1.3 第3课时 完全平方公式的认识（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦完全平方公式的推导、结构特征及应用，通过复习多项式乘法法则及其几何意义导入，搭建旧知与新知的学习支架，引导学生从已有知识自然过渡到公式探究。 此资料亮点在于融合代数推导与几何直观，通过合作探究让学生自主发现公式，议一议环节培养推理意识，图形解释公式发展几何直观，当堂检测结合10.1²等实例强化应用，助力学生深化理解，提升教师教学效率与学生数学思维。

第一章　整式的乘除 1.3　乘法公式 第3课时 完全平方公式的认识 　　 1. 理解并掌握完全平方公式的推导和应用.(重点) 2. 掌握完全平方公式的结构特征，能灵活运用公式进行计算.(难点) 一、导入新课 知识链接 1．多项式的乘法法则是什么？ (a＋b)(m＋n)＝________； 2．多项式乘法法则的几何意义是什么？ 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究一：完全平方公式的认识【合作探究】 观察下列算式及其运算结果，你有什么发现? (1)(m+3)2；(2)(2+3x)2。 用多项式与多项式相乘的运算法则进行计算： （1）原式=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9 =m2+2·3m+9=m2+6m+9； （2）原式=(2+3x)(2+3x)=22+2·3x+2·3x+9x2 =4+2·2·3x+9x2=4+12x+9x2。 发现：(a＋b)2 = a2 + 2ab + b2 . 想一想：你能根据图中的面积解释完全平方公式吗 和的完全平方公式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 【议一议】 (a－b)2 = ？你是怎样做的？ (a－b)2 = (a－b)(a－b)= a2－2ab＋b2 (a－b)2 = [a＋(－b)]2= a2＋2a(－b)＋(－b)2= a2－2ab＋b2 发现： (a－b)2 = a2－2ab＋b2. 【做一做】 (a－b)2 = a2－2ab＋b2. 请你设计一个图形解释这一公式. 【知识要点】 完全平方公式 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a－b)2 = a2－2ab＋b2. 简记为：“首平方，尾平方，积的 2 倍放中间” 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫作完全平方公式. 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同； 4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式和多项式. 例1 利用完全平方公式计算： (1) (2x－3)2； (2) (4x＋5y)2； (3) (mn－a)2. (3) (mn－a)2 = (mn)2－ 2 • mn • a＋a2 = m2n2－2amn＋a2. 注意：在学习(a-b)2=a2-2ab+b2时，要类比“两数和”的情况，让学生从代数运算和几何图形两个角度来进行推导，从而让学生经历代数运算到几何解释的过程，使学生的数形结合意识得以培养。 思考：(a + b)2 与 (- a - b)2 相等吗? (a - b)2 与 (b - a)2 相等吗? (a - b)2 与 a2 - b2 相等吗? 为什么? 解： (-a - b)2 = (-a)2 - 2·(--a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. (b - a)2 = b2 - 2ba + a2 = a2 - 2ab + b2 = (a- b)2. (a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等， 只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2. 三、当堂检测 1．计算(2x－1)2的结果是（ C ） A．2x2＋4x＋1 B．4x2－4x－1 C．4x2－4x＋1 D．4x2＋1 2．若(x＋a)2＝x2－10x＋b，则a，b的值分别为（ D ） A．2，4 B．5，－25 C．－2，25 D．－5，25 3．计算： (1)(x－2)2＝x2－4x＋4； (2)(m＋2n)2＝m2＋4mn＋4n2． 4．如图所示的图形验证了一个等式，则这个等式是(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2． 5．运用完全平方公式计算： (1)10.12＝(10＋0.1)2＝102.01； (2)1982＝(200－2)2＝39 204. 6．若x＋y＝17，xy＝60，则x2＋y2＝169，(x－y)2＝49． (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 本节课是整式的乘除一章中的重点，它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算．学生需要熟练掌握公式两种形式的使用方法，以提高运算速度．在教学过程中，应注重引导学生归纳公式的等号两边的结构特征，特别注意让学生用自己的语言描述公式的结构特征，同时引导学生发现在运用公式过程中容易出现的问题和注意的细节，比如二倍乘积在中间的时候，符号问题．然后再通过逐层深入的练习，巩固完全平方公式两种形式的应用，为完全平方公式第二节课的实际应用和提高应用做好充分的准备． 学科网（北京）股份有限公司 $