1.3 第1课时 平方差公式的认识（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“平方差公式的认识”，通过复习多项式乘法法则及计算回顾旧知，结合彩纸面积比较的情境导入，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步过渡到平方差公式的推导与应用。 资料以合作探究为核心，通过观察算式规律归纳公式，培养学生抽象能力和推理意识，设置填一填、例题、练一练等分层练习，结合当堂反馈检测效果，帮助学生理解公式结构并应用，发展数学思维与应用意识。

第一章　整式的乘除 1.3　乘法公式 第1课时　平方差公式的认识 【素养目标】 1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算.（难点） 【复习导入】 1. 多项式乘以多项式的计算法则是什么? 2. 计算： (x＋1)(y－5)＝ ； (x＋1)(x－5)＝ ； (x＋1)(x－1)＝ ． 【情境导入】 绘画课上，老师拿来了两张彩纸，一张是边长 a cm 的正方形彩纸.另一张是长为 (a + 4) cm ，宽为 (a - 4) cm 的长方形彩纸. 两张彩纸面积相等吗？ 【合作探究】 探究点一： 平方差公式的认识 探究 计算下列各式： (1)(x＋2)(x－2)；　　　　　(2)(1＋3a)(1－3a)； (3)(x＋5y)(x－5y); (4)(2y＋z)(2y－z)。 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现?你能再举一些类似的例子吗? 与同伴进行交流。 思考 观察相乘的两个多项式有什么特点 ? 最终结果又有什么特点? 归纳 你能用字母来表示一下发现的规律吗? 【知识要点】 平方差公式： 文字语言： 符号语言： 代数验证： 【填一填】根据平方差公式填写下表： (a－b)(a＋b) a b a2－b2 (1＋x)(1－x) (－3＋a)(－3－a) (1＋a)(－1＋a) (0.3x－1)(1＋0.3x) 例1　(教材P18例1)利用平方差公式计算： (1)(5＋6x)(5－6x)；　　 　(2)(x－2y)(x＋2y)； (3)(－m＋n)(－m－n)。 【方法归纳】 应用平方差公式计算时，应注意： （1） 观察该运算是否符合平方差公式 （两个多项式中的各项，除符号外是否完全相同）； （2） 符号相同看作 ，符号相反看作 ，套用公式. 例2　(教材P18例2)利用平方差公式计算： (1)(－x－y)(－x＋y)；　　　　(2)(ab＋8)(ab－8)。 【练一练】 1. 利用平方差公式计算： （1） ； （2） 。 【想一想】 回答下列各题： (l) (－a + b)(a + b) = . (2) (a－b)(b + a) = . (3) (－a－b)(－a + b) = . (4) (a－b)(－a－b) = . 例3 先化简，再求值： (2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2. 当堂反馈 1.计算(a＋4)(a－4)的结果是(　　) A.8－a2 B.a2－8 C.16－a2 D.a2－16 2.下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式计算的是(　　) A.(a－1)(a＋1) B.(2x－3)(－2x＋3) C.(2y－)(＋2y) D.(3m－2n)(－3m－2n) 3.若M(2x－5y)＝4x2－25y2，则M表示的式子为(　　) A.(－2x＋5y) B.(2x－5y) C.(－2y－5x) D.(2x＋5y) 4.(1)若x－y＝4，x＋y＝7，则x2－y2＝　 　； (2)若(x＋3)(x－m)＝x2－9，则m的值是　 　. 5.计算： (1)(－c＋ab)(－c－ab)； (2)(3a－b)(－3a－b). 6.先化简，再求值：(2x－3y)(3y＋2x)－(4y－3x)(3x＋4y)，其中x＝2，y＝1. 参考答案 【复习导入】 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2. 计算： (x＋1)(y－5)＝xy－5x＋y－5； (x＋1)(x－5)＝x2－5x＋x－5＝x2－4x－5； (x＋1)(x－1)＝x2－x＋x－1＝x2－1． 【情境导入】 解：正方形彩纸面积为 a2 (a + 4)(a − 4)= a2 − 4a + 4a − 42= a2 − 42＜a2 答： 两张彩纸面积不相等. 【合作探究】 探究点一： 平方差公式的认识 【填一填】根据平方差公式填写下表： (a－b)(a＋b) a b a2－b2 (1＋x)(1－x) 1 x 12－x2 (－3＋a)(－3－a) －3 a (－3)2－a2 (1＋a)(－1＋a) a 1 a2－12 (0.3x－1)(1＋0.3x) 0.3x 1 (0.3x)2－12 例1　 解：(1)(5＋6x)(5－6x)＝52－(6x)2＝25－36x2； (2)(x－2y)(x＋2y)＝x2－(2y)2＝x2－4y2； (3)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2＝m2－n2。 例2解：(1)(－x－y)(－x＋y)＝(－x)2－y2＝x2－y2； (2)(ab＋8)(ab－8)＝(ab)2－82＝a2b2－64。 【练一练】 1.解：（1） 原式。 （2） 原式。 【想一想】 (l) (－a + b)(a + b) = b2－a2. (2) (a－b)(b + a) = a2－b2. (3) (－a－b)(－a + b) = a2－b2. (4) (a－b)(－a－b) = b2－a2. 例3 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15. 当堂反馈 1.　D　 2.　B　 3.D　 4.(1)　28　； (2)　3　. 5.(1)解：原式＝(－c)2－(ab)2＝c2－a2b2. (2)解：原式＝(－b＋3a)(－b－3a)＝(－b)2－(3a)2＝b2－9a2. 6.解：原式＝4x2－9y2－(16y2－9x2)＝4x2－9y2－16y2＋9x2＝13x2－25y2. 因为x＝2，y＝1， 所以原式＝13×22－25×12＝27. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $