1.3 第2课时 直角三角形全等的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的“斜边、直角边”判定，通过复习已学三角形全等方法，结合“两边及对角相等是否全等”的问题链，搭建新旧知识支架，引导学生逐步探究新知。 其亮点在于通过“画一画”动手操作培养几何直观，利用勾股定理推理证明HL判定发展推理能力，结合滑梯等生活实例渗透应用意识。学生能深化理解，教师可借助系统流程和多样练习提升教学效果。

1.3 直角三角形 第2课时 直角三角形全等的判定 第一章 三角形的证明 北师版八年级(下) 1. 掌握“斜边、直角边”的判定方法.(重点) 2. 能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等.(难点) 3. 经历探索直角三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程，发展数学思维. 素养目标 问题1 ：我们学过哪些判定三角形全等的方法？ 问题2 ：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗? 如果其中一组等边所对的角是直角呢? 复习导入 问题： 如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠B =∠E = 90°， 且 AC = DF，BC = EF，现在能 判定△ABC≌△DEF 吗？ A B C D E F 探究点：直角三角形全等的判定 新知探究 【画一画】 已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形. 已知：如图，线段 a，c (a＜c)，直角 α. 求作：Rt△ABC，使∠C = ∠α，BC = a，AB = c. α a c 探究点：直角三角形全等的判定 新知探究 作法： 2. 过点作射线 CN 的垂线 CM . 3. 在射线 CM 上截取 CB＝a. A M C N 4. 以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，交射线 CN 于点 A. 5. 连接 AB. B α a c 1. 作射线 CN. △ABC 就是所要作的直角三角形. 探究点：直角三角形全等的判定 新知探究 【验证结论】已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，AB = A′B′，AC = A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′ 证明：在△ABC中， A B C A′ B′ C′ ∴ △ABC≌△A'B'C'( SSS ) . ∴ BC＝B'C'. ∵AB＝A'B'，AC＝A'C'， 同理，B'C' 2＝A'B' 2－A'C' 2. ∴ BC2＝AB2－AC2 (勾股定理). ∵∠C＝90° 探究点：直角三角形全等的判定 新知探究 文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： “斜边、直角边”判定方法 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL). AB = A′B′， BC = B′C′， A B C A′ B′ C′ 【知识要点】 探究点：直角三角形全等的判定 新知探究 判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么? 1. 一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形. 全等 (AAS) 探究点：直角三角形全等的判定 新知探究 2. 一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形. 全等 (ASA) 3. 两直角边对应相等的两个直角三角形. 全等 (SAS) 探究点：直角三角形全等的判定 新知探究 4. 有两边对应相等的两个直角三角形. 情况 1：全等 (SAS) 情况 2：全等 (HL) 探究点：直角三角形全等的判定 新知探究 例1 已知：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD， 求证：BC = AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角. AB = BA， AC = BD. 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC = AD. A B D C 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中 这是应用“HL”判定方法的书写格式. 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路 探究点：直角三角形全等的判定 新知探究 变式1：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，要证明△ABC ≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) A B D C AD＝BC ∠DAB＝∠CBA BD＝AC ∠DBA＝∠CAB HL HL AAS AAS 探究点：直角三角形全等的判定 新知探究 如图，AC、BD 相交于点 P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C、D，AD = BC. 求证：AC = BD. 变式 2 HL AC ＝ BD Rt△ABD ≌ Rt△BAC 探究点：直角三角形全等的判定 新知探究 如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系. 变式3 HL ∠ADB ＝ ∠CBD Rt△ABD ≌ Rt△CDB AD∥BC 探究点：直角三角形全等的判定 新知探究 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”定理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 探究点：直角三角形全等的判定 新知探究 例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？ BC = EF，AC = DF， ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B = ∠DEF (全等三角形的对应角相等). ∵∠DEF +∠F = 90°(直角三角形的两锐角互余)， ∴∠B +∠F = 90°. 解：根据题意，可知 ∠CAB = ∠FDE = 90°， B A D F C E 探究点：直角三角形全等的判定 新知探究 证明：∵ AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且 AD＝AF，AC＝AE， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD ＝ EF. ∵ AD ＝ AF，AB ＝ AB， ∴ Rt△ABD≌Rt△ABF (HL). ∴ BD＝BF. ∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE. 【练一练】 如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，若 AD＝AF，AC＝AE， 求证：BC＝BE. 探究点：直角三角形全等的判定 新知探究 “斜边、直角边” 内容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可 (两个条件中至少有一个条件是一组边相等) 课堂小结 1. 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能 直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是(　A　) A. HL B. ASA C. SAS D. SSS 第1题图　　 A 当堂反馈 2. 如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE. 若 直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添 加的一个条件是 . 第2题图 AC＝DE　 当堂反馈 3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝ AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD， CE. 若BD＝4 cm，CE＝3 cm，则DE＝ cm. 7　 当堂反馈 4. 如图，点D是△ABC的边BC的中点， DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F， 且BF＝CE. 求证：△ABC是等腰三角形. 证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD. ∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴△BDF与△CDE均为直角三角形. 当堂反馈 在Rt△BDF和Rt△CDE中， ∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL). ∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形. 当堂反馈 解：(1)当 P 运动到 AP＝BC 时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， ∵ PQ＝AB，AP＝BC， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△QPA (HL). ∴ AP＝BC＝5 cm. 5. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时 △ABC 才能和△APQ 全等？ 当堂反馈 (2) 当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， ∵ PQ＝AB，AP＝AC， ∴ Rt△QAP≌Rt△BCA (HL)， ∴ AP＝AC＝10 cm. ∴ 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等. 【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $