1.3 第1课时 平方差公式的认识（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦平方差公式的推导与应用，课堂导入通过计算三个多项式乘法（从(x＋1)(y－5)到(x＋1)(x－1)），引导学生观察积的项数变化，搭建从多项式乘法旧知到平方差公式新知的学习支架。 该资料以“探究—归纳—应用”为主线，通过算一算、议一议等活动引导学生自主发现公式结构特征，培养抽象能力和推理意识。例题分层设计（基础计算到化简求值），当堂检测强化应用，帮助学生用数学语言表达规律，提升运算能力，也为教师提供清晰的教学流程和多样化活动设计。

第一章　整式的乘除 1.3　乘法公式 第1课时 平方差公式的认识 1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算.（难点） 一、导入新课 知识链接 计算： (x＋1)(y－5)＝xy－5x＋y－5； (x＋1)(x－5)＝x2－5x＋x－5＝x2－4x－5； (x＋1)(x－1)＝x2－x＋x－1＝x2－1． 思考积为何从四项变成三项又变为两项？ 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究一：平方差公式的认识 算一算： (1)(x＋2)(x－2)；　　(2)(1＋3a)(1－3a)； (3)(x＋5y)(x－5y); (4)(2y＋z)(2y－z). 议一议： 观察相乘的两个多项式有什么特点？最终结果又有什么特点？小组讨论得出结果． 前一项相同项，后一项互为相反数(也可从加减法的角度理解).最终结果有两项，是乘式中两项的平方差，即(相同项)2－(互为相反数的项)2. 追问1：为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是二项式？ 有的积相加为0. 追问2：能否描述你们发现的规律？(分别从文字语言和符号语言角度引导) 文字语言：两个数的和×这两个数的差＝这两个数的平方差．符号语言： (a＋b)(a－b)＝a2－b2. 证一证： 代数验证(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2. 填一填： (a－b)(a＋b) a b a2－b2 (1＋x)(1－x) 1 x 12－x2 (－3＋a)(－3－a) －3 a (－3)2－a2 (1＋a)(－1＋a) a 1 a2－12 (0.3x－1)(1＋0.3x) 0.3x 1 (0.3x)2－12 例1　(教材P18例1)利用平方差公式计算： (1)(5＋6x)(5－6x)；　　 　(2)(x－2y)(x＋2y)； (3)(－m＋n)(－m－n)。 解：(1)(5＋6x)(5－6x)＝52－(6x)2＝25－36x2； (2)(x－2y)(x＋2y)＝x2－(2y)2＝x2－4y2； (3)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2＝m2－n2。 【方法归纳】 应用平方差公式计算时，应注意： （1） 观察该运算是否符合平方差公式 （两个多项式中的各项，除符号外是否完全相同）； （2） 符号相同看作 ，符号相反看作 ，套用公式. 例2　(教材P18例2)利用平方差公式计算： (1)(－x－y)(－x＋y)；　　　　(2)(ab＋8)(ab－8)。 解：(1)(－x－y)(－x＋y)＝(－x)2－y2＝x2－y2； (2)(ab＋8)(ab－8)＝(ab)2－82＝a2b2－64。 【想一想】 回答下列各题： (l) (－a + b)(a + b) = b2－a2. (2) (a－b)(b + a) = a2－b2. (3) (－a－b)(－a + b) = a2－b2. (4) (a－b)(－a－b) = b2－a2. 例3 先化简，再求值： (2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2. 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15. 三、当堂检测 1.计算(a＋4)(a－4)的结果是(　D　) A.8－a2 B.a2－8 C.16－a2 D.a2－16 2.下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式计算的是(　B　) A.(a－1)(a＋1) B.(2x－3)(－2x＋3) C.(2y－)(＋2y) D.(3m－2n)(－3m－2n) 3.若M(2x－5y)＝4x2－25y2，则M表示的式子为(　D　) A.(－2x＋5y) B.(2x－5y) C.(－2y－5x) D.(2x＋5y) 4.(1)若x－y＝4，x＋y＝7，则x2－y2＝　28　； (2)若(x＋3)(x－m)＝x2－9，则m的值是　3　. (其他课堂拓展题，见配套PPT) 四、课堂小结【板书设计】 平方差公式这一内容在整式乘法及后面将要学到的因式分解、分式运算与其他代数式的变形中起着十分重要的作用。可以说，它是构建学生代数知识结构，培养学生化归、换元、整体的数学思想方法的重要载体，是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应技能的重要内容。通过本节课的学习使学生经过独立思考、合作交流掌握公式的结构特征，并正确应用这个公式进行计算。 学科网（北京）股份有限公司 $