1.1 第4课时 同底数幂的除法（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“同底数幂的除法”，涵盖法则推导、零次幂与负整数指数幂运算及科学记数法表示小数值。以杀菌剂杀菌情境导入，通过知识链接复习同底数幂乘法，搭建新旧知识过渡支架。 通过合作探究中的尝试思考、议一议、证一证，引导学生自主归纳法则，培养推理意识与运算能力。结合细胞直径、量子计算等实际问题，发展数据意识与应用意识，例题与当堂反馈设计精准，助力学生掌握重点突破难点。

第一章　整式的乘除 1.1　幂的乘除 第4课时　同底数幂的除法 【素养目标】 1．经历探索同底数幂除法运算性质的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用，发展运算能力和有条理的表达能力； 2．了解同底数幂的除法的运算性质，会进行同底数幂的除法，并能解决一些实际问题； 3．通过对整式的除法运算法则学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值． 重点：1.理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算； 2．会用同底数幂的除法法则进行计算． 难点：理解幂的除法运算并在运算中体会转化的思想. 【知识链接】 口答：(1)102×103＝________； (2)a4·a5＝________； (3)am·an＝________(m，n都是正整数). 填空：(1)________×103＝105 (2)a4·________＝a9 这两个问题都是已知积和其中一个因式，求另一个因式，你想到该如何计算了吗？ (1)105÷103＝________； (2)a9÷a4＝________． 【情境导入】 一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现 1 滴杀菌剂可以杀死 109 个此种细菌.要将 1 升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？ (1) 怎样列式？ (2) 观察这个算式，它有何特点？ 【合作探究】 探究点一： 同底数幂的除法 【尝试·思考】 计算下列各式，并说明理由(m＞n). (1)1012÷109；　　　(2)10m÷10n；　　　(3)(－3)m÷(－3)n。 提问：观察上面算式，底数有什么特点？ 追问1：上面算式中，等号左边是什么运算？ 追问2：等号左右两边的指数有什么关系？ 议一议： 总结一下你发现了什么规律，能否用符号语言表示出来？小组讨论得出结论． 证一证： 你能证明你们发现的猜想吗？ 要点归纳：同底数幂的除法法则：am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整数，且m＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减．　 例1　计算： (1)a7÷a4；　　　　　　　　　　　(2)(－x)6÷(－x)3； (3)(xy)4÷(xy); (4)b2m＋2÷b2。 同底数幂的除法可以逆用：am－n = am÷an. 已知：，。求： （1） 的值；　（2） 的值。 探究点二：零次幂与负整数次幂 假设把 中的 m >； n 这个条件去掉， 还成立？ 【思考·交流】 (1) 计算：23÷23，23÷25，a3÷a3，a3÷a5。 (2) 假设 m＝n 或 m＜n 时， am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数)仍然成立，那么(1)中各式的结果用幂的形式又该如何表示? (3) 比较 (1) (2) 各式的对应结果，你有什么发现 ? 与同伴进行交流. 规定：a0＝1(a≠0)；即任何不等于零的数的零次幂都等于 1. a－p＝(a≠0，p是正整数)。即用 a-p 表示 ap 的倒数. 有了这个规定后，已学过的同底数幂的乘法和除法运算性质中的m，n就从正整数扩大到全体整数了，即 am·an＝am＋n，am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是整数)。 例2　用小数或分数表示下列各数： (1)10－3；　　　　　(2)70×8－2；　　　　　(3)1.6×10－4。 例3计算： (1)7－3÷7－5；　　　(2)a－4÷a6； (3)30÷3－3; (4)(bc)－4÷(bc)－8. 探究点三：用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 填一填： 议一议 指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？ 指数与运算结果的 0 的个数的关系： 总结：一般地， 1 前面有 n 个 0就是10 的_____次幂. 10 的 -n 次幂，在 1 前面有___个 0. 科学记数法表示较小的数： 大于 －1 的负数也可以用类似的方法表示. 如：－0.000 002 56＝ . 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 例4 实验表明，人体内某细胞的形状可以近似地看成球状，并且它的直径为 0.00000156 m，则这个数可用科学记数法表示为( ) A. 0.156×10－5 m B. 0.156×105 m C. 1.56×10－6 m D. 1.56×106 m 【练一练】 1. 用科学记数法表示下列各数： (1) 0.000 000 000 1； (2) 0.000 000 000 002 9； (3) 0.000 000 001 295； 2. 中国科学技术大学完成的“祖冲之二号”和“九章二号”量子计算优越性实验入选国际物理学十大进展. 人们发现全球目前最快的超级计算机用时 2.3 秒的计算量，“祖冲之二号”大约用时仅为 0.000 000 23 秒，将数字 0.000 000 23 用科学记数法表示为( ) A. 23×10－8 B. 2.3×10－7 C. 0.23×10－9 D. 2.3×10－6 当堂反馈 1.计算a8÷a2的结果是(　　) A.a8 B.a6 C.a4 D.a2 2.计算(π－3)0的结果是(　　) A.0 B.1 C.3－π D.π－3 3.我国宣布研制成功首台氟化氩光刻机，实现套刻精度小于或等于8nm技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展.已知8nm＝0.000000008m，数据0.000000008用科学记数法可表示为(　　) A.8×109 B.8×10－9 C.8×1010 D.8×10－10 4.若am＝15，an＝5，则am－n等于(　　) A.3 B.5 C.15 D.75 5.(1)若(x－2)0有意义，则x　 　； (2)已知am÷a5＝a2，则m＝　 　. 6.已知0.003×0.005＝1.5×10n，则n的值是　 　. 7.计算： (1)(－m)7÷m4； (2)(a3)3÷(a3·a3)－(3a)3； (3)30－2－3＋(－3)2－()－1. 参考答案 【情境导入】 (1)1012÷109。 (2)1012和109这两个幂的底数相同，是同底数幂的形式，所以我们把1012÷109这种运算叫作同底数幂的除法。 【合作探究】 探究点一： 同底数幂的除法 【尝试·思考】 例1 解：(1)a7÷a4＝a7－4＝a3； (2)(－x)6÷(－x)3＝(－x)6－3＝(－x)3＝－x3； (3)(xy)4÷(xy)＝(xy)4－1＝(xy)3＝x3y3； (4)b2m＋2÷b2＝b2m＋2－2＝b2m。 解：（1） 。 　　（2） 　 　。 探究点二：零次幂与负整数次幂 【思考·交流】 (1) 23÷23＝1，23÷25＝8÷32＝，a3÷a3＝1，a3÷a5＝＝。 (2) 23÷23＝20，23÷25＝2－2，a3÷a3＝a0，a3÷a5＝a－2。 (3) 例2　解：(1)10－3＝＝＝0.001；　　　(2)70×8－2＝1×＝； (3)1.6×10－4＝1.6×＝1.6×0.000 1＝0.000 16。 例3解：(1)原式＝7－3－(－5)＝72＝49. (2)原式＝a－4－6＝a－10. (3)原式＝30－(－3)＝33＝27. (4)原式＝(bc)－4－(－8)＝(bc)4＝b4c4. 探究点三：用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 填一填： 例4 C 【练一练】 1. 解：(1) 0.000 000 000 1＝1×10－10. (2) 0.000 000 000 002 9＝2.9×10－12. (3) 0.000 000 001 295＝1.295×10－9. 2. B 当堂反馈 1.　B 2.　B 3.　B　 4.　A　 5.(1)　≠2　；(2)　7　. 6.　－5　. 7.计算： (1)解：原式＝－m7÷m4＝－m3. (2)解：原式＝a9÷a6－27a3＝a3－27a3＝－26a3. (3)解：原式＝1－＋9－4＝. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $