5.2 第3课时 角平分线的性质（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦“角平分线的性质及尺规作图”核心知识点，通过生活中角的实例（如墙角、桌角）联系轴对称性质，搭建从生活到数学的学习支架，引导学生从轴对称切入探究角的对称性。 特色在于“猜想-验证-归纳”探究过程，如探究二中通过对应点猜想、全等证明验证性质，培养推理意识，尺规作图依据SSS体现几何直观，例题变式训练提升应用意识。助力学生发展数学表达与逻辑思维，为教师提供清晰探究路径与分层训练素材。

第五章　图形的轴对称 5.1　轴对称及其性质 第3课时 角平分线的性质 1．从轴对称的性质中，提炼出里面的数学思想，探索并掌握角平分线的性质及尺规作图的画法． 2．由具体的客观事实，转化成抽象的猜想证明，让学生感悟数学思维解决问题的方法． 3．经历猜想、验证、归纳的学习过程，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯． 重点：探索并理解角的平分线的性质 难点：利用轴对称的性质，探索并掌握角平分线的性质 一、导入新课 知识链接 生活中哪些地方有角的身影？请举例说明． 墙角，桌角等 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究一：角的轴对称性 角(如图5－17、5－18，教材P130)是生活中常见的图形．角是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴． 学生讨论“角是不是轴对称图形”，思考怎样验证角的轴对称性． 要点归纳：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴． 强调：角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线．　 探究二：角平分线的性质 思考1：如图5－19(教材P131)，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点．在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D′，连接CD和CD′. (1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系？说说你的理由． CD＝CD′，因为∠AOB是轴对称图形，D和D′是对应点，所以CD和CD′是以OP所在直线为对称轴的一组对应线段，所以CD＝CD′. (2)特别地，当CD⊥OA时(如图5－20，教材P131)，CD′与OB有怎样的位置关系？为什么？此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗？由此你能得到什么结论？ CD′⊥OB，因为∠AOB是轴对称图形，D和D′是对应点，所以∠ODC和∠OD′C是以OP所在直线为对称轴的一组对应角．所以∠ODC＝∠OD′C.因为CD⊥OA，即∠ODC＝90°，所以∠OD′C＝∠ODC＝90°.所以CD′⊥OB. 线段CD和CD′之间还有(1)中的关系． 得到结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 验证：你能验证这个结论吗？ 已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.试说明：PD＝PE. 因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△PDO和△PEO中， 所以△PDO≌△PEO(AAS). 所以PD＝PE. 要点归纳： 性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 应用所具备的条件： ①点在角的平分线上； ②到角两边的距离(垂直). 性质的作用：证明线段相等． 几何语言： 因为OC是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB， 所以CD＝CE.　 探究三：利用尺规作角平分线 思考2：如图5－21(教材P131)，已知∠AOB，如何作出它的平分线？ 假设∠AOB的平分线已作出，那么 (1)这条射线有什么特征？ (2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点？用三角尺、量角器、圆规等工具试一试．如果只用尺规呢？与同伴进行交流． 注意：需要确定的点是角对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作． 如图5－22(教材P132)，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线． 作法： 1．在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE(如图5－22，教材P132). 2．分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点C. 3．作射线OC. 射线OC就是∠AOB的平分线． 思考3：请你说说这样作图的道理． 角平分线的作图依据是“SSS” 比较：过直线上一点作已知直线的垂线与作一个角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点？与同伴进行交流． 如图所示，在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为E.DE与DC相等吗？为什么？ DE与DC相等． 因为射线BD是∠ABC的平分线，点D到角两边BA，BC的距离分别是线段DE，DC的长， 所以DE＝DC. 变式训练：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB＝14. (1)求点P到AB的距离； (2)求△APB的面积． 存在一条垂线段——构造应用． (1)如图，过P作PD⊥AB于点D，因为AP平分∠BAC，PD⊥AB，PC⊥AC，所以PD＝PC＝4. (2)S△APB＝AB·PD＝28. 反思：回顾探究等腰三角形、线段、角的性质的过程，你运用了哪些方法？积累了哪些经验？ 三、当堂检测 1．如图，∠C＝90°，∠BAD＝∠CAD，若BC＝11 cm，BD＝7 cm，则点D到AB的距离为4cm. 第1题图 第2题图 2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ A ） A．2 B．3 C．4 D．无法确定 (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 学生通过自己动手动脑，得到不同验证角平分线性质的方法，学生在验证自己结论的同时培养了反思、修正、归纳的能力；在描述探究结果的过程中，学生通过有条理的语言表达，进一步提高了数学语言的运用能力，为八年级的推理和严格证明打下坚实基础． 学科网（北京）股份有限公司 $