2.1 第2课时 垂线（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“垂线”核心内容，涵盖垂直概念、画法、性质及点到直线距离。通过复习导入（旋转直线形成直角）与情境导入（观察图片找特殊相交直线），衔接相交线旧知引出新知，搭建梯度学习支架。 资料特色在于以动手操作（转动木条、折纸、方格纸画垂线）培养几何直观与空间观念，通过思考交流和推理训练发展推理能力，典例及当堂反馈结合实际问题（如村庄取水）提升应用意识，助力学生自主探究与数学思维养成。

第二章　相交线与平行线 2.1　两条直线的位置关系 第2课时　垂线 【素养目标】 1．理解垂线、垂线段的概念，在作图中掌握点到直线的距离的概念，培养抽象能力和空间观念． 2．会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线的距离，发展应用能力和作图能力． 3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理，培养数学思维自主思考的习惯，发展推理能力和数学表达能力． 重点：垂线的性质及点到直线的距离的定义． 难点：运用垂线的概念和性质解决实际应用问题． 【复习导入】 图①中，当直线AB绕点O逆时针旋转到∠AOC＝90°时(如图②)，你能求出其他角的度数吗？此图形有什么特点？此时两直线有什么关系？ 【情境导入】 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 【合作探究】 探究一：垂直的概念 [操作·交流] 取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b，a、b所成的夹角为∠α.转动木条的同时观察其夹角的变化． (1)当∠α分别为35°、90°时，其余的角分别是多少？ (2)当∠α为90°的位置关系有几个？此时， 木条a和木条b所在的直线有什么样的位置关系？ [要点归纳] 1．垂直的定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫作另一条直线的垂线．它们的交点叫垂足． 2．通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直． 记作：AB⊥CD (或CD⊥AB) 或l⊥m (或m⊥l).　 [思考·交流] （1）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗?为什么? （2）以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗?你知道她每一步的依据吗?与同伴进行交流。 （3）如果OC⊥AB那么∠AOC=∠BOC吗?为什么?与同伴进行交流。 [折一折] 你能用纸折出两条互相垂直的直线吗? [做一做]如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ [典例精析] 例1 如图，已知点 O 在直线 AB 上，CO⊥DO 于点 O，若∠1 = 145°，则∠3 的度数为( ) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° [练一练] 1. 如图，直线 BC 与 MN 交于点 O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数. 探究二：垂线的画法及基本事实 活动2：画已知直线l的垂线能画几条？点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能画出多少条？如果点A在直线l外呢？ 问题1：这样画l的垂线可以画几条？如图，已知直线l，画l的垂线． 问题2：如图，点 A 在直线 l 上，过点 A 画直线 l 的垂线，你能画出多少条? 如果点 A 在直线 l 外呢? 问题3：如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足．点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？ 要点归纳：1.垂线的性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 2．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．　 例2 如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5. (1) 试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离； (2) 点C到直线AB的距离是多少？ 当堂反馈 1.过点A画线段BC所在直线的垂线段，其中正确的是(　　) 2.如图，EO⊥AB于点O，∠EOC＝40°，则∠AOD的度数为(　　) 第2题图 A.30° B.40° C.50° D.60° 3.如图，量得直线l外一点P到l的距离PB的长为4cm，点A是直线l上的一点，那么线段PA的长不可能是(　　) 第3题图 A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm 4.如图，村庄A与村庄B在河流l的两侧，小明观察发现，A村庄的居民往往去C点处取水，而B村庄的居民则更喜欢去D点处取水，村民这样选择的理由是：　　. 第4题图 5.如图，已知直线AD，BE，CF相交于O，OG⊥AD，且∠BOC＝35°，∠FOG＝30°，则∠DOE＝　　°. 第5题图 6.如图，A，O，B在同一条直线上，∠AOD∶∠DOB＝3∶1，OD平分∠COB. (1)求∠DOC的度数； (2)判断AB与OC的位置关系. 参考答案 【合作探究】 探究一：垂直的概念 [操作·交流] (1)145°，35°，145°；90°，90°，90°. (2)当∠α为90°的位置关系只有一个；此时两根木条的位置关系——a与b垂直，记作a⊥b. [思考·交流] 解：（1）由学生自由作答。 （2）小颖的思考过程是正确的。 由∠AOC=∠BOC（已知），且∠AOC+∠BOC=180°（平角的定义）， 可得∠AOC=∠BOC=90°（等量代换）， 所以OC⊥AB（垂直的定义）。 （3）如果 OC⊥AB，那么∠AOC = ∠BOC. 理由如下： 因为 OC⊥AB ，根据垂直的定义可知∠AOC和∠BOC 都是直角， 即 ∠AOC = 90°，∠BOC = 90°， 所以 ∠AOC = ∠BOC. [做一做] 例1 C [练一练] 解：∵∠BOE＝∠NOE， ∴∠BON＝2∠EON＝40°. ∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. ∵ AO⊥BC，∴∠AOC＝90°. ∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°. ∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°. 探究二：垂线的画法及基本事实 活动2： 问题1：无数条． 问题2：都只能画一条垂线． 问题3：线段PO最短． 例2 解析：(1)点A到直线BC的距离就是线段AC的长；点B到直线AC的距离就是线段BC的长；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.点C到直线AB的距离就是线段CD的长，可利用面积求得． (1)点A到直线BC的距离是3；点B到直线AC的距离是4； (2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.因为S三角形ABC＝BC·AC＝AB·CD，所以5CD＝3×4，解得CD＝.所以点C到直线AB的距离为. 当堂反馈 1.D　 2.　C　 3　A　 4.　垂线段最短　. 5.　25　 6.解：(1)因为∠AOD∶∠DOB＝3∶1，所以∠DOB＝×180°＝45°.因为OD平分∠COB，所以∠DOC＝∠DOB＝45°. (2)因为∠DOC＝∠DOB＝45°，所以∠BOC＝45°＋45°＝90°.所以OC⊥AB，即AB与OC的位置关系是垂直. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $