) - 2 C. -4a2 + 9b2 = (-2a + 3b)(2a + 3b) D. 2x +1 = x(2 + ) C 2. 把多项式 x2 + 4mx + 5 因式分解得 (x + 5)(x + n)，则 m + n 的值为 　 ． 　 课堂练习 3. 20242 + 2024 能被 2025 整除吗? 解：∵ 20242 + 2024 = 2024(2024 + 1) ∴ 20242 + 2024 能被 2025 整除. = 2024×2025， 4. 若多项式 x4 + mx3 + nx -16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值. 解：∵ x4 + mx3 + nx - 16 的最高次数是 4， ∴mn = -5×20 = -100． 解得 a = -2，b = -8，m = -5，n = 20. 比较系数得 2b= -16，b- 3a+2 = 0，a - 3=m，2a-3b=n， 则 x4+mx3+nx-16 = x4 +(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b ∴可设 x4 + mx3 + nx -16 = (x - 1)(x - 2)(x2 + ax + b)， 5. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 (x + 2)(x + 4)；乙看错了 a，分解结果为 (x + 1)(x + 9)，求 a + b 的值. 解：甲分解因式看错了 b，但 a 是正确的， ∴a + b = 15． ∴b = 9. 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， ∴ a = 6. 其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， $$