1.4 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦“线段的垂直平分线的性质与判定”，通过对折线段AB观察折痕引出定义，衔接轴对称知识，搭建从直观操作到逻辑推理的学习支架，帮助学生理解性质与判定的形成脉络。 其亮点在于以“证一证”“想一想”等环节强化推理意识，如性质定理用SAS全等证明，判定分点在线段上和线段外讨论，例2提供两种证法培养创新意识。学生能提升几何直观与逻辑推理能力，教师可借助例题、练习及小结高效开展教学。

1.4 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 第一章 三角形的证明 北师版八年级(下) 1. 掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题. (重点) 2. 通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，体验逻辑推理的数学方法. (难点) 素养目标 如图，画一条线段 AB ，然后对折 AB，使 A， B 两点重合，设折痕与 AB 的交点为 O. 你发现了什么? 我们把垂直且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线. A(B) B O A B 复习导入 如图，点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，AB 和 PC 相等吗? 改变点 P 的位置，结论还成立吗? A P B C 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 你能证明这一结论吗？ 探究点1：线段垂直平分线的性质 新知探究 【证一证】已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，AC = BC，P 是 MN 上的任意一点. 求证：PA = PB． 证明：∵ MN⊥AB， ∴ PA = PB (全等三角形的对应边相等)． ∴△PCA≌△PCB (SAS)． 又 AC = BC，PC = PC， ∴∠PCA =∠PCB = 90°． P A B M C N 如果点 P 与点 C 重合，那么结论显然成立. 探究点1：线段垂直平分线的性质 新知探究 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 【知识要点】 探究点1：线段垂直平分线的性质 新知探究 例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm C 探究点1：线段垂直平分线的性质 新知探究 解析：∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB， ∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm. ∵ AC＝AD＋DC＝20 cm， ∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 探究点1：线段垂直平分线的性质 新知探究 练一练： 1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 . B 10 cm P A B C D 图① A B C D E 图② 探究点1：线段垂直平分线的性质 新知探究 它是真命题吗？你能证明吗？ 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 逆命题 探究点2：线段垂直平分线的判定 新知探究 想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论 探究点2：线段垂直平分线的判定 新知探究 ① 当点 P 在线段 AB 上时， ∵ PA = PB， ∴ 点 P 为线段 AB 的中点， 显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上； ② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示. ∵ PA = PB， ∴△PAB 是等腰三角形. 过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C. ∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线. 即 PC⊥AB，且 AC = BC. ∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线， 此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上. 探究点2：线段垂直平分线的判定 新知探究 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【知识要点】 探究点2：线段垂直平分线的判定 新知探究 例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC. 证明：∵ AB = AC， 你还有其他证明方法吗？ C A B O ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线 (两点确定一条直线). 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴ 点A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 探究点2：线段垂直平分线的判定 新知探究 证明：延长 AO 交 BC 于点 D. ∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO (SSS). ∴∠BAO ＝ ∠CAO. ∵ AB＝AC， ∴ AO⊥BC. ∵ OB＝OC，OD＝OD， ∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL). ∴ BD＝CD. ∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC. C A B O D 探究点2：线段垂直平分线的判定 新知探究 试一试：已知：如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，连接 CD. 求证：OE 是 CD 的垂直平分线. A B O E D C 证明： ∵ OE 平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB， ∴ DE = CE (角平分线上的点到角的两边的距离相等). ∴ OE 是 CD 的垂直平分线. 探究点2：线段垂直平分线的判定 新知探究 线段的垂直平分线的性质和判定 性质 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 课堂小结 1. 已知PA＝6，当PB＝ 时，点P在线段AB 的垂直平分线上. 2. 如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN 上.若∠ACB＝80°，则∠A的度数为 . 6　 50°　 当堂反馈 3. 如图，已知DE⊥BC于E，BE＝CE， AB＋AC＝15，则△ABD的周长为(　A　) A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 第3题图 A 当堂反馈 4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分 ∠ABC交AC于E，DE垂直平分AB于D. 求证：BE＋DE＝AC. 证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠CBE. ∵DE⊥AB， ∴∠EDB＝90°＝∠C. 当堂反馈 在△DEB和△CEB中， ∴△DEB≌△CEB(AAS). ∴DE＝CE. ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE. ∴BE＋DE＝AE＋CE＝AC. ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE. ∴BE＋DE＝AE＋CE＝AC. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $