5.2 第3课时 角平分线的性质（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“角平分线的性质”，通过“生活中角的身影”情境导入，衔接轴对称图形旧知，以角的轴对称性为支架，引导学生探究角平分线性质及尺规作图方法。 资料注重猜想验证归纳的探究过程，通过典例变式及分层训练，培养学生推理意识与几何表达能力，助力学生用数学思维分析问题，用数学语言规范表达，提升数学核心素养。

第五章　图形的轴对称 5.2 简单的轴对称图形 第3课时　角平分线的性质 【素养目标】 1．从轴对称的性质中，提炼出里面的数学思想，探索并掌握角平分线的性质及尺规作图的画法． 2．由具体的客观事实，转化成抽象的猜想证明，让学生感悟数学思维解决问题的方法． 3．经历猜想、验证、归纳的学习过程，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯． 重点：探索并理解角的平分线的性质 难点：利用轴对称的性质，探索并掌握角平分线的性质 【情境导入】 生活中哪些地方有角的身影? 请举例说明. 【合作探究】 探究一：角的轴对称性 角是生活中常见的图形．角是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴． 要点归纳：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴． 强调：角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线．　 探究二：角平分线的性质 思考1：如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点．在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D′，连接CD和CD′. (1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系？说说你的理由． (2)特别地，当CD⊥OA时，CD′与OB有怎样的位置关系？为什么？此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗？由此你能得到什么结论？ 验证：你能验证这个结论吗？ 已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.试说明：PD＝PE. 要点归纳： 性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 应用所具备的条件： ①点在角的平分线上； ②到角两边的距离(垂直). 性质的作用：证明线段相等． 几何语言：因为OC是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB， 所以CD＝CE.　 [典例精析] 例1 如图所示，在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为E.DE与DC相等吗？为什么？ 变式训练：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB＝14. (1)求点P到AB的距离； (2)求△APB的面积． [归纳总结]1. 应用角平分线的性质： 条件：1.存在角平分线； 2.涉及距离问题 2. 联系角平分线的性质：面积与周长可以利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解 反思：回顾探究等腰三角形、线段、角的性质的过程，你运用了哪些方法？积累了哪些经验？ [针对训练] 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是点 E，F， 若∠EDB =∠FDB = 60°，则∠EBF = °， BE = （填图中线段）. 2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5， 则点 D 到 AB 的距离是 . 3. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC＝7，DE＝2， AB＝4，则 AC 的长是 (　　) A．6 B．5 C．4 D．3 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法. 探究三：利用尺规作角平分线 思考2：如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线？ 假设∠AOB的平分线已作出，那么 (1)这条射线有什么特征？ (2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点？用三角尺、量角器、圆规等工具试一试．如果只用尺规呢？与同伴进行交流． 注意：需要确定的点是角对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作． [典例精析] 例2 已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线． 思考3：请你说说这样作图的道理． 比较：过直线上一点作已知直线的垂线与作一个角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点？与同伴进行交流． 当堂反馈 1.如图，MC是∠AMB的平分线，P为MC上任意一点，PD⊥MA，垂足为点D， 且PD＝3，则点P到射线MB的距离是(　　) 第1题图 A.1 B.2 C.3 D.不能确定 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝30，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离为(　　) 第2题图 A.18 B.12 C.15 D.不能确定 3.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作出射线AE，AE交BC于点D.若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.无法确定 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝4，DE＝2，则＝　　. 第4题图 5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，则S△ABD∶S△ACD＝　　. 第5题图 6.如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D.若AD平分∠BAC，试说明：BD＝CD. 参考答案 【合作探究】 探究二：角平分线的性质 思考1：(1)CD＝CD′，因为∠AOB是轴对称图形，D和D′是对应点， 所以CD和CD′是以OP所在直线为对称轴的一组对应线段，所以CD＝CD′. (2)CD′⊥OB，因为∠AOB是轴对称图形，D和D′是对应点，所以∠ODC和∠OD′C是以OP所在直线为对称轴的一组对应角．所以∠ODC＝∠OD′C. 因为CD⊥OA，即∠ODC＝90°，所以∠OD′C＝∠ODC＝90°.所以CD′⊥OB. 线段CD和CD′之间还有(1)中的关系． 得到结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△PDO和△PEO中， 所以△PDO≌△PEO(AAS). 所以PD＝PE. [典例精析] 例1 解：DE与DC相等． 因为射线BD是∠ABC的平分线，点D到角两边BA，BC的距离分别是线段DE，DC的长， 所以DE＝DC. 变式训练：(1)如图，过P作PD⊥AB于点D，因为AP平分∠BAC，PD⊥AB，PC⊥AC，所以PD＝PC＝4. (2)S△APB＝AB·PD＝28. [针对训练]1. 60 BF 2. 3 3. D 探究三：利用尺规作角平分线 [典例精析] 例2 作法： 1．在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE(如图5－22，教材P132). 2．分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧， 两弧在∠AOB内相交于点C. 3．作射线OC.射线OC就是∠AOB的平分线． 当堂反馈 1.　C 2.　B　 3.　A　 4.　4　. 5.　4∶3　. 6.解：因为BE⊥AC，CF⊥AB，AD平分∠BAC，所以DE＝DF.在△BFD与△CED中， 所以△BFD≌△CED(ASA). 所以BD＝CD. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $