1.4 第2课时 三角形三边的垂直平分线与作图（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦三角形三边垂直平分线的性质及尺规作图，通过“食堂到三宿舍楼距离相等”的实际问题导入，转化为数学建模（找三角形内到三顶点等距的点），结合作等腰三角形、过直线外一点作垂线等探究活动，搭建从具体操作到性质归纳的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光（从现实问题抽象数学模型），通过尺规作图和性质证明发展数学思维（推理能力、逻辑论证），如例2中利用垂直平分线性质证明交点到三顶点等距。采用“问题-探究-归纳-应用”流程，小结清晰且当堂反馈及时，助力学生提升几何直观与空间观念，也为教师提供结构化教学资源。

1.4 线段的垂直平分线 第2课时 三角形三边的垂直平分线与作图 第一章 三角形的证明 北师版八年级(下) 1. 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题。(重点) 2. 能够利用尺规作出三角形的垂直平分线。(难点) 素养目标 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂 P 应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？ B C A P 情境导入 在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？ 在△ABC 中，如何找到一点 P 使得它到三角形三个顶点距离相等？ 数学建模 分析： 先探究某点到一边 证明该点特殊位置 解决实际问题 情境导入 做一做： (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗? 已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h. 求作：△ABC，使 BC = a，BC 边上的高为 h. Al D C B A a h (D) C B A a h Al D C B A a h Al 提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等. 探究点1：尺规作等腰三角形 新知探究 (2) 已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？ 这样的等腰三角形只有 1 个 想一想：如何作出一个已知底及底边上的高的等腰三角形呢？ 探究点1：尺规作等腰三角形 新知探究 如图，已知线段 a，h，用尺规作△ABC，使 AB = AC，BC = a，高 AD = h. l D C B a h A 作法：1. 作线段，使 BC = a； 2. 作线段 BC 的垂直平分线 l ，交 BC 于点 D； 3. 在 l 上作线段 DA，使 DA＝h . 4. 连接 AB，AC. △ABC 为所要作的等腰三角形. 【作图】 探究点1：尺规作等腰三角形 新知探究 【做一做】 还记得用尺规过直线 l 上一点 P 作 l 的垂线的方法吗？ 这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题. B P A l N M 探究点2：经过已知直线外一点作这条直线的垂线 新知探究 3. 作线段 AB 的垂直平分线 m. 2. 以点 P 为圆心，以 PQ 的长为半径作弧，交直线 l 于 A，B. B A 作法： 【做一做】 如果点 P 在直线 l 外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？ ● P C D l m 1. 任取一点 Q，使点 Q 与点 P 在直线 l 两旁. 直线 m 就是所要作的直线. Q 探究点2：经过已知直线外一点作这条直线的垂线 新知探究 探究点2：经过已知直线外一点作这条直线的垂线 例1 过点 A 作三角形 BC 边上的高 AD（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）。 A B C 解：如图所示，线段 AD 即为所求. A B C D 新知探究 【回顾导入】试问该食堂 P 应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？ B C A P 问题1：P 到 A 和 P 到 B 的距离相等，那点 P 所在的直线和 AB 有什么关系？ 点 P 所在的直线是 AB 的垂直平分线. 探究点3：三角形三边的垂直平分线的性质的应用 问题2：P 到 A 和 P 到 C 的距离相等，那点 P 所在的直线和 AB 有什么关系？ 点 P 所在的直线是 AC 的垂直平分线. 新知探究 P 在 BC 的垂直平分线上，P 是 AB，AC，BC三条线段的垂直平分线的交点. 探究点3：三角形三边的垂直平分线的性质的应用 操作：根据问题1 和问题2 画出相应的垂直平分线，并思考 P 在 BC 的垂直平分线上吗？ B C A P 新知探究 例2 已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线 PD 与边 BC 的垂直平分线 PE 相交于点 P。 求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P。 B C A P D E 分析：要证明点 P 在边 AC 的垂直平分线上，需要什么条件？ 已知的两条垂直平分线相交于点 P，由此你能得到哪些相关的结论？ 探究点3：三角形三边的垂直平分线的性质的应用 新知探究 试试看，你会写出证明过程吗？ PD是 AB 的垂直平分线 PE 是 BC 的垂直平分线 PA=PB PB=PC PA=PC 点 P 在 AC 的垂直平分线上 B C A P D E 探究点3：三角形三边的垂直平分线的性质的应用 新知探究 证明：如图，连接 PA，PB，PC。 ∴点 P 在 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)， ∴ PA = PB = PC。 ∴PA = PB，( 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 )。 同理，PB = PC。 ∵点 P 在 AB 的垂直平分线上， B C A P D E 即边 AC 的垂直平分线经过点 P。 探究点3：三角形三边的垂直平分线的性质的应用 新知探究 应用格式： ∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点， ∴ PA = PB = PC． A B C P 【归纳总结】 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 探究点3：三角形三边的垂直平分线的性质的应用 新知探究 【画一画】1.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. 锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点处； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外. 探究点3：三角形三边的垂直平分线的性质的应用 新知探究 1. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. A B C P l1 l2 l3 2. 已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形. 课堂小结 1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC＝10，BE＝6，则CE的长 为(　　　) A.2 B.4 C.6 D.8 C 当堂反馈 2. 某等腰三角形的顶角为100°，其中两边的垂直 平分线交于点P，则点P在(　C　) A. 三角形底边上 B. 三角形内 C. 三角形外 D. 无法确定 C 3. 在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PA，PB，PC的大小关系 是 . PA＝PB＝PC 当堂反馈 解：如图所示，点P即为所求. 解：如图所示，点P即为所求. 4. 在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在AC 上作点P，使P到A，B的距离相等.(保留作图痕 迹，不写作法和证明) 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $