1.3 第4课时 完全平方公式的运用（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“完全平方公式的运用”，通过复习导入回顾公式内容，结合“字母表示意义”“公式作用”“多數和差平方计算”三个思考问题，搭建新旧知识联系的学习支架。 资料突出合作探究与问题驱动，如简便计算102²、197²，例2追问多种解法，观察思考用点阵几何直观解释公式，练一练结合错抄问题培养模型意识，助力学生发展运算能力与推理意识，提升公式灵活运用能力。

第一章　整式的乘除 1.3　乘法公式 第4课时　完全平方公式的运用 【素养目标】 1.进一步掌握完全平方公式； 2.灵活运用完全平方公式进行计算．(重点，难点) 【复习导入】 1.完全平方公式： 2. 想一想： （1）两个公式中的字母都能表示什么? （2）完全平方公式在计算化简中有些什么作用? （3）根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗? 【合作探究】 探究点一： 幂的乘方运算 思考 怎样计算 1022，1972 更简便呢？ (1) 1022； (2) 1972. 例1 运用乘法公式计算： (1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)； (2)(a＋b＋c)2. 方法总结： 1.用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. 2.要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算. 例2 计算： (1) (x + 3)2 – x2； 追问：还有其他的方法吗？ (2) ( a + b + 3 )( a + b - 3 )； (3) (x + 5)2 – (x - 2)(x - 3). 【练一练】 1. 化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y). 方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式. 2. 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值. 【观察·思考】 观察下图，你认为 ( m＋n)×(m＋n) 点阵中的点数与 m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和一样多吗？请用所学的公式解释自己的结论。 【练一练】3. 有这样一道题，计算：2(x＋y)(x－y)＋[(x＋y)2－ xy]＋ [(x－y)2 ＋xy]的值，其中 x = 2006，y = 2007；某同学把“y = 2007”错抄“y = 2070”但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由. 当堂反馈 1.已知α2＋β2＝1，(α＋β)2＝2，则αβ的值为(　　) A. B.2 C.1 D. 2.已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为(　　) A.13 B.7 C.5 D.11 3.计算10162－2032×1018＋10182等于[提示：完全平方公式的逆用](　　) A.2 B.4 C.6 D.8 4.运用完全平方公式计算： (1) 10.12＝(　　＋　　)2＝　 　； (2) 1982＝(　　－　　)2＝　 　. 5.如图，某广场有一块边长为(a＋b)的正方形草坪，现计划在草坪中挖一个边长为(a－b)的正方形水池，则剩余草坪的面积为　 　. 6.计算： (1)5012； (2)(x－y＋4)(x＋y＋4). 参考答案 【合作探究】 探究点一： 幂的乘方运算 思考 解：(1)原式 = (100 + 2)2 = 1002－2×100×2 + 22 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404. (2) 原式 = (200－3)2 = 2002－2×200×3 + 32 = 40 000－1200 + 9 = 38 809. 例1 (1)原式＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]＝x2－(2y－3)2＝x2－(4y2－12y＋9)＝x2－4y2＋12y－9. (2)原式＝(a＋b＋c)(a＋b＋c)＝(a＋b)2＋2(a＋b)·c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2 ＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. 例2 (1) 解：原式 = x2 + 6x + 9 – x2= 6x + 9； 追问： 或原式 = (x + 3 + x) (x + 3 – x) = (2x + 3)×3 = 6x + 9； (2) 解：(2) 原式 = [(a + b) + 3][(a + b) - 3] = (a + b)2 - 32 = a2 + 2ab + b2 - 9； (3)解：(3) 原式 = x2 + 10x + 25 - (x2 -5x + 6) = x2 + 10x + 25 - x2 + 5x- 6 = 15x + 19. 【练一练】 1. 解：原式 = (x－2y)(x＋2y)(x2－4y2) = (x2－4y2)2 = x4－8x2y2＋16y4. 2. 解：因为 a＋b＝7， 所以 (a＋b)2＝49. 所以 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－2×10＝29， (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9. 【观察·思考】 (m + n)2－m2－n2＝ m2＋2mn＋n2 所以 (m+n)×(m+n) 点阵中的点数比 m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和多 2mn 。 【练一练】3. 解：原式＝2x2－2y2＋( x2＋y2＋2xy－xy) ＋(x2＋y2－2xy＋xy) ＝2x2－2y2＋x2＋y2 ＋xy＋x2＋y2－xy ＝2x2－2y2＋2x2＋2y2＝4x2. 答案与 y 无关. 当堂反馈 1.　A 2.　A　 3.　B　 4.(1)　10　0.1　　102.01； (2)　200　　2　　39204 5.　4ab 6.(1)解：原式＝(500＋1)2＝5002＋2×500×1＋12＝250000＋1000＋1＝251001. (2)解：原式＝[(x＋4)－y][(x＋4)＋y]＝(x＋4)2－y2＝x2＋8x＋16－y2. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $