精品解析：2025年浙江省湖州市九年级中考一模数学试题

浙北2025年初中学业水平调研测评 数学试题卷 温馨提示： 1．全卷分卷Ⅰ与卷Ⅱ两部分，考试时间为120分钟，试卷满分为120分． 2．试题卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效． 3．作图时，请使用2B铅笔，确定后用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分． 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入 元”记作“元”，那么“支出 元”记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 根据某网站统计数据，截止至2025年2月，的总访问量达到了278000000次，为读写方便，可将数278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某校举办运动会，运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，下面四幅图中，不可能是该几何体的三视图的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在一个不透明的箱子里共有5个红球和3个白球，它们除颜色外其余都相同，则从箱子里随机摸出一个球，是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为提升学生的劳动意识，某校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人．现调20人去支援，使甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？若设应调往甲处x人，乙处y人，则下列方程（组）中，与题意不符的是（ ） A. B. C. D. 7. 某地区某天的气温变化较大，如图表示该地区这天24小时的气温变化情况．下列说法正确的是（ ） A. 正午12点时，该地气温最高 B. 这一天早上6点之后，该地气温一直在升高 C. 该地这一天只有一个时刻的气温达到 D. 该地这一天的最高与最低气温差大约是 8. 如图，已知的半径长是1， ， 分别切于点A，B，连结并延长交于点C，连结，．若四边形是菱形，则 的长是（　　） A. B. 3 C. D. 4 9. 在平面直角坐标系中，有，，，四个点，一次函数 的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形 中，线段 绕点 顺时针旋转至 （点E在正方形内部），连结并延长至点F，使得 ，交于点G，连结， ．若，则 的面积与四边形的面积的比值是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 当时，分式的值是________． 12. 把角度转化成度的形式：________ 13. 要推荐选手参加射击比赛，现有甲、乙两位选手每人10次射击的成绩，经分析得，平均数，方差．若考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是________． 14. 如图，是的弦，半径于点D，连结．若的半径长为 ，的长为，则扇形的面积是________（结果保留）． 15. 如图，在中， ， ，D是的中点，E是边上的一点，点B与点关于直线对称，点恰好在边上，连接，则的长是________． 16. 一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 （1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． （2）当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ 20. 某校举办了校园主题辩论赛，组织学生现场投票，并组织评委从“内容与逻辑、表达与语言、反驳与应变、团队与合作、仪态与风度”五个维度进行评分（权重分别设为 ），评选出最佳人气奖2名、最佳辩手1名及其他奖项若干名．评选规则如下：最佳人气奖由学生现场投票产生；最佳辩手必须是最佳人气奖获得者，再根据评委的评分产生；其他奖项均由评委的评分产生．辩论结束，学校将投票结果和评分结果进行收集、整理后，绘制了如下的统计表和统计图： 学生投票数的频数表 组别 频数 频率 辩手A 108 0.3 辩手B 54 a 辩手C b 0.25 辩手D 72 c 其他辩手 36 0.1 评委评分的统计表（部分） 内容与逻辑 表达与语言 反驳与应变 团队与合作 仪态与风度 辩手A 70 95 90 85 85 辩手B 80 85 95 70 95 辩手C 80 85 95 70 95 辩手D 85 90 70 80 85 请根据以上信息，完成下列问题： （1）分别求出频数表中a、c的值，并补全条形统计图． （2）直接写出最佳人气奖获得者，并通过计算加权平均分，确定谁是最佳辩手． 21. 仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法． （1）如图1，在 正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结，使得 ． （2）如图2，在 正方形网格中，A，B是格点，请找到线段的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）． （3）如图3，在中，E是边上一点，请在边上找一点F，连结 ，使得四边形 是平行四边形（保留作图痕迹）． 22. 纵观古今，解码测量背后的数学智慧． （1）【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，， 与交于点F．测得米，米，米，求树的高度． （2）【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）．（精确到1米） 测量示意图 方案说明 方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角 为 ，与山脚D处的俯角为． （参考数据：， ， ） 方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角为 ；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角为． （参考数据：，，） 23. 已知二次函数（a是常数且 ）． （1）若 ， ①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标； ②已知该函数图象经过和两点，求 的值． （2）若该函数图象经过点，当时，函数的最大值恰好是4t，求t的值． 24. 如图，在矩形 中，E是边上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交对角线 于点F，交于点G，连结， ． （1）如图1，若 ，连结 ， ①求 的度数； ②判断 的形状，并说明理由． （2）如图2，若，延长 交直线于点H，连结 ．当 是边的中点时，求的值． （3）如图3，若（k是常数），延长交边于点 ，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙北2025年初中学业水平调研测评 数学试题卷 温馨提示： 1．全卷分卷Ⅰ与卷Ⅱ两部分，考试时间为120分钟，试卷满分为120分． 2．试题卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效． 3．作图时，请使用2B铅笔，确定后用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分． 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入 元”记作“元”，那么“支出 元”记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了具有相反意义的量，收入的记作正数，则支出的就应记作负数，所以去出 元就应记作元． 【详解】解：“收入 元”记作“元”，那么“支出 元”记作“元”． 故选：B ． 2. 根据某网站统计数据，截止至2025年2月，的总访问量达到了278000000次，为读写方便，可将数278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中 ， 为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：B． 3. 某校举办运动会，运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，下面四幅图中，不可能是该几何体的三视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图，从左面观察物体所得到的视图是左视图，从上面观察物体所得到的视图是俯视图”，熟练掌握三视图的定义是解题关键．根据三视图的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不可能是该几何体的三视图，则此项符合题意； B、是该几何体的主视图，则此项不符合题意； C、是该几何体的俯视图，则此项不符合题意； D、是该几何体的左视图，则此项不符合题意； 故选：A． 4. 已知在一个不透明的箱子里共有5个红球和3个白球，它们除颜色外其余都相同，则从箱子里随机摸出一个球，是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率的计算方法是解题关键．先求出从箱子里随机摸出一个球的所有等可能的结果，再找出从箱子里随机摸出一个球是红球的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：∵从箱子里随机摸出一个球共有 种等可能的结果，其中，从箱子里随机摸出一个球是红球的结果有5种， ∴从箱子里随机摸出一个球是红球的概率为， 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，解题关键是明确合并同类项法则，准确进行计算； 逐项判断两个单项式是否是同类项，再看计算是否正确即可． 【详解】解：A. ，不符合题意； B. 和 不是同类项，不能合并，不符合题意； C. 和不是同类项，不能合并，不符合题意； D. ，符合题意； 故选：D． 6. 为提升学生的劳动意识，某校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人．现调20人去支援，使甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？若设应调往甲处x人，乙处y人，则下列方程（组）中，与题意不符的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程和二元一次方程组，找准等量关系，正确建立方程（组）是解题关键．①设应调往甲处人，则调往乙处人，根据甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍可列出关于的一元一次方程；②设应调往乙处 人，则调往甲处人，根据甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍可列出关于 的一元一次方程；③设应调往甲处人，乙处 人，根据调20人去支援，使甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍列出方程组即可得． 【详解】解：①列出关于的一元一次方程：设应调往甲处人，则调往乙处人， 则，选项A符合题意； ②列出关于 的一元一次方程：设应调往乙处 人，则调往甲处人， 则，选项B符合题意； ③列出关于二元一次方程组，设应调往甲处人，乙处 人， 则或，选项C符合题意，选项D不符合题意； 故选：D． 7. 某地区某天的气温变化较大，如图表示该地区这天24小时的气温变化情况．下列说法正确的是（ ） A. 正午12点时，该地气温最高 B. 这一天早上6点之后，该地气温一直在升高 C. 该地这一天只有一个时刻的气温达到 D. 该地这一天的最高与最低气温差大约是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象的读图能力，正确根据图象的性质和数据进行分析，得出实际意义． 直接根据图象信息回答即可． 【详解】A．15点时，该地气温最高，故选项错误； B．这一天早上6点之后，该地气温先下降，然后再升高，然后在下降，故选项错误； C．该地这一天有两个时刻的气温达到 ，故选项错误； D．该地这一天的最高与最低气温差大约是，故选项正确． 故选：D． 8. 如图，已知 的半径长是1， ， 分别切 于点A，B，连结并延长交 于点C，连结 ，．若四边形是菱形，则 的长是（　　） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，切线的性质，含30度的直角三角形，掌握圆的切线的性质是解题关键．连接 ，，根据切线的性质得到，再根据等边对等角的性质推出，进而得到，则，即可求出 的长． 【详解】解：如图，连接 ，， ， 分别切 于点A，B， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 9. 在平面直角坐标系中，有，，，四个点，一次函数 的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题关键．分四种情况：①一次函数 的图象恰好经过点，，；②一次函数 的图象恰好经过点，，；③一次函数 的图象恰好经过点，，；④一次函数 的图象恰好经过点，，，根据其中两个点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，再检验另一个是否在这个一次函数的图象上，由此即可得． 【详解】解：①设一次函数 的图象恰好经过点，，， 将点，代入 得：，解得， ∴， 当 时，，即点不在一次函数的图象上， ∴一次函数 的图象不可能恰好经过三个点； ②设一次函数 的图象恰好经过点，，， 同理：由点，可得：， 当时，，即点不在一次函数的图象上， ∴一次函数 的图象不可能恰好经过 三个点； ③设一次函数 的图象恰好经过点，，， 同理：由点，可得：， 当时，，即点不在一次函数的图象上， ∴一次函数 的图象不可能恰好经过三个点； ④设一次函数 的图象恰好经过点，，， 同理：由，可得：， 当时，，即点在一次函数的图象上， 当时，，即点不在一次函数的图象上， 综上，一次函数 的图象恰好经过三个点，不经过点； 故选：B． 10. 如图，在正方形中，线段 绕点 顺时针旋转至 （点E在正方形内部），连结并延长至点F，使得 ，交 于点G，连结， ．若，则 的面积与四边形的面积的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形和勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先设，然后等量变换得到，进而证得，然后证得 是等腰直角三角形，再证明，得到 、、 三点共线，再证明，得到点 、 分别为 和的中点，然后设正方形的边长为 ，分别求得，，然后即可求解； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设，则，由旋转可知， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， 在上取，连接 ， ，如图： ， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵ ，， ∴， ∴ 、、 三点共线， ∴，， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点 、 分别为 和的中点， 设正方形的边长为 ， ∴，， 在 中，根据勾股定理，可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ 是 的中点， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵点 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 故选：C； 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 当时，分式的值是________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了求分式的值，把代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：． 12. 把角度转化成度的形式：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角度的单位制，熟练掌握角度单位制的换算是解题关键．根据可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 要推荐选手参加射击比赛，现有甲、乙两位选手每人10次射击的成绩，经分析得，平均数，方差．若考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是________． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了利用方差做决策“方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量”，熟练掌握方差的意义是解题关键．根据方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小即可得． 【详解】解：∵平均数，方差， ∴甲选手的射击成绩更稳定， ∴考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是甲， 故答案为：甲． 14. 如图， 是 的弦，半径于点D，连结 ．若 的半径长为 ， 的长为，则扇形的面积是________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据垂径定理可得，再解直角三角形可得，然后利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵半径于点 ， 的长为， ∴， ∵ 的半径长为 ， ∴， 在 中，， ∴， ∴扇形的面积是， 故答案为：． 15. 如图，在 中， ， ，D是的中点，E是边 上的一点，点B与点关于直线对称，点恰好在边 上，连接，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，轴对称图形的性质，等腰三角形的性质与判定，连接，由三线合一定理可得，则由勾股定理可得，再由轴对称图形的性质得到，则由等边对等角和三角形内角和定理可证明，据此利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在 中， ， ，D是的中点， ∴， ∴； ∵点B与点关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 故答案为①④． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、算术平方根、绝对值，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算零指数幂、算术平方根、绝对值，再计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集是． 19. 电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 （1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． （2）当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到 与成反比例函数关系是解题的关键． （1）观察表格可得是一个定值，即 与成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的值即可得到答案． 【小问1详解】 解；根据表格数据的关系，可得 与成反比例函数关系， 设，把代入中得：，解得， ∴． 【小问2详解】 解：当时，， ∴当该电磁波的频率为时，它的波长是 ． 20. 某校举办了校园主题辩论赛，组织学生现场投票，并组织评委从“内容与逻辑、表达与语言、反驳与应变、团队与合作、仪态与风度”五个维度进行评分（权重分别设为 ），评选出最佳人气奖2名、最佳辩手1名及其他奖项若干名．评选规则如下：最佳人气奖由学生现场投票产生；最佳辩手必须是最佳人气奖获得者，再根据评委的评分产生；其他奖项均由评委的评分产生．辩论结束，学校将投票结果和评分结果进行收集、整理后，绘制了如下的统计表和统计图： 学生投票数的频数表 组别 频数 频率 辩手A 108 0.3 辩手B 54 a 辩手C b 0.25 辩手D 72 c 其他辩手 36 0.1 评委评分的统计表（部分） 内容与逻辑 表达与语言 反驳与应变 团队与合作 仪态与风度 辩手A 70 95 90 85 85 辩手B 80 85 95 70 95 辩手C 80 85 95 70 95 辩手D 85 90 70 80 85 请根据以上信息，完成下列问题： （1）分别求出频数表中a、c的值，并补全条形统计图． （2）直接写出最佳人气奖获得者，并通过计算加权平均分，确定谁是最佳辩手． 【答案】（1） ， ， 补全条形统计图如下： ． （2）最佳人气奖获得者是辩手A和辩手C，辩手A是最佳辩手 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率、条形统计图、加权平均数，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）先根据辩手A的频数与频率求出投票的总数，再利用频数除以投票的总数即可得的值，然后利用频率乘以投票的总数可得 的值，据此补全条形统计图即可得； （2）频数前两名的辩手即为最佳人气奖获得者，再计算他们的加权平均分，由此即可得． 【小问1详解】 解：投票的总数 （票）， 则 ， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， ∵要求评选出最佳人气奖2名，且 ， ∴最佳人气奖获得者是辩手A和辩手C． 辩手A的加权平均分： （分）， 辩手C的加权平均分： （分）， ∵ ， ∴辩手A是最佳辩手． 21. 仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法． （1）如图1，在 正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结 ，使得 ． （2）如图2，在 正方形网格中，A，B是格点，请找到线段 的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）． （3）如图3，在中，E是边上一点，请在边上找一点F，连结 ，使得四边形 是平行四边形（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，格点 和线段 即为所求（答案不唯一）． ． （2） 如图，点 即为所求（作法不唯一）． ． （3） 如图，点 和四边形 即为所求（作法不唯一）． ． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和网格、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）根据勾股定理和网格可得，再结合网格画出格点 即可得； （2）利用平行四边形的对角线互相平分作图即可得； （3）先连接，交于点 ，再连接，并延长交于点 ，然后连接 ，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 纵观古今，解码测量背后的数学智慧． （1）【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，，与交于点F．测得米，米，米，求树 的高度． （2）【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（ 的长）．（精确到1米） 测量示意图 方案说明 方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角 为 ，与山脚D处的俯角为． （参考数据：， ， ） 方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角为 ；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角为． （参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）山体高度约为160米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质求解即可． （2）选择方案二进行问题解决：在 和中，解直角三角形求出 ，求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， （米），（米），（米）， 解得：（米）． 【小问2详解】 解：选择方案一无法算出，故不能解决问题． 选择方案二进行问题解决： 根据题意可得， ， ， ， ，， ， 可得， （米）， （米）， 山体高度约为160米． 23. 已知二次函数（a是常数且 ）． （1）若 ， ①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标； ②已知该函数图象经过和两点，求 的值． （2）若该函数图象经过点，当时，函数的最大值恰好是4t，求t的值． 【答案】（1）①，；② （2）或8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）①将 代入即可得二次函数的解析式，再将二次函数的解析式化成顶点式即可得其顶点坐标； ②先求出二次函数的对称轴为直线，再根据点和关于该函数的对称轴对称，由此即可得； （2）先将点代入求出二次函数的解析式为 ，再分两种情况：①和②，利用二次函数的增减性求解即可得． 【小问1详解】 解：①当 时，，即， 将二次函数的解析式化成顶点式为， 则该函数图象的顶点坐标为． ②二次函数的对称轴为直线， ∵该函数图象经过和两点， ∴点和关于该函数的对称轴对称， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵函数图象经过点， ∴， ∴或 （不符合题意，舍去）， ∴，其对称轴为直线， ∴时的函数值与 时的函数值相等，即为， 由二次函数的性质可知，当 时， 随的增大而减小；当时， 随的增大而增大． 则分以下两种情况： 由①当时，则在内，当时， 的值最大， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则在内，当 时， 的值最大， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为或8． 24. 如图，在矩形中，E是边上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交对角线 于点F，交 于点G，连结， ． （1）如图1，若 ，连结， ①求 的度数； ②判断 的形状，并说明理由． （2）如图2，若，延长 交直线于点H，连结 ．当 是边的中点时，求的值． （3）如图3，若（k是常数），延长交边 于点 ，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）① ； ② 是等腰直角三角形．理由如下： 由圆周角定理得：，， ∴ ，， ∴， ∴ 是等腰直角三角形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①先证出四边形是正方形，根据正方形的性质可得 ，再根据圆周角定理即可得； ②根据圆周角定理可得，，再根据等腰直角三角形的判定即可得； （2）连接，先根据圆周角定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，证出，根据相似三角形的性质可得，然后设，则，，利用勾股定理可得，由此即可得； （3）连接 ，先根据圆周角定理可得 是图中圆的直径，再证出，根据垂径定理可得 ，然后设，则，利用勾股定理可得 的长，从而可得的长，最后根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：①在矩形中， ， 四边形是正方形，， ， 由圆周角定理得：． ②略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∴是过三点的圆的直径， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， 在 和 中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵ 是边的中点， ∴ ，即， 又∵ ， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接 ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 是图中圆的直径， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， 由（2）已得：，即， ∴， 又∵ 是图中圆的直径， 是图中圆的弦， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∵（ 是常数）， ∴设，则， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，综合性强，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $