1.2 第3课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦等边三角形的判定及含30°角直角三角形的性质，以池塘旁小树位置的实际问题（∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=48m求AC）导入，通过探究、证明、例题过渡到性质学习，构建从实际问题到理论应用的学习支架。 其特色在于以现实情境培养数学眼光，通过“证一证”“验证”环节发展推理意识，课堂小结归纳判定、性质及数学思想。例题变式和当堂反馈强化应用，助力学生提升分析解决问题能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

1.2 等腰三角形 第3课时 等边三角形的判定及含 30° 角的直角三角形的性质 第一章 三角形的证明 北师版八年级(下) 1. 学习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题.(重点) 2. 理解并掌握含 30° 角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题.(难点) 3.通过探究含 30° 角的直角三角形的性质的过程，加深对特殊直角三角形的认识，培养分析问题、解决问题的能力. 素养目标 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 (BC 为小路端点) 和一棵小树 (A 为小树位置). 测得的相关数据为：∠ABC = 60°，∠ACB = 60°，BC = 48 m，则 AC 长多少 m？ 情境导入 探究：一个三角形满足什么条件时是等边三角形? 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形? 请证明自己的结论，并与同伴交流. 分析： 三角相等 两角相等(等腰三角形的判定) 三角形 三边相等(等边三角形的定义) 边 角 一角 60° 探究点1：等边三角形的判定 新知探究 A B C 已知：如图，∠A =∠B =∠C. 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵∠A =∠ B， 【证一证】 ∴ AB = AC = BC. ∴ AB = AC. ∵∠B =∠C， ∴ AC = BC. 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. ∴ △ABC 是等边三角形. 探究点1：等边三角形的判定 新知探究 www.czsx.com.cn A B C 已知：若 AB＝AC，∠A＝60°. 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵ AB = AC，∠A = 60°， 证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ ∴ AB = AC = BC. ∴∠A =∠B =∠C. ∴∠B =∠C = (180°－∠A) = 60°. ∴ △ABC 是等边三角形. 定理：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 探究点1：等边三角形的判定 新知探究 www.czsx.com.cn 证明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)， ∴∠C =∠B = 60° (等边对等角). ∴∠A = 60° (三角形内角和定理). ∴∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等 边三角形). 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°． 求证：△ABC 是等边三角形. 第二种情况：有一个底角是 60°. A C B 60° 【验证】 探究点1：等边三角形的判定 新知探究 www.czsx.com.cn 等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定 等边对等角 等角对等边 “三线合一”，即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合 有一角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相等，且每个角都是 60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 【归纳总结】 探究点1：等边三角形的判定 新知探究 例1 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC， 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 探究点1：等边三角形的判定 新知探究 变式：上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD＝AE， △ADE 还是等边三角形吗? 试说明理由. A C B D E 已知：如图，在等边三角形 ABC 中，AD＝AE. 求证：△ADE 是等边三角形. 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. ∵ AD＝AE， ∴△ADE 是等腰三角形. ∴△ADE 是等边三角形. 又∵∠A＝60°. 探究点1：等边三角形的判定 新知探究 【回顾导入】 如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 (BC 为小路端点)和一棵小树(A 为小树位置). 测得的相关数据为：∠ABC = 60°，∠ACB = 60°，BC = 48 m， 则 AC 长多少米？ AC = 48 m. 探究点1：等边三角形的判定 新知探究 操作：用两个含有 30° 角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？ 30° 30° 30° 30° 想一想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？ 30° 30° 猜想：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半. 探究点2：含30°的直角三角形的性质 新知探究 求证： BC = AB. A 30° B C 分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 30° 30° 【猜想验证】已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°. 探究点2：含30°的直角三角形的性质 新知探究 ∵∠ACB＝90°， 30° A B C D 证明：延长 BC 至点 D，使 CD＝BC，连接 AD. ∴ AB＝AD (全等三角形的对应边相等). ∴△ABC≌△ADC (SAS). ∵ AC＝AC， ∴∠ACD＝90°. 在△ABC 中，∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180° (三角形内角和定理). 探究点2：含30°的直角三角形的性质 新知探究 30° A B C D ∴ △ABD 是等边三角形 ( 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形). ∴ BC＝ BD ＝ AB. ∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°. ∴∠B＝180°－30°－90°＝60°. 探究点2：含30°的直角三角形的性质 新知探究 几何语言：在△ABC 中， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°． ∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中， 30° 角所对的直 角边等于斜边的一半) A B C 30° 拓展推论：BC∶AC∶AB ＝ 【定义总结】 定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 探究点2：含30°的直角三角形的性质 新知探究 例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°， CD 是腰 AB 上的高， 求证：CD ＝ AB. C B A D 证明：在△ABC 中， ∵AB＝AC，∠B＝15°， ∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角). 探究点2：含30°的直角三角形的性质 新知探究 C B A D ∴ CD＝ AC (在直角三角形中，如果有一个锐角等 于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半). ∵ CD 是腰 AB 上的高， ∴∠ADC＝90°. ∴ CD＝ AB. ∴∠DAC＝∠B + ∠ACB ＝15° + 15°＝30° (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 探究点2：含30°的直角三角形的性质 新知探究 【练一练】 2.如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为 . A B C D 1 新知探究 1. 等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形． 2. 含 30° 角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 3. 数学思想：分类讨论思想，数形结合思想，转化思想. 课堂小结 1. 在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，AB＝6，则 AC的长为(　B　) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 B 当堂反馈 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝2，则AB的长为(　A　) 草图通关 AB＝ BC. A 2　 A. 4 　　B. 当堂反馈 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，则底边上的中线AD＝ . 6　 4. 下列三角形：①有两个内角是60°的三角形； ②有两边相等且是轴对称的三角形；③有一个角是60°且是轴对称的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有 . ①③④　 当堂反馈 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC. 若AD＝6，求CD的长. 书写通关 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝ °. ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠ ＝30°. ∴∠ABD＝∠A. ∴AD＝ ＝6. 又∵∠DBC＝30°. ∴CD＝ BD＝ ⁠. 60　 DBC　 BD　 　 3　 当堂反馈 6. 如图，△ABC是等边三角形，D为AC上任一点，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE. 求证：△ADE是等边三角形. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°. ∴△ADE是等边三角形. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $