第4章 三角形 问题解决策略：特殊化（课件） 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

问题解决策略：特殊化 预习 2.如图 ，四边形 ABCD 的面积是 16，各边中点分别为 M，N，P，Q，MP与 NQ 相交于点 O，求图中阴影部分的面积。 希尔伯特 在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一． 新课导入 有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少？ 提出问题 在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现出哪些情形？请你画一画。 理解问题 （1）哪些特殊情形下，两个正方形重叠部分的面积容易求出？ 拟定计划 （2）怎样解决一般情形的面积呢？ 实施计划 △BEM≌△CEN S重叠=S△BEC = N M N M Q P △EMP≌△ENQ S重叠=S正方形EQCP = （1）回顾本题的解决过程，你有什么感悟？ 回顾反思 （2）具有什么特点的问题，可以从特殊情形入手？ （3）如何寻找特殊情形？ 什么是特殊化? 举个例子: 三角形的三条中线交于一点 等边三角形的三条中线交于一点 一般性问题 特殊情形 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。 新课探究 问题 如图，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH 的顶点E 与正方形ABCD 的中心重合。在正方形EFGH 绕点E 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少? 新知探究 在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现哪些情形? 理解问题 对于这些不同情形，如何求这两个正方形重叠部分的面积? 新知探究 拟定计划 哪些特殊情形下，两个正方形重叠部分的面积容易求出? 其他情形能转化为容易求解的特殊情形吗？ S重叠=S正方形ABCD = 新知探究 M N △BEM≌△CEN S重叠=S△BEC = 新知探究 M N P Q △EMP≌△ENQ S重叠=S四边形EQCP = 新知探究 回顾·反思 因为某些因素(如形状、位置或数值等)不确定，使得问题有多种情形时、可以限制这个引起变化的因素，考虑最为特殊的情形，采用从特殊情形入手的策略解决问题。 问题思路受阻 发现特殊值(情形) 以特殊值(情形)找到思路 问题得以解决 1.如图，点P是等边三角形ABC 内的任意一点，过点 P向三边作垂线，垂足分别为 D，E，F。小颖从特殊情形入手，认为 AF+BD+CE等于△ABC周长的 。你知道她是怎么做的吗? 课堂练习 解：小颖是从以下特殊情形入手：点P为等边三角形ABC三条高的交点，如图所示。 容易得到，△ABD≌ ACD， 所以 BD = CD。 同理可得 AF = BF， AE = CE。 因此，容易得到AF+BD+CE等于△ABC周长的 课堂练习 2.如图 ，四边形 ABCD 的面积是 16，各边中点分别为 M，N，P，Q，MP与 NQ 相交于点 O，求图中阴影部分的面积。 课堂练习 解：如图，连接OA，OB，OC，OD。 ∵ M是AB的中点， ∴AM = AB ∴ S△OAM = S△OAB 同理可得， S△OAQ = S△OAD， S△OCN = S△OBC， S△OCP = S△OCD S阴影 = S△OAM + S△OAQ + S△OCN + S△OCP = S△OAB + S△OAD + S△OBC + S△OCD = S四边形ABCD = ×16 =8 课堂练习 3.甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能置一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界。规定谁在桌上放下最后一枚便币，谁就获胜。你知道获胜的策略吗? 解：甲有必胜策略，即先放置一枚硬币在桌面中心，之后每次在乙放置硬币位置的对称位置放置硬币，直到桌面无法再放置更多硬币，甲将获胜。 课堂练习 4.一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少? 解：设这个三位数是 ，它除以它的各位数字之和的商为S。 则 = 100a+10b+c， 。 先考虑特殊情形，固定a，b的值，如a = 1， b = 1 则 ，很容易得出c = 0时，S 最大，且a，b取其他值时，依然是c = 0，S 最大。 同理，固定a，c的值时，b = 0时 S 最大； 固定b，c的值时，a = 9 时 S 最大。 因此，当a = 9， b = 0 ， c = 0时 S 取最大值，此时 。 即商最大是100。 课堂练习 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。 课堂小结 在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一． 畅谈收获 希尔伯特 谢谢 1.完成课本的相应练习题， 2.完成练习册本课时的习题。 课后作业 $