第4章 问题解决策略：特殊化（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦“特殊化”问题解决策略，通过七年级上册数轴比较a、1/a、|a|大小的情境导入，取特殊值a=-0.5直观得出结论，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生理解特殊化策略的应用。 其亮点在于结合几何（正方形旋转重叠面积）和代数（三位数除法）实例，从特殊情形（边垂直、顶点在边上）到一般情形，用全等推理等方法解决问题，体现数学眼光的抽象能力与数学思维的推理意识。学生能培养举一反三能力，教师可借助活动与例题提升教学效率。

问题解决策略：特殊化 第四章 三角形 北师版 七年级(下) 1. 理解特殊化策略在解决数学问题中的重要意义，明确特殊化策略是解决复杂问题的有效手段之一.(重点) 2. 会识别出哪些类型的数学问题适合采用特殊化策略来解决，例如几何图形面积计算问题、与图形内点相关的线段关系问题等. 3. 能熟练地将一般性的数学问题转化为特殊情形进行思考，学会在不同特殊情形之间建立联系和转化，培养举一反三的学习能力.(难点) 素养目标 回顾七年级上册我们学过的数轴，点 a 在数轴上的位置如图所示，你知道怎么快速比较 a，，|a| 的 大小关系吗? a 答：取 a＝－0.5，则 a，，| a | 三个数分别 为－0.5，－2，0.5，所以 < a < | a |. 情境导入 活动1 裁出两块边长为 10 cm，大小一样的正方 形纸片 ABCD 和正方形纸片 EFGH .如图，把顶点 E 钉在纸片 ABCD 的正中心位置，旋转正方形纸 片 EFGH，画一画重叠部分，两 个正方形重叠部分的面积是多少? 探究点一：几何图形中的特殊化 新知探究 情形① ： 如图①点B在边EF上，点C在边EH上； 情形② ：如图② AB⊥EF于点M,EH⊥BC于点N； 情形③ ：如图③ BC与EF,CD与EH分别相交. 问题1 在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会 出现哪些情形? ① ② ③ 探究点一：几何图形中的特殊化 新知探究 问题2 对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积? 你遇到的困难是什么? 你会选择哪一种方法求正方形面积? 情形①：两个正方形重叠部分的面积恰好为三角形 BEC 的面积，很容易得出重叠部分面积为正方形面积的 ，为 1010＝25(cm2). ① 探究点一：几何图形中的特殊化 新知探究 情形②：两个正方形的边互相垂直时，易得重叠部分刚好也是一个小正方形，且小正方形边长恰好为大正方形边长的一半，即重叠部分边长为5 cm，所以此时重叠部分面积为 5×5 = 25(cm2). ② 探究点一：几何图形中的特殊化 新知探究 思考1 在这两种特殊图形中，你是如何通过简单的几何关系得出重叠部分面积为正方形面积的 的? 可以通过正方形的对称性或三角形全等关系来证得出重叠部分面积是正方形面积的 . 探究点一：几何图形中的特殊化 新知探究 情形③：将一般情形转化为特殊情形. 如图，连接 EB，EC，两个正方形重叠部分的面积记作 S重叠· ③ ∵∠NEM=∠BEC， ∴∠NEM-∠MEC=∠BEC-∠MEC, 即∠NEC=∠BEM,又EC=EB，∠ECN=∠EBM, ∴△CEN≌△BEM（ASA),∴S△CEN=S△BEM S重叠＝S△BEC＋S△CEN－S△BEM＝S△BEC ＝ S正方形ABCD=25(cm2). . 探究点一：几何图形中的特殊化 新知探究 1. 面对一般性的问题时，可以考虑特殊图形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略. 2. 在数学问题中，“从特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论. 【要点归纳】 探究点一：几何图形中的特殊化 新知探究 活动 2 同桌两人一组玩游戏. 游戏规则：甲、乙两人轮流在正方形纸片上放同样大小的硬币，每人每次只能放一枚，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出纸片的边界.规定谁在纸片上放下最后一枚硬币，谁就获胜. 你知道获胜的策略吗? 如果你走第一步，你会放在哪里才可能稳操胜券?请说明你的理由. 探究点二：代数问题中的特殊化 新知探究 第一步应放正方形纸片的中心位置. 这时，对方放一枚硬币，你就可以在正方形纸片上放一枚硬币，使它与你同桌的硬币关于正方形中心对称，直到同桌无处可放，你就赢了. 思考2 在日常生活中，还有哪些问题可以用特殊化的方法来解决? 写一篇小短文介绍你的发现. 探究点二：代数问题中的特殊化 新知探究 例1 若一个三位数 的各位数字是任意三个连 续的正整数，则 ÷3的最小值是_____，最大 值是______. 解：当 x＝l，y＝2，z＝3 时，123÷3＝41；当 x＝9，y＝8，z＝7 时，987÷3＝329. 41 329 探究点二：代数问题中的特殊化 新知探究 例2 如图，四边形 ABCD 各内角的平分线交于点 O，则有 AB＋CD＝AD＋BC，试说明理由. 解：特殊情形：显然当四边形 ABCD 是正方形时，点 O 是正方形的中心，满足题目条件，则有 AB＝BC＝CD＝DA， 显然结论 AB＋CD＝AD＋BC 成立. 一般情形：如图，过点 O 作四边形 ABCD 各边的垂线，垂足分别为点 E，F，G，H. 探究点二：代数问题中的特殊化 新知探究 在△AOE 与△AOH 中， ∠OAE =∠OAH， ∠OEA =∠OHA = 90°， AO = AO， ∴ △AOE≌△AOH (AAS). ∴ AE＝AH. 同理，DH＝DG，BE＝BF，CF＝CG， ∴ AB＋CD＝AE+BE+DG+CG ＝AH+BF+DH+CF＝AD＋BC. 探究点二：代数问题中的特殊化 新知探究 问题解决策略：特殊化 1.特殊化策略的概念 2.应用步骤：提出问题→理解问题→拟定计划 →实施计划→回顾反思 3. 例题展示与解题过程 课堂小结 解：如图，过点 A作BC的垂线交BC于点Q，连接AP，BP，CP. 1. 如图，点 P 是等边三角形 ABC 内的任意一点，过点 P 向三边作垂线，垂足分别为点D，E，F. 小颖从特殊情形入手，认为 PD＋PE＋PF 等于△ABC 的高，你知道她是怎么做的吗? S△ABC＝S△ABP＋S△BCP＋S△ACP Q BC∙AQ＝AB∙PF＋ BC∙PD＋ AC∙PE 因为 AB＝BC＝AC， 所以 AQ＝PF＋PD＋PE. 所以 PD＋PE＋PF 等于△ABC 的高 当堂反馈 2.如图，四边形 ABCD 的面积是16，各边中点分别为 M，N，P，Q，MP 与 NQ 相交于点O，求图中上色部分的面积. 解：如图，连接 AO，BO，CO，DO. 由于 M，N，P，Q 是各边中点， 所以 S△AOM＝S△AOB，S△AOQ＝S△AOD， S△OCP＝S△OCD，S△ONC＝S△OBC. 所以 S△AOM＋S△AOQ＋S△OCP＋S△ONC＝S四边形 ABCD＝8. 所以图中上色部分的面积为 8. 当堂反馈 3.一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少? 解：设这个三位数为 abc ( a、b、c 均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9)，这个三位数的值是100a + 10b + c，各位数字之和是 a + b + c. 要求商最大，就要让被除数尽可能大，除数尽可能小. 商＝. 当这个三位数是 900， 当这个三位数是100，各位数字之和是 1+ 0 + 0 = 1 时， 商为 ＝100 各位数字之和是9+0+0=9 时，商为 ＝100； 所以一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是100. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $