1.1 第2课时 三角形的外角（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦三角形外角，系统讲解其概念、性质（含内角和定理推论）及外角和定理。课堂导入通过复习三角形内角概念与内角和，结合角度计算引出外角，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如“判断外角”“比较角的大小”等活动，培养推理意识与几何直观（数学思维、数学眼光）。采用一题多解（如例2三种解法）和模型总结，帮助学生用数学语言规范表达，提升应用意识，既助学生深化理解，也为教师提供丰富教学资源。

1.1 三角形内角和定理 第2课时 三角形的外角 第一章 三角形的证明 北师版八年级(下) 1. 理解三角形的外角的概念. (重点) 2. 掌握三角形内角和定理的推论. (难点) 3. 经历由特殊到一般的数学思维过程，体会数学推理的严谨性. 素养目标 1. 什么是三角形的内角？其内角和等于多少？ 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角， 三角形的内角的和是 180°. 2. 如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°， 则∠ACB = °，∠ACD = °. A B C D 50 130 ∠ACD 叫作什么角？ 复习导入 定义 △ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC 的外角. ∠ACD 是△ABC 的一个外角. C B A 探究点1：三角形外角的概念 D 外角 内角 新知探究 问题1：如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE； C B A D ∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的外角. 问题2：如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ 探究点1：三角形外角的概念 新知探究 A B C 问题3：画出△ABC 的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有 6 个外角． 每一个顶点处对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角. 探究点1：三角形外角的概念 新知探究 ① 角的顶点是三角形的顶点； ② 角的一边是三角形的一边； ③ 另一边是三角形中一边的延长线. 三角形的外角应具备的条件： 每一个三角形都有 6 个外角． 【归纳总结】 1 2 3 6 5 4 A B C 探究点1：三角形外角的概念 新知探究 F A B C D E 做一做： 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？ ∠BEC 是△AEC 的外角； ∠AEC 是△BEF 和△BEC 的外角； ∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角. 探究点1：三角形外角的概念 新知探究 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 思考1：如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角∠ACB 有什么关系？ ∠BCD 与∠ACB 互补. 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 思考2：如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两个内角 (∠A，∠B ) 又有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B =∠BCD. 你能借助平行线的知识证明此结论吗？ 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 D 证明：过点 C 作 CE∥AB， A B C 1 2 则∠1 = ∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 = ∠A (两直线平行，内错角相等). ∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B. E 已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B. 【证一证】 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形内角和定理推论1： 几何语言： 在△ABC 中， ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A + ∠B. 【知识要点】 A B C D 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 【练一练】1. 说出下列图形中∠1 和∠2 的度数： A B C D ( ( ( 80° 60° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50° 32° (2) ∠1 = 40°，∠2 = 140° ∠1 = 18°，∠2 = 130° 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 例1 如图，在△ABC 中，AD 平分外角∠EAC，∠B =∠C. 求证：AD∥BC. A C D B E 分析： 证明 AD∥BC 平行线的判定 证明内错角相等 或同位角相等 或同旁内角互补 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 例1 如图，在△ABC 中，AD 平分外角∠EAC，∠B =∠C. 求证：AD∥BC. A C D B E 证法一：∵∠EAC =∠B +∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B =∠C ， ∴∠C = ∠EAC . ∵ AD 平分∠EAC. ∴∠DAC = ∠EAC . ∴∠DAC = ∠C. ∴AD∥BC. 还有其他证明方法吗？ 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 A C D B E 证法二：∵∠EAC =∠B +∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)， ∠B =∠C ， ∴∠B = ∠EAC . ∵ AD 平分∠EAC . ∴∠DAE = ∠EAC . ∴∠DAE =∠B . ∴ AD∥BC . 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 思考3：(1) 如图①，试比较∠2、∠1 的大小； (2) 如图②，试比较∠3、∠2、 ∠1 的大小. 图① 图② 解：∵∠2=∠1+∠B， ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2 =∠1 + ∠B， ∠3 =∠2 + ∠D， ∴∠3＞∠2＞∠1. 三角形的外角大于与它不相邻的内角. A B C D ( ( 1 2 3 A B C D ( ( ( 1 2 E 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 推论 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三角形内角和定理推论2： 几何语言： 在△ABC 中， ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B. A B C D 【知识要点】 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 例2 如图，P 是△ABC 内一点，连接 PB，PC. 求证：∠BPC＞∠A. 证明：如图，延长 BP，交 AC 于点 D. ∵∠BPC 是△PDC 的一个外角(外角定义)， ∴∠BPC＞∠PDC (三角形的一个外角 大于任何一个和它不相邻的内角). ∵∠PDC 是△ABD 的一个外角 (外角定义)， ∴∠PDC＞∠A (三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角). ∴∠BPC＞∠A. A B C P D 还有其他证明方法吗？ 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 【练一练】(一题多解) 如图，∠A = 51°，∠B = 20°， ∠C = 30°，求∠BDC 的度数. 解法一：连接 AD 并延长到点 E. 在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3， 在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4. ∵∠BDC =∠3 +∠4， ∠BAC =∠1 +∠2， ∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( 20° 30° E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么？ 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 解法二：延长 BD 交 AC 于点 E. 在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A， 在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C. ∴∠BDC =∠A +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° E ) 1 解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二). ) 2 F 总结：解题的关键是正确地构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 角度模型 ∠A+∠B+∠C=∠D 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 解：由三角形外角性质，得 ∠BAE =∠2 +∠3， ∠CBF =∠1 +∠3， ∠ACD =∠1 +∠2. 又∠1 +∠2 +∠3 = 180°， ∴∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2(∠1 +∠2 +∠3) = 360°. 例3 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他求法吗？ 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 解法二：如图， ∠BAE +∠1 = 180° ① ， ∠CBF +∠2 = 180° ②， ∠ACD +∠3 = 180° ③， 又∠1 +∠2 +∠3 = 180°， ① + ② + ③ 得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD + (∠1 +∠2 +∠3) = 540°， ∴∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° - 180° = 360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 解法三：过 A 作 AM∥BC， 则易得∠3＝∠4， B C 1 2 3 4 A ∠2＝∠BAM， ∴∠1＋∠2＋∠3 ＝∠1＋∠4＋∠BAM = 360°. M 结论：三角形的外角和等于 360°. 思考：你能总结出三角形的外角和规律吗？ D E F 探究点2：三角形外角的性质 新知探究 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 1. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于 360° 2. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 新知探究 1. 如图，已知∠A＝33°，∠B＝75°，则∠BCD 的度数为(　B　) A. 147° B. 108° C. 105° D. 以上答案都不对 第1题图 B 当堂反馈 第2题图 2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝70°， BD是角平分线，则∠BDA的度数是(　B　) A. 100° B. 105° C. 110° D. 120° B 3. 如图，∠1 ∠2. (填“＞”“＜”或“＝”) 第3题图 ＞　 当堂反馈 4. 一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于 °. 第4题图 75　 5. 如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分 ∠ABC，CE平分∠ACD，则∠E的度数 为 . 25°　 当堂反馈 6. 一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别是 21° 和 32°.现测量得∠BDC＝148°，你认为这个零件合格吗？为什么？ 解：不合格. 理由如下： 如图，延长CD与AB交于点F. ∵∠DFB＝∠C＋∠A＝32°＋90°＝122°， ∴∠BDC＝∠DFB＋∠B＝122°＋21°＝143°. ∵实际量得的∠BDC＝148°≠143°， ∴这个零件不合格. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $