1.3 第1课时 直角三角形的性质与判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质与判定，涵盖两锐角互余、勾股定理及其逆定理，以及互逆命题等核心知识点。通过复习已学直角三角形性质导入，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从已知走向新知的证明与探究。 其亮点在于以问题驱动探究，通过勾股定理的欧几里得证法与赵爽弦图等多元证明，培养学生逻辑推理能力，结合四边形面积计算等实例，发展数学眼光与应用意识。课堂小结系统梳理知识，助力学生构建知识体系，教师可借助清晰流程与实例提升教学效果。

1.3 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 第一章 三角形的证明 北师版八年级(下) 1. 复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定.(难点) 2. 学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.(重点) 3. 理解逆命题、互逆命题的概念，能准确写出命题的逆命题，判断其真假，通过实例体会互逆命题的应用，提升逻辑推理能力 4. 能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯. 素养目标 直角三角形的两个锐角互余. 这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质. 问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 复习导入 问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ 证明：∵△ABC 是直角三角形， ∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°. 探究点1：利用角判定直角三角形 已知：△ABC 是直角三角形，∠C＝90°. 求证：∠A＋∠B = 90°． 新知探究 证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠A +∠B = 90°， ∴△ABC 是直角三角形 ∴∠C = 90°. 问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗? 为什么? 已知：在△ABC 中，∠A＋∠B = 90°. 求证：△ABC 是直角三角形． 新知探究 定理 直角三角形的两个锐角互余. 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 上面两个定理的条件和结论有什么关系？ 【知识要点】 ① ② 新知探究 a c b 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2. 探究点2：利用三边数量关系判定直角三角形 我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理. 利用基本事实和已有定理，如何证明勾股定理呢？ 新知探究 勾股定理的证明： D E F G H I A B C a b c 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，BC = a， AC = b，AB = c. 分别以 Rt△ABC 的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG. 连接 EB，CH. 过点 C 作 AB 的垂线，分别交 AB 和 HI 于点 M，N. M N 新知探究 ∵EA = CA， ∠EAB =∠CAH = 90°+∠CAB， AB = AH， ∴△EAB ≌△CAH（SAS）. 又∵S正方形 ACDE= 2S△EAB， S长方形AHNM = 2S△CAH， ∴b2 = S长方形AHNM. 同理 a2 = S长方形MNIB. ∴ c2 = a2 + b2. D E F G H I A B C a b c M N 新知探究 c ∵ c 2 = 4× ab + ( b - a )2 c 2 = 2ab + b 2 - 2ab + a 2 ， c 2 = a 2 + b 2， ∴ a 2 + b 2 = c 2. 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为　　 　　 ． c 2 4× ab + ( b - a ) 2 证法 赵爽弦图 c a c a c b a a b b b 新知探究 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理反过来，怎么叙述呢？ 这个命题是真命题吗？为什么？ 新知探究 分析：要证明△ABC 是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角. 这里的已知条件是边的关系，由此你能想到什么？借助边的关系， 你能构造一个直角三角形， 使它与△ABC 全等吗? 已知：如图，在 △ABC 中，AB 2 + AC 2 = BC 2. 求证：△ABC 是直角三角形. 例1 证明此命题： A B C 新知探究 证明：如图，作 Rt△A′B′C′，使∠A′ = 90°， A′B′ = AB，A′C′ = AC， 则 A′B′ 2 + A′C′ 2 = B′C′ 2 (勾股定理). ∵ AB 2 + AC 2 = BC 2 ， ∴ BC 2 = B′C′ 2. ∴ BC = B′C′ . ∴△ABC≌△A′B′C′ (SSS). ∴∠A =∠A′ = 90° (全等三角形的对应角相等). 因此，△ABC 是直角三角形. A B C A′ B′ C′ 新知探究 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 上面两个定理的条件和结论有什么关系？ 【知识要点】 ③ ④ 新知探究 【练一练】1. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 8，BC = 6，AC = 10，AD = CD = ，求四边形 ABCD 的面积. ∴△ABC 是直角三角形且∠B 是直角. ∴△ADC 是直角三角形且∠D 是直角. ∴ S四边形ABCD = 新知探究 【合作探究】 观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系? 第三个定理和第四个定理呢? 与同伴交流. 探究点3：互逆命题与互逆定理 新知探究 观察上面三组命题，你发现了什么? 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 说出下列命题的条件和结论： 如果 a＝b，那么 a²＝b²； 如果 a²＝b²， 那么 a＝b. 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 新知探究 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 【知识要点】 新知探究 【想一想】你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗? 它们都是真命题吗? 逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等. 举特例： 命题：2 = 2，22 = 22； 逆命题：(2)2 = (-2)2，2 ≠ -2 总结：一个命题是真命题；逆命题不一定是真命题. 真命题 假命题 新知探究 1. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？ (1) 两条直线平行，内错角相等； (2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； 内错角相等，两条直线平行. 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 成立 不成立 【练一练】 新知探究 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 如：“定理①与定理②” “定理③与定理④” 都为互逆定理. (1) 命题有真有假，而定理都是真命题； (2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理； (3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系. 注 意 【归纳总结】 新知探究 直角三角形的性质与判定 直角三角形的性质 直角三角形的判定 两个锐角互余 勾股定理 有两个角互余的三角形是直角三角形 勾股定理的逆定理 课堂小结 互逆命题与 互逆定理 互逆命题 互逆定理 如果一个定理的逆命题是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理. 第一个命题的条件是第二个命题的结论； 第一个命题的结论是第二个命题的条件. 概念 概念 课堂小结 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，则 ∠A的度数是(　B　) A. 66° B. 36° C. 56° D. 46° B 当堂反馈 2. 已知a，b，c是△ABC的三条边长，下列条件 中，不能判断△ABC为直角三角形的是(　D　) A. a2＝1，b2＝2，c2＝3 B. a∶b∶c＝3∶4∶5 C. ∠A＋∠B＝∠C D. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D 当堂反馈 3. 写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命 题： . ⁠. 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB. 若∠1＝50°，则∠B＝ °. 有两个角互余的三角形是直角三角形　 40　 当堂反馈 5. 如果一个三角形的三边长a，b，c满足 (c－24)2＋｜2a－20｜＋(b－26)2＝0，那么这个三角形的形状是 . 直角三角形　 当堂反馈 解：如图，连接AB. ∵∠ACB＝90°， ∴AB＝ ＝5. ∵AD＝13，BD＝12， ∴AB2＋BD2＝132＝AD2. ∴△ABD为直角三角形，且∠ABD＝90°. ∴S阴影＝AB∙BD－AC∙BC＝×5×12－×4×3＝24. 6. 如图，已知AC＝4，BC＝3，BD＝12，AD＝13， ∠ACB＝90°，求阴影部分的面积. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $