1.2 第2课时 等腰三角形的判定与反证法（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦等腰三角形的判定（等角对等边）与反证法，通过情境导入（海上救生船∠B=∠C问题）和复习导入（回顾等腰三角形性质）衔接前后知识，构建“性质-判定”逻辑链，设置实际模型抽象、证明方法思考等学习支架。 其亮点在于以核心素养为导向，用数学眼光观察现实情境（如救生船问题抽象模型），通过反证法教学培养数学思维（假设-归谬-结论的逻辑推理），以例题（证△AED是等腰三角形）和练一练强化数学语言表达。多样化练习助力学生发展推理能力，为教师提供结构化资源提升教学效率。

1.2 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定与反证法 第一章 三角形的证明 北师版八年级(下) 1. 掌握等腰三角形的判定定理并学会运用.(重、难点) 2. 理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明.(重点) 3. 通过推理证明等腰三角形的判定方法的过程，发展推理能力，培养分析、归纳问题的能力. 素养目标 A B C 如图，位于海上 B、C 两处的两艘救生船接到 A 处遇险船只的报警，当时测得 ∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？ 情境导入 问题：等腰三角形有哪些性质定理及推论？ 两底角相等 (简写成“等边对等角”). 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成 “三线合一”). 等腰三角形 边 角 推论 两边相等(定义) 既是性质也是判定 复习导入 前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? A B C 实际模型 C A B 数学模型 【回顾导入】 抽象 探究点1：等腰三角形的判定 新知探究 如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系? 建立数学模型： C A B AB = AC 你能验证你的结论吗？ 方法思考： ①作高 AD 可以吗? ②作角平分线 AD 呢? ③作中线 AD 呢? 探究点1：等腰三角形的判定 新知探究 在 △ABD 与 △ACD 中， ∠B =∠C， ∴△ABD≌△ACD (AAS). ∠1 =∠2， AD = AD， ∴ AB = AC. 过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D. 证明： C A B 2 1 D （ （ △ABC 是等腰三角形 还有别的方法吗？ 【证一证】 探究点1：等腰三角形的判定 新知探究 等腰三角形的判定定理： 在△ABC 中， ∵∠B =∠C， 应用格式： ∴ AB = AC (等角对等边). A C B 有两个角相等的三角形是等腰三角形. (简称“等角对等边”). 【知识要点】 探究点1：等腰三角形的判定 新知探究 A B C D 2 1 ∵∠1 = ∠2 ， ∴ BD = DC (等角对等边). ∵∠1 =∠2 ， ∴ DC = BC A B C D 2 1 (等角对等边). 错，因为都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图，下列推理正确吗? 探究点1：等腰三角形的判定 新知探究 例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E. 求证：△AED 是等腰三角形. A B C D E 证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA， ∴△ABD≌△DCA (SSS). ∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等). ∴ AE = DE (等角对等边). ∴△AED 是等腰三角形. 探究点1：等腰三角形的判定 新知探究 【练一练】1. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 DE∥BC. 求证：△ADE 为等腰三角形. 证明：∵ AB = AC， ∴∠B =∠C. 又∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠ADE =∠AED. ∴△ADE 为等腰三角形. 探究点1：等腰三角形的判定 新知探究 想一想：小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为小明这个结论成立吗? 如果成立，你能证明它吗? 在△ABC 中， 如果∠B ≠∠C， 那么 AB ≠ AC. A B C 探究点2：反证法 新知探究 C A B 如图，在△ABC 中，已知∠B≠∠C， 此时，AB 与 AC 要么相等，要么不相等. 假设 AB = AC，那么根据定理“等角对等边”可得∠C =∠B，这与已知条件是∠B≠∠C， 相矛盾，因此 AB ≠ AC. 小明是这样想的： 你能理解他的推理过程吗? 探究点2：反证法 新知探究 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法． 【知识要点】 探究点2：反证法 新知探究 用反证法证题的一般步骤 1. 假设： 先假设命题的结论不成立； 2. 归谬： 从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出 与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果； 3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题 的结论正确. 【方法总结】 探究点2：反证法 新知探究 例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC． 求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角． 【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾． 探究点2：反证法 新知探究 证明：假设 ∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角， 不妨设∠A 和∠B 是直角，∠A＝90°，∠B＝90°. 所以一个三角形中不能有两个角是直角． 这与三角形的内角和定理矛盾，因此“∠A 和∠B 是直角”的假设不成立． 于是 ∠A＋∠B＋∠C＝90°＋ 90°＋∠C＞180°． 探究点2：反证法 新知探究 【练一练】2.求证：在一个三角形中，至少有一个内角≤60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 则　　　　　　　　　　　　　　　. ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　　. 这与　　　　　　　　　　　矛盾，故假设不成立． ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　． △ABC 中没有一个内角小于或等于 60° ∠A > 60°，∠B > 60°，∠C > 60° ∠A +∠B +∠C > 180° 三角形的内角和为 180° △ABC中至少有一个内角小于或等于 60° ∠A +∠B +∠C > 60° + 60° + 60° = 180° 新知探究 等腰三角形的判定 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形 反证法 先假设结论不成立，然后推出与已知条件或基本事实、定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立 当堂反馈 1. 在△ABC中，∠B＝∠C. 若AC＝4，则AB的 长为(　C　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 C 第2题图　　 2. 如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB. 若OD＝3 cm，则CD的长为(　A　) A. 3 cm B. 4 cm C. 1.5 cm D. 2 cm A 当堂反馈 3. 把两个全等的含30°角的直角三角板按如图所示 的方式拼在一起，其中等腰三角形有(　D　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第3题图 D 4. 用反证法证明“等角对等边”，应先假设____ ____________________________________________. 某三 角形中的两个角相等，这两个角所对的边不相等　 当堂反馈 5. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°， ∠DBC＝36°. (1)求∠1的度数；∠DBC＝36°. (1)解：在△ABC中， ∵∠ABC＝180°－∠A－∠C＝72°， ∴∠1＝∠ABC－∠DBC＝36°. 当堂反馈 ∴BD＝BC. ∵∠1＝∠A＝36°， ∴BD＝AD. ∴BC＝BD＝AD. (2)求证：BC＝BD＝AD. (2)证明：在△BCD中， ∵∠2＝180°－∠DBC－∠C＝72°， ∴∠2＝∠C. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $