1.1 第3课时 多边形的内角和（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦多边形内角和公式，通过复习n边形对角线数量及分割三角形个数导入，以三角形内角和为基础，搭建从特殊到一般的探究支架，引导学生衔接旧知推导新知。 其亮点在于以转化思想为主线，通过顶点、内部点、边上点等多种分割方法推导公式，培养几何直观与推理能力。结合广场五边形、正多边形内角计算等实例渗透应用意识，小结系统梳理公式及内角计算，助力学生构建知识体系，也为教师提供层次分明的教学资源。

第3课时 多边形的内角和 第一章 三角形的证明 1.1 三角形内角和定理 北师版八年级(下) 1. 掌握多边形的内角和公式.(重点) 2. 通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，体会从特殊到一般的认识问题的方法. 3. 会从不同的角度探索多边形的内角和公式.(难点) 素养目标 思考1：过 n 边形的每一个顶点有几条对角线？可以分割成多少个三角形？ A1 A2 A3 A4 A5 An 思考2：n 边形一共有多少条对角线？ 有 ( n - 3 ) 条对角线 可以分割成 ( n - 2 ) 个三角形 复习导入 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？ 问题1 三角形的内角和是多少度？ 三角形内角和是 180°. 都是 360°. 问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？ 探究点：多边形的内角和 新知探究 猜想：四边形 ABCD 的内角和是 360°. 问题4 你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？ 如图，连接 AC， 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×2 = 360°. A B C D 探究点：多边形的内角和 新知探究 (2) 小明、小亮分别利用图1 和图2 求出了五边形五个内角的和. 你知道他们是怎样做的吗？你还有其他的方法吗？ 问题5 (1) 这个广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴进行交流. 图1 内角和为 180°×3 = 540°. 探究点：多边形的内角和 新知探究 把四边形分成五个三角形：△ABO，△BCO，△CDO，△DEO，△AEO. 所以五边形 ABCDE 的内角和为 180°×5 - (∠AOB + ∠BOC +∠COD +∠EOD +∠AOE) = 900° - 360° = 540°. 如图，在四边形 ABCDE 内部任取一点 O，连接 AO，BO，CO，DO，EO. 图2 A B C D E O 探究点：多边形的内角和 新知探究 方法：如图，在 CD 边上任取一点 O，连接 BO，AO，EO， 所以该四边形被分成四个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×4 - (∠BOC +∠AOB +∠AOE +∠EOD ) = 720° - 180° = 540°. A B C D E O 总结：这方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，再用已学的三角形内角和定理求解 探究点：多边形的内角和 新知探究 问题6 你能仿照求五边形内角和的方法，选一种方法 求六边形内角和吗? A B C D E F 内角和为 180°×4 = 720°. 探究点：多边形的内角和 新知探究 多边形的边数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和 3 4 5 6 …… …… …… …… n 0 1 1×180°=180° 1 2 2×180°=360° 2 3 3×180°=540° 3 4 4×180°=720° (n - 3) (n - 2) (n - 2)×180° 探究点：多边形的内角和 新知探究 【证一证】如图，n 边形 A1A2···An 有 n 个顶点 A1，A2，A3，···，An. 由于与任一顶点 (如点 A1 ) 不相邻的顶点均有 (n－3) 个， 于是 n 边形 A1A2···An 被分成了 (n－2) 个三角形， A1 A2 A3 A4 A5 An 因而从某一顶点出发有 (n－3) 条对角线， 因此， n 边形的内角和等于这 (n－2) 个三角形的内角和，即 (n－2)·180°. 探究点：多边形的内角和 新知探究 【归纳总结】 n 边形的内角和等于 (n - 2) ·180°. 多边形的内角和公式： ( n 是大于或等于 3 的自然数) 探究点：多边形的内角和 新知探究 www.czsx.com.cn 例1 如图，在四边形 ABCD 中，∠A +∠C＝180°. ∠B 与∠D 有怎样的关系？ 解： ∵∠A +∠B +∠C +∠D = (4－2)×360°， ∴∠B +∠D = 360° - (∠A +∠C ) = 360° - 180° = 180°. A B C D 如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补. 探究点：多边形的内角和 新知探究 1. 一个多边形的内角和不可能是 ( ) A.1800° B.540° C.720° D.810° D 2. 一个多边形从一个顶点可引对角线 3 条，这个多边形内角和等于 ( ) A. 360° B. 540° C. 720° D. 900° C 【练一练】 探究点：多边形的内角和 新知探究 想一想：正 n 边形的一个内角是 度. 【想一想】正三角形、正四边形 、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度? 60° 108° 90° 120° 135° 探究点：多边形的内角和 新知探究 例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？ 解：设这个多边形边数为 n，则 (n－2) ·180＝360＋720， 解得 n＝8. ∵ 这个多边形的每个内角都相等， (8－2)×180°＝1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8＝135°. 探究点：多边形的内角和 新知探究 例3 如图，在正五边形 ABCDE 中， 连接 BE，求∠BED 的度数． 所以∠BED = ∠AED -∠AEB = 108° - 36° = 72°. A B C D E 解：由题意得 AB = AE， 所以∠AEB = (180° - ∠A) = 36°. 探究点：多边形的内角和 新知探究 【练一练】 3. 如果正多边形的一个内角是 120° ，那么这是正____边形. 4. 正九边形的每个内角都是 °. 六 140 探究点：多边形的内角和 新知探究 【思考·交流】 剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形？它的内角和是多少度？与同伴进行交流. 三边形, 180° 四边形, 360° 五边形, 540° 探究点：多边形的内角和 新知探究 【练一练】5. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和. 解：∵1800÷180 ＝ 10， ∴原多边形边数为10＋2 ＝ 12. ∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变，也可能加 1， ∴新多边形的边数可能是 11，12，13. ∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°. 【总结】n 边形剪掉一个角后，剩下的部分可以是(n - 1)边形或 n 边形或 (n + 1) 边形. 探究点：多边形的内角和 新知探究 能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数. 解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ ∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝ 五边形的内角和 ＝ 540°. 8 9 探究点：多边形的内角和 新知探究 多边形的内角 n边形的内角和 (n - 2)×180° (n≥3的整数) n边形的内角和 每个内角＝ 课堂小结 1. 从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分 割成5个三角形，则这个多边形的边数是(　A　) A. 7 B. 8 C. 5 D. 6 2. 八边形的内角和是(　D　) A. 360° B. 540° C. 900° D. 1080° A D 当堂反馈 3. 一个多边形的内角和等于540°，则这个多边形 的边数为(　C　) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4. 下列角度不可能是多边形内角和的是(　B　) A. 180° B. 270° C. 360° D. 900° C B 当堂反馈 5. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠A＝ ∠C＝100°，则∠D＝ ⁠°. 70　 当堂反馈 6. 如图，六边形ABCDEF的各个内角都相等，且 ∠DAB＝60°. (1)求∠E的度数； 解：(1)∵六边形ABCDEF的各内角相等， ∴一个内角的大小为 ＝120°. ∴∠E＝120°. 当堂反馈 (2)判断AB与DE的位置关系，并说明理由. 解：(2)AB∥DE. 理由如下： ∵∠FAB＝120°，∠DAB＝60°， ∴∠FAD＝60°. ∵∠ADE＋∠FAD＋∠F＋∠E＝360°，∠F＝ ∠E＝120°， ∴∠ADE＝360°－∠FAD－∠F－∠E＝60°. ∴∠ADE＝∠DAB. ∴AB∥DE. 解：(2)AB∥DE. 理由如下： ∵∠FAB＝120°，∠DAB＝60°， ∴∠FAD＝60°. ∵∠ADE＋∠FAD＋∠F＋∠E＝360°， ∠F＝∠E＝120°， ∴∠ADE＝360°－∠FAD－∠F－∠E＝60°. ∴∠ADE＝∠DAB. ∴AB∥DE. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $