第4章 三角形 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件系统梳理了三角形单元核心知识，涵盖三角形的定义、内角和、分类、三边关系、三线（角平分线、中线、高）及全等三角形的性质与判定，通过知识要点分块整合，构建从基础概念到性质应用的逻辑网络。 其亮点在于采用“考点解析+例题示范+针对训练+方法归纳”模式，如通过等腰三角形腰底分类讨论培养分类思想，利用内角和定理列方程提升推理意识，帮助学生巩固知识，助力教师精准教学。

小结与复习 第四章 三角形 一、 三角形的有关性质 1. 不在同一直线上的三条线段首尾_________所组成 的图形叫做三角形. 以点 A，B，C 为顶点的三角形 记为 ，读作“三角形 ABC”. 顺次相接 △ABC 2. 三角形三个内角的和等于______°. 180 知识要点 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 按角分 按边分 三边各不相等的三角形 等腰三角形 5. 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边； 三角形任意两边之差小于第三边. 3. 三角形的分类 4. 直角三角形的两个锐角互余. 等边三角形 知识要点 6.三角形的三条角平分线交于一点； 三角形三条中线交于一点； 三角形的三条高所在的直线交于一点. 二、 全等三角形 1. 全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等 3. 三角形的稳定性的依据： SSS 2. 全等三角形的判定 ASA SSS SAS AAS 知识要点 例1 已知两条线段的长分别是 3 cm、8 cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段 a 的长为奇数，问第三条线段应取多长？ 解： 由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得 8－3 < a < 8 + 3，所以 5 < a < 11. 又因为第三边长为奇数,所以第三条线段应取 7 cm 或 9 cm. 考点一 三角形的三边关系 考点讲练 1.已知等腰三角形的两边长分别为 10 和 4 ，则该三角形的周长是　　． 24 【方法归纳】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节. 【针对训练】 考点一 三角形的三边关系 考点讲练 例2 如图，CD 是△ABC 的角平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC 的度数． 解：因为∠A＝50°，∠B＝70°， 所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－70°＝60°. 因为 CD 是∠ACB 的平分线， 所以∠BCD＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°. 因为 DE∥BC， 所以∠EDC＝∠BCD＝30°. 所以∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°. 考点二 三角形的内角和 考点讲练 2. 在△ABC 中，三个内角∠A，∠B，∠C 满足∠B－∠A =∠C－∠B，则∠B = °. 60 【针对训练】 考点二 三角形的内角和 考点讲练 解析：因为点 D 是 AC 的中点，所以 AD＝ AC， 例3 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF 和△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF 和 S△BEF，且 S△ABC＝12，则 S△ADF－S△BEF＝________． 2 因为 S△ABC＝12， 所以 S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6. 考点三 三角形的角平分线、中线、高 考点讲练 因为 EC＝2BE，S△ABC＝12， 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比． 所以 S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4. 因为 S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF) ＝S△ADF－S△BEF， 所以 S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 【方法归纳】 考点三 三角形的角平分线、中线、高 考点讲练 3.如图，在△ABC 中，CE，BF 是两条高， 若∠A = 70°，∠BCE = 30°，则∠EBF 的度数是 °，∠FBC 的度数是 °. 4. 如图，在△ABC 中，两条角平分线 BD 和 CE 交于点 O，若∠BOC = 132°， 则∠A 的度数是 °. A B C E F A B C D E O 20 40 84 【针对训练】 考点三 三角形的角平分线、中线、高 考点讲练 例4 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC. 试说明：△ABC≌△DCB． 因为 ∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， ∠ACB＝∠DBC， 解： 在△ABC 和△DCB 中， 所以△ABC≌△DCB（ASA ）. B C A D 【分析】运用“两角及其夹边分别相等的两个三角形 全等”进行判定． 考点四 全等三角形的判定与性质 考点讲练 例5 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点 G，交 AB 于点 E，EF∥BC 交 AC 于点 F， 试说明：∠DEC = ∠FEC. A B C D F E G 【分析】 欲说明∠DEC = ∠FEC 由平行线的性质转化为说明∠DEC = ∠DCE 只需说明△DEG≌△DCG. 考点四 全等三角形的判定与性质 考点讲练 A B C D F E G 解：因为 CE⊥AD， 所以∠AGE =∠AGC = 90°. 在△AGE 和△AGC 中， 因为∠AGE =∠AGC， AG = AG， ∠EAG =∠CAG， 所以△AGE≌△AGC(ASA). 所以 GE = GC. 在△DGE 和△DGC 中， 因为 EG = CG， ∠EGD = ∠CGD = 90°， DG = DG， 所以△DGE ≌△DGC(SAS). 所以∠DEG =∠DCG. 因为 EF∥BC， 所以∠FEC =∠ECD. 所以∠DEC =∠FEC. 因为 AD 平分∠BAC，所以∠EAG =∠CAG. 考点四 全等三角形的判定与性质 考点讲练 利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线. 【方法归纳】 考点四 全等三角形的判定与性质 考点讲练 5. 已知△ABC 和△DEF ，下列条件中，不能保证△ABC 和△DEF 全等的是 ( ) A. AB = DE，AC = DF，BC = EF B. ∠A =∠D，∠B =∠E，AC = DF C. AB = DE，AC = DF， ∠A =∠D D. AB = DE，BC = EF， ∠C =∠F D 【针对训练】 考点四 全等三角形的判定与性质 考点讲练 方程思想 例6 如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，∠1 =∠2，∠3 =∠C，求∠1 的度数. A B C D ) ) ) ) 2 4 1 3 解：设∠1 = x，根据题意可得∠2 = x. 因为∠ADB = 180° -∠1 -∠2 = 180° - 2x， ∠3 +∠ADB = 180°，∠4 =∠2， 所以∠3 = 2x， ∠4 = x. 又因为∠3 =∠C，所以∠C = 2x. 在△ABC中，x + 2x + 2x = 180°， 解得 x = 36°. 所以∠1 = 36°. 考点五 本章中的思想方法 考点讲练 在角的求值问题中，常常利用余角、补角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解. 【方法归纳】 考点五 本章中的思想方法 考点讲练 分类讨论思想 例7 已知等腰三角形的两边长分别为 10 和 6 ，则三角形的周长是　　　　　． 解析：由于没有指明等腰三角形的腰和底， 所以要分两种情况讨论： 26 或 22 第一种 10 为腰，则 6 为底，此时周长为 26； 第二种 10 为底，则 6 为腰，此时周长为 22. 考点五 本章中的思想方法 考点讲练 性质 判定：SAS、ASA、 AAS、SSS 三 角 形 高、角平分线、中线 性质 等腰（等边）三角形的性质与判定 全等三角形 用尺规作三角形 任意两边之和大于第三边， 任意两边差小于第三边 内角和为180° 课后小结 见教材章末练习题 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $