1.4 线段的垂直平分线 (第2课时 三角形三边的垂直平分线与作图 )（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学课件聚焦三角形三边垂直平分线的性质及尺规作图，涵盖作等腰三角形、过点作已知直线的垂线等内容。课堂导入通过回顾线段垂直平分线的性质与判定定理，搭建旧知支架，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点是以“作图实践—性质证明—应用深化”为路径，通过尺规作等腰三角形、过直线外一点作垂线等活动，培养学生的几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维）。例如，在作等腰三角形时，结合线段垂直平分线性质规范作图步骤并验证，体现数学语言的严谨性。学生能提升动手与逻辑能力，教师可借助典例和变式训练优化教学效率。

4.线段的垂直平分线 第2课时 三角形三边的垂直平分线与作图 第一章 三角形的证明 学 习 目 标 1 2 通过观察、发现、作图等活动，能用尺规作出等腰三角形和过一点作已知直线的垂线。 通过操作、发现、证明等探究过程，掌握三角形三边垂直平分线的性质证明。 情景引入 A B C D 1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. 2.线段的垂直平分线的作法. 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 新知探究 前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形，那么，你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角形吗? 新知探究 尝试交流 （1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？ A1 D C B A a h ( ) D C B A a h A1 D C B A a h A1 新知探究 （2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？ 如图，已知线段 a，h，用尺规作△ABC，使 AB = AC， BC = a，高 AD = h。 a h 新知探究 已知：线段 a，h. 求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a，高AD = h. l D C B a h A 作法：1.作线段 BC = a； 2.作线段 BC 的垂直平分线 l 交 BC于点 D； 3.在 l 上作线段 DA，使 DA＝h . 4.连接 AB，AC. 则△ABC 为所求的等腰三角形. 新知探究 思考交流 还记得用尺规过直线 l 上一点 P 作 l 的垂线的方法吗？这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题。如果点 P 在直线 l 外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？请你试一试，并与同伴进行交流。 新知探究 思考交流 3.作线段 AB 的垂直平分线 m. 2.以点 P 为圆心，以 PQ 的长为半径作弧，交直线 l 于 A，B. B A 作法： ● P C D l m 1.任取一点 Q，使点 Q 与点 P 在直线 l 两旁. 直线 m 就是所要作的直线. Q 已知直线 l 和线外一点 P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P. 典例分析 方法技巧 要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件？已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论？ 例1.已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P，垂足分别为D，E。 求证：边AC的垂直平分线经过点P。 P A B C D E 典例分析 证明：如图，连接 PA，PB，PC。 ∴点 P 在 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)， ∴ PA = PB = PC。 ∴PA = PB，( 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 )。 同理，PB = PC。 ∵点 P 在 AB 的垂直平分线上， B C A P D E 即边 AC 的垂直平分线经过点 P。 新知探究 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 应用格式： ∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点， ∴ PA = PB = PC． A B C P 典例分析 例2.如图，P为△ABC三边的垂直平分线的交点，若∠PAC=20°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数。 解：∵P为△ABC三边的垂直平分线的交点， ∴PA=PB=PC。 ∴∠PCA=∠PAC=20°，∠PBC=∠PCB=30°，∠PAB=∠PBA。 ∴∠PAB= ×(180°－2×20°－2×30°)=40°。 课堂小结 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 P 三角形三边的垂直平分线： B C l D A P l Q A B m 尺规作图： 作等腰三角形 过直线外一点作已知直线的垂线 变式训练 1.通过如下尺规作图，能确定D是BC边的中点的是（ ） A 变式训练 2.如图，在△ABC 中，已知 AC = 27，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 50，求 BC 的长. A B E D C 解：因为 DE 为 AB 的垂直平分线， 所以 AE = BE. △BCE的周长为 d= EC + BE + BC = EC + AE + BC = AC + BC = 27 + BC = 50. 所以 BC = 23 . 感谢聆听! $