1.3 第3课时 完全平方公式的认识（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“完全平方公式的认识”，引导学生理解公式推导、掌握结构特征及应用。通过披萨换购情境导入，结合知识链接回顾多项式乘法法则及几何意义，搭建旧知到新知的学习支架。 资料特色在于情境化与直观化结合，用生活实例激发兴趣，借助图形解释公式培养几何直观。议练结合，通过符号辨析、参数问题提升运算能力与推理意识，典例与分层练习助力灵活运用，发展数学思维与应用意识。

第一章　整式的乘除 1.3　乘法公式 第3课时　完全平方公式的认识 【素养目标】 1. 理解并掌握完全平方公式的推导和应用.(重点) 2. 掌握完全平方公式的结构特征，能灵活运用公式进行计算.(难点) 【知识链接】 1．多项式的乘法法则是什么？ (a＋b)(m＋n)＝________； 2．多项式乘法法则的几何意义是什么？ 【情境导入】 明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸和一个 2 寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？ 【合作探究】 探究点一： 幂的乘方运算 【合作探究】 观察下列算式及其运算结果，你有什么发现? (1)(m+3)2；(2)(2+3x)2。 想一想：你能根据图中的面积解释完全平方公式吗? 【议一议】 (a－b)2 = ？你是怎样做的？ 发现： 【做一做】 (a－b)2 = 请你设计一个图形解释这一公式. 【知识要点】 完全平方公式 简记为： 公式特征： 【典例精析】 例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x－3)2；(2) (4x＋5y)2；(3) (mn－a)2. 【练一练】 1.利用完全平方公式计算： (1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2. 思考：(a + b)2 与 (- a - b)2 相等吗? (a - b)2 与 (b - a)2 相等吗? (a - b)2 与 a2 - b2 相等吗? 为什么? 例2 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值． 方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号，避免漏解． 当堂反馈 1.计算(m－n)2的结果是(　　) A.m2－n2 B.m2＋n2 C.m2－2mn＋n2 D.m2＋2mn＋n2 2.下列各式利用完全平方公式计算正确的是(　　) A.(x＋3)2＝x2＋9 B.(－2a＋b)2＝4a2＋4ab＋b2 C.(a－2b)2＝a2－2ab＋4b2 D.(－x)2＝x2－x＋ 3.若(2x－3)2＝4x2＋kx＋9，则k的值是(　　) A.－6 B.6 C.12 D.－12 4.如图所示的图形验证了一个等式，则这个等式是　 　. 5.若a2＋ab＋b2＋M＝(a－b)2，则M＝　　. 6.计算： (1)(－x＋y)2；(2)(－xy＋5)2；(3)(－x－3y)2. 7.已知ab＝2，求(2a＋3b)2－(2a－3b)2的值. 参考答案 【情境导入】 大披萨的面积：S = π·32 = 9π . 小披萨的面积之和：S = π·22 + π·12 = 5π . 所以不应该同意. 【合作探究】 探究点一： 幂的乘方运算 例1 (1) 解：(2x－3)2 =(2x)2－ 2 • (2x) • 3+ 32=4x2－12x+ 9； (2) (4x＋5y)2 =(4x)2＋2 • (4x) • 5y＋(5y)2= 16x2＋40xy＋25y2； (3) (mn－a)2 = (mn)2－ 2 • mn • a＋a2= m2n2－2amn＋a2. 【练一练】 1.解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2. (2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2. (3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 思考： 解：(-a - b)2 = (-a)2 - 2·(--a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. (b - a)2 = b2 - 2ba + a2 = a2 - 2ab + b2 = (a- b)2. (a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等， 只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2. 例2 解：∵ 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， ∴ (m＋1)xy＝±2 · 6x · 5y. ∴ m＋1＝±60. ∴ m＝59或－61. 当堂反馈 1.C2.　D　3.　D　 4.　(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2　. 5.　－3ab　. 6.(1)解：原式＝x2－2xy＋y2. (2)解：原式＝x2y2－10xy＋25. (3)解：原式＝x2＋3xy＋9y2. 7.解：原式＝4a2＋12ab＋9b2－(4a2－12ab＋9b2)＝24ab.当ab＝2时， 原式＝24×2＝48. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $