精品解析：2026浙江省湖州市浙北八校2025学年第二学期九年级模拟检测 数学试题卷

2025学年第二学期九年级模拟检测数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有3大题，共24小题． 2．答案必须写在答题纸的相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．本次考试不得使用计算器． 选择题部分 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列四个数中绝对值最大的是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友奉上了一道年味浓郁、文化醇厚、科技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达亿次，创13年来新高．数据“23063000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，物体的主视图画法正确的是（） A. B. C. D. 4. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（ ） A. B. C. D. 8. 一分钟跳绳是温州中考体育选考项目，某校为了了解九年级女生该项目的情况，随机抽取40名女生进行测试并绘制频数直方图如图所示．若成绩为不少于160个为优秀，则抽取的女生中跳绳能达到优秀有（ ） A. 5人 B. 12人 C. 14人 D. 17人 9. 已知反比例函数上有两点，当满足下列什么条件时，一定有（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，对角线，交于点，点是点关于直线的对称点．连接交，于点，连接．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. __________． 12. 关于和的二元一次方程组的解是__________． 13. 一个不透明的袋中装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．甲先摸一个球，不放回，乙再摸一个，则甲乙摸到的球颜色不同的概率是__________． 14. 如图是某商场扶梯的示意图，扶梯所在的直线与水平方向的夹角为．已知．若小明从扶梯底端处乘扶梯，以的速度用时到达扶梯顶端处，则小明上升的垂直高度为__________． 15. 【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为． 【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为__________． 16. 如图，已知点为的直径上一点，且．为上一点，满足：连接并延长交圆于点．连接，过点作，若，则的长为__________ 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简求值：，其中． 18. 小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 （1）小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； （2）写出正确的解答过程． 19. 如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，为半径的半圆交边于点，与相切于点，连接，． （1）求证：平分； （2）若，求该圆的直径． 20. 为丰富同学们的课余生活，学校举办“校园十佳歌手”比赛，邀请全校同学当评委对每个节目进行打分（满分5分），该校九年级同学对其中一个节目的打分情况统计结果如下： （1）求九年级同学对该节目打分的众数、中位数和平均数； （2）全校共有学生1200人，请根据统计信息，估计全校打分在4分及以上的总人数． 21. 甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与甲的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究： （1）求甲和乙的速度； （2）C点的坐标是______； （3）当甲乙两人相距时，求的值． 22. 【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形纸片沿对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，交于点，交于点． 【数学理解】 （1）在平移过程中，线段的长始终与相等，请说明理由； （2）已知，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分为菱形时，求移动的距离． 23. 已知二次函数（a为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； （3）若，点，在该二次函数图象上，试说明． 24. 如图，正方形，直线绕点顺时针旋转至，作关于直线的对称点交于点，连接交于点，连接交于点．小明在探究与的大小关系时，发现其对应如下： ①_____ ②_____ （1）请填表，并证明结论②； （2）求证：； （3）在直线旋转过程中，试探究线段与线段的比（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级模拟检测数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有3大题，共24小题． 2．答案必须写在答题纸的相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．本次考试不得使用计算器． 选择题部分 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列四个数中绝对值最大的是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：，，，． 又∵ ． ∴ 绝对值最大的数是． 2. 中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》为全球华人和海外朋友奉上了一道年味浓郁、文化醇厚、科技闪耀的“文化年夜饭”，截至2月17日8时，春晚境内全媒体总触达亿次，创13年来新高．数据“23063000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 3. 如图，物体的主视图画法正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图的定义，从正面观察物体，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，据此判断即可． 【详解】解：该物体是一个空心圆柱， 从正面看，其外轮廓是一个矩形， 又内部空心圆柱的轮廓线被外壁遮挡，属于不可见轮廓线， 在主视图中应画为两条竖直的虚线，观察选项可知，C选项符合题意． 4. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及对顶角相等解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5. 下列计算中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方以及幂的乘方、合并同类项进行计算，即可找出不正确的选项． 【详解】解：A，∵， ∴A计算正确； B，∵， ∴B计算正确； C，∵， ∴C计算不正确； D，∵， ∴D计算正确． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可知与的位似比为，且图形位于原点两侧，故对应点坐标互为相反数且倍数关系为． 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， ∴与的相似比为，由图可知，与关于原点对称 ∴点与点是对应点，且点的横、纵坐标分别是点横、纵坐标的倍， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 7. 2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目的数量关系，结合“不低于”的含义列出不等式即可得到结果． 【详解】解：根据题意得． 8. 一分钟跳绳是温州中考体育选考项目，某校为了了解九年级女生该项目的情况，随机抽取40名女生进行测试并绘制频数直方图如图所示．若成绩为不少于160个为优秀，则抽取的女生中跳绳能达到优秀有（ ） A. 5人 B. 12人 C. 14人 D. 17人 【答案】D 【解析】 【分析】根据频数直方图获取成绩不少于160个的数据，再通过计算这些数据对应的频数之和来求解． 【详解】解：在频数直方图中，成绩不少于160个即成绩在以及这部分， 从图中可知，成绩在的频数是12，成绩在的频数是5， ∴跳绳能达到优秀（成绩不少于160个）的人数为这两部分频数之和， 即（人）， ∴抽取的女生中跳绳能达到优秀的有17人． 9. 已知反比例函数上有两点，当满足下列什么条件时，一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数解析式表示出两点的纵坐标，再根据列出不等式，化简后求解的范围即可，用到分式不等式的化简规则． 【详解】∵在反比例函数上 ∴， 要求，代入得： ∵， ∴不等式变形为： 移项得 ∵分子， ∴分母 解得． 10. 如图，矩形中，对角线 ，交于点，点是点关于直线的对称点．连接交， 于点，连接．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质和平行线的性质得到，再由轴对称的性质可得，则可证明得到，据此可证明；求出，；证明，得到，设，则，由勾股定理得；证明，得到，即，则． 【详解】解：∵在矩形中，对角线 ，交于点， ∴； ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得； ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 非选择题部分 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. __________． 【答案】1 【解析】 【分析】先算平方和算术平方根再相加即可． 【详解】解： 12. 关于和的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ①②得， 即 解得：， 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为： 13. 一个不透明的袋中装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．甲先摸一个球，不放回，乙再摸一个，则甲乙摸到的球颜色不同的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 白  红1  红2   白  白，红1  白，红2  红1  红1，白    红1，红2  红2  红2，白  红2，红1 ∴一共有6种等可能的结果，其中甲乙摸到的球颜色不同的有4种结果， ∴甲乙摸到的球颜色不同的概率为． 14. 如图是某商场扶梯的示意图，扶梯所在的直线与水平方向的夹角为．已知．若小明从扶梯底端处乘扶梯，以的速度用时到达扶梯顶端处，则小明上升的垂直高度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，由，设，，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∵，， ∴， 设，， 由勾股定理得即， 解得或（舍去）， ∴小明上升的垂直高度为． 15. 【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为． 【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据示例中赵爽弦图的构造方法，将方程变形为，可知矩形的长为，宽为，进而表示出大正方形的边长，利用大正方形的面积建立方程求解即可． 【详解】解：由方程 移项得，即． 根据题意及示例图形可知，构造的四个矩形的长为，宽为． 大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即． 因为大正方形的面积为， 所以． 因为为正整数， 所以， 所以． 解得． 16. 如图，已知点为的直径上一点，且．为上一点，满足：连接并延长交圆于点．连接，过点作，若，则的长为__________ 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点B作于点G，设，则，，证明，可得，再由，可得， 从而得到，，在中， 根据勾股定理可得，，在中，，再由，可得，在中，可得 ，联立解方程组，即可求解． 【详解】解：连接，过点B作于点G， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， 在中， ， ∴， 在中，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 联立得：， 解得：， ∴． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 （1）小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； （2）写出正确的解答过程． 【答案】（1）一 （2） 解： ， 去分母，得， 去括号，得 ， 移项，得 合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 【解析】 【小问1详解】 解：他从第一步开始出现错误； 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，为半径的半圆交边于点，与 相切于点，连接，． （1）求证：平分； （2）若，求该圆的直径． 【答案】（1） 证明：∵ 与半圆相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵是所对的圆心角，是所对的圆周角， ∴， ∴， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】（1）根据相切的性质，平行线的性质，圆心角等于圆周角的一半即可求证； （2）设半径，证，根据相似比求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设半径， ∵以点为圆心，为半径的半圆交边于点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 即直径． 20. 为丰富同学们的课余生活，学校举办“校园十佳歌手”比赛，邀请全校同学当评委对每个节目进行打分（满分5分），该校九年级同学对其中一个节目的打分情况统计结果如下： （1）求九年级同学对该节目打分的众数、中位数和平均数； （2）全校共有学生1200人，请根据统计信息，估计全校打分在4分及以上的总人数． 【答案】（1）众数是5分，中位数是分，平均数是分 （2）估计全校打分在4分及以上的总人数约为1080人． 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数和平均数的计算方法计算即可求解； （2）样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：5分的占比最高，所以众数是5分， 先将所有打分按从小到大排序，累计占比： 2分→3分(累计)→4分(累计)→5分(累计)， 中位数是第和第位置的数， 所以中位数是（分）， 计算加权平均数： （分）， 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计全校打分在4分及以上的总人数约为1080人． 21. 甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与甲的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究： （1）求甲和乙的速度； （2）C点的坐标是______； （3）当甲乙两人相距时，求的值． 【答案】（1）甲的速度为，乙的速度为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得甲和乙的速度； （2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标； （3）分甲和乙相遇前两人相距和当甲和乙相遇后两人相距两种情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：（1）从可以看出：两人从相距的两地相遇用了一个小时时间， 则， ∵甲的速度小于乙的速度， ∴甲用了3小时走完了的全程， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：C点的意义是乙骑车从B地到A地用了，此时甲和乙的距离是， ∴C点坐标是； 【小问3详解】 解：当甲和乙相遇前两人相距时，则， 解得； 当甲和乙相遇后两人相距时，则， 解得， 综上，甲乙两人相距时，的值为或． 22. 【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形纸片沿对角线 剪开，再把沿着方向平移，得到，交 于点，交于点． 【数学理解】 （1）在平移过程中，线段的长始终与相等，请说明理由； （2）已知，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分为菱形时，求移动的距离． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴由平移可得，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可得的长始终与相等； （2）由勾股定理可求得，根据四边形为菱形，可得，，则，可得，可得，，再由，即可求解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形中，， ∴，， ∴， 由平移可得，， 设，则， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，即， 解得， ∴移动的距离． 23. 已知二次函数（a为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； （3）若，点，在该二次函数图象上，试说明． 【答案】（1） （2） （3） 解：∵点，在该二次函数图象上， ∴， ， ∴ ， 当时，即， 解得：， ∵，且， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）把代入二次函数解析式得，然后配成顶点式即可求解； （2）由题意易得该二次函数与x轴的交点坐标为，则有该二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：当时，则二次函数的解析式为， 化为顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令，则有，解得， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点B到对称轴的距离为， 根据对称的性质可知：； 【小问3详解】 略 24. 如图，正方形，直线绕点顺时针旋转至，作关于直线的对称点交于点，连接交于点，连接交 于点．小明在探究与的大小关系时，发现其对应如下： ①_____ ②_____ （1）请填表，并证明结论②； （2）求证：； （3）在直线旋转过程中，试探究线段与线段的比（用含的式子表示） 【答案】（1）①；②； 证明②：连接， 由题意，，，， 由轴对称性质得，， ∴，， ∴， ∴； （2） 解：过C作交延长线于P，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由轴对称性质得，，再根据等腰三角形的性质求得，，然后利用三角形的外角性质可证得结论； （2）过C作交延长线于P，证明得到，则，利用平行线的判定可得结论； （3）设与交于点K，先利用三角形的内角和定理推导出，则，再证明，则有． 【小问1详解】 解：填表：①；②； 证明②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设与交于点K，如图， 由（2）知，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $