4.1认识三角形（第2课时三角形的三边关系）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

北师大版（2024）七年级数学下册 第四章 三角形 4.1 认识三角形 第2课时 三角形的三边关系 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 会按边对三角形进行分类. 2. 通过度量三角形的边长，理解并掌握三角形三边的关系. 3.通过研究三角形三边关系的过程，培养逻辑思维能力，体会数学知识的严密性. 情景导入 三角形按角分为哪几类? 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三个角都是锐角。 有一个内角是直角。 有一个内角是钝角。 除了按角分类，还有其他分类方法？ 新知探究 下面的三角形的边长之间有什么关系吗？ 三条边各不相等 两边相等 三边都相等 顶角 底角 底角 底边 腰 腰 有两边相等的三角形叫作等腰三角形。 相等的两条边都叫作等腰三角形的腰； 另外一条边叫作等腰三角形的底边； 腰和底边的夹角叫作底角。 两腰的夹角叫作顶角； 三边都相等的三角形叫作等边三角形。 等边三角形和等腰三角形之间有什么关系? 等边三角形是一种特殊(腰与底边相等)的等腰三角形。 等腰三角形一定是等边三角形，你认同？ 等腰三角形不一定是等边三角形。 按边分类 等腰三角形 三边都不相等的三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 注意：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角， 底角只能是锐角。 思考交流 （1） 节日的晚上，房间内亮起了彩灯。如图，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长较长？ 装有黄色彩灯的电线长。 因为两点之间线段最短，所以装有红色彩灯的电线要短。 （2）在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?为什么？与同伴进行交流。 A B C a b c 三角形的任意两边之和大于第三边。 a + b ___ c a + c ___ b c + b ___ a > > > 操作思考 1.分别量出下图中三个三角形的三边长度，并填入空格内。 (1) a=_______， b=_______， c=_______； (2) a=_______， b=_______， c=_______； (3) a=_______， b=_______， c=_______。 2.1 cm 1.6 cm 2.4 cm 1.2 cm 2.2 cm 1.9 cm 3 cm 1.2 cm 2.2 cm 根据你的测量结果，计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论?再画一些三角形试一试。 (1) a-b ____ c，c-b ____a，c-a ____b； (2) b-a ____ c，b-c ____a，c-a ____b； (3) a-b ____ c，b-c ____a，a-c ____b。 ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ 2.如图，在△ABC中，以点B为圆心，以 BA 的长为半径作弧，与边BC交于点 D，图中是否有线段长度等于BC-AB呢？能用圆规直观说明BC-AB与AC之间的大小关系吗？ 改变三角形的形状再试试看，你能得到什么结论？ 因为BC-AB=CD， 又因为CD＜AC， 所以 BC-AB ＜AC 。 三角形的任意两边之差小于第三边。 A B C a b c |a – b| < c |a – c| < b |c – b| < a 回顾反思 回顾三角形的不同分类方法，每种方法分别选用了怎样的分类标准? 在对其他对象进行分类时，你是如何选择不同标准的? 例题讲解 例 有两根长度分别为 5cm 和 8cm 的木棒，用长度为 2cm 的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为 13cm 的木棒呢？ 解：用长度为2cm的木棒时，由于2+5=7 < 8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形。 用长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形。 如果一根木棒能与长度分别为 5 cm 和 8 cm 的两根木棒摆成三角形，那么它的长度取值范围是什么？ 8-5 < x < 5+8 3 < x < 13 分析：它的长度取值范围是大于(注意:不能等于)原两根木棒长度之差，小于(注意:不能等于)原两根木棒长度之和。 概念归纳 三角形的三边关系 1. 等腰三角形 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. 如图4.1-6. 2. 等边三角形 三边都相等的三角形叫作 等边三角形. 2. 三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形任意两 边之和大于第 三边 a＋b﹥c， b＋c﹥a， a＋c﹥b 两点之间 线段最短 三角形任意两 边之差小于第 三边 a－b﹤c， b－c﹤a， a－c﹤b (a﹥b﹥c) 特别提醒 1.运用三角形的三边关系时，必须用任意两边的和及差与第三边作比较. 2. 已知三角形两条边的长度分别为a，b(a>b)，根据三角形的三边关系可知，第三条边的长度c的取值范围是a－b<c<a＋b. 随堂练习 2.一个三角形地两边长分别为3和5，第三边的长可以是8吗？可以是2吗？说说你的理由。 解:设第三边的长为x，则 5-3<x<5+3，即 2<x<8， 所以第三边的长不可能是8或 2。 【课本P90 随堂练习 第1题】 3.在△ABC中，a=4，b=2，已知第三边c的长是偶数，求c的长。 解: 因为 a=4，b=2， 所以 2<c<6。 又因为 第三边 c 的长是偶数， 所以 c=4。 【课本P90 随堂练习 第2题】 分层练习 基础题 1. 以下列长度的线段为边，可以构成一个三角形的是( ) A A. 2，5，6 B. 3，4，8 C. 5，5，10 D. 3，5，9 2. 如图，为了估计池塘岸边， 两点之 间的距离，小明在该池塘的一侧选取一点，测得 米， 米，则， 两点之间的距离可 能是( ) C A. 26米 B. 19米 C. 6米 D. 5米 3. 如图是三角形按边分类的关系图，则图中的 表示( ) D （第3题） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 （第4题） 4. 如图，在中，，点在 上， 且 ，则图中的等腰三角形有( ) D A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 24 5. [2024驻马店期末] 已知三角形的三边长分别为,, .其中,满 足，且，则 的取值范围是( ). D A. B. C. D. 【点拨】由题意得， ，由三角形的三边关系定理 得，即 . 因为，所以 .故选D. 25 6.如图表示的是三角形的分类，则 表示的是( ) A （第6题） A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 26 7.一个三角形的三边长之比是 ，周长是10，则此三角形按边分类 是( ) A A.等腰三角形 B.等边三角形 C.三边都不相等的三角形 D.以上都不对 8.下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( ) D A.,, B.,, C.,, D.,, 27 9.若某个三角形的三边长分别为3，4，，则 的值可以是( ) B A.1 B.5 C.7 D.9 （第10题） 10. 如图，为估计池塘两岸 ， 两点间的距离，小奇在池塘一侧选取了一点 ，分别测得，，若， 两 点间的距离长度为偶数（单位：），那么， 两点间的最大距离是____ 。 10 28 [解析] 点拨：在 中，由三角形的三边关系可得 ，因为， ， 所以，即 。 因为， 两点间的距离长度为偶数， 所以，两点间的最大距离是 。 29 11.[2024德州月考] 已知,,为的三边长，且, 满足 ，为奇数，则 的周长为___. 8 【点拨】因为 ,所以 , , 解得,,所以,即 . 因为为奇数，所以 . 所以的周长 . 30 12. 一个等腰三角形的周长为 ，其中 一边长为 ，则这个三角形其余两边的长是多少？ 小红是这样解的：由题知，底边长为.设腰长为 ，则 ，解得 . 所以这个三角形其余两边的长均为 . 你认为小红的解法对吗？如果不对，请你给出正确的解法. 31 【解】小红的解法不对（或不全面），漏掉了当腰长是 时的情况.正确的解法如下： 分情况讨论： （1）当底边长是时，设腰长为，则 ， 解得.此时三角形的三边长分别为， ， ，符合三角形的三边关系； （2）当腰长为时，设底边长为，则 ， 解得 ，此时不符合三角形的三边关系，所以不能围成 腰长是 的等腰三角形. 综上，这个三角形的其余两边长分别为， . 32 综合应用题 13. 木工师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和 的木条，需要将其中一根木条分为两段与另一根组成一个三角 形.如果不考虑损耗和接头部分，那么木工师傅应该选择分为两段的 木条是( ) B A. 长为的木条 B. 长为 的木条 C. 两根都可以 D. 两根都不行 14. 如图，用四个螺丝 将四根不可弯曲的木条围成一个木框，不 计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次 为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可 C A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两螺丝之间 的距离最大为( ) 34 【点拨】已知四根木条的长分别为2，3，4，6. ①选 ，4，6,即5，4，6作为三角形的三边长. 因为 ， 所以能构成三角形，此时两个螺丝之间的最长距离为6； ②选 ，6，2,即7,6,2作为三角形的三边长. 因为 ， 所以能构成三角形，此时两个螺丝之间的最大距离为7； 35 ③选 ，2，3,即10，2，3作为三角形的 三边长. 因为 ， 所以不能构成三角形，此种情况不成立； ④选 ，3，4,即8，3，4作为三角形的三边长. 因为 ，所以不能构成三角形，此种情况不成立. 综上所述，任意两螺丝之间的距离最大为7. 故选C. 15.[2024台州模拟] 已知的三边长分别为，， ，化简 的结果是_________。 16. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2 倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 是 “倍长三角形”，底边的长为4，则腰 的长为___. 8 【点拨】因为是等腰三角形， 为底边，所以 . ①当时， ; ②当时， ,此时不符合三角形 的三边关系，所以不能构成三角形，故不符合题意. 所以，腰 的长为8. 37 17.[2024上海浦东新区期中] 如图，在四边形中，是 与的交点，试说明：与的和小于四边形 的周长. 38 【解】因为在中， ， 在中， ， 在中， ， 在中， ， 所以 ， 整理，得 . 所以与的和小于四边形 的周长. 39 18. 已知的三边长是，， . （1）若， ，且三角形的周长是小于22的偶数，求 的值； 【解】因为的三边长是，，，， ， 所以，即 . 因为三角形的周长是小于22的偶数， 所以，即，且 为偶数. 所以 或6. 40 （2）化简 . 【解】由三角形的三边关系，得 ， 所以， . 所以 . 41 19.在平面内，分别用3根、5根、6根……长度相同的木棒首尾 依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下. 木棒/根 3 5 6 示意图 ______________ _______________ ______________________ 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 （1）4根长度相同的木棒能搭成三角形吗？ 【解】4根长度相同的木棒不能搭成三角形. 42 （2）8根、12根长度相同的木棒能搭成几种三角形？并画出它们的示 意图. 【解】8根长度相同的木棒能搭成一种三角形，示意图如图①. 12根长度相同的木棒能搭成3种不同的三角形,示意图如图②③④. 43 20. 如图，第二次龟兔赛跑时，聪明的 乌龟设计的比赛规则是从点跑到点，因， 之间 有猎人的陷阱，乌龟让兔子沿路线 前进， 而它沿路线 前进。乌龟告诉兔子，兔 子只跑三角形的两边 ，而它要跑四边形的三边 ，这样自己跑的路程比兔子跑的路程长。请你用所学 的知识说明它们谁跑的路程长。 44 解：如图，设直线交于点，交于点 ， 在中， ， 在中， ， 在中， ， 所以 ， 所以 ，即 ，所以兔子跑的路程长。 45 创新拓展题 21. 在平面内，分别将3根、5根、6根……火柴棒首尾 顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴棒根数 3 5 6 示意图 _____________________ _________________ ___________________________ 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 （1）4根火柴棒能搭成三角形吗？ 解：4根火柴棒不能搭成三角形。 （2）8根、12根火柴棒能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示 意图。 解：8根火柴棒能搭成一种三角形，示意图如图①所示。 12根火柴棒能搭成三种不同形状的三角形，示意图如图②所示。 47 22.将长度为，是自然数 的一根铅丝折成各边的长 均为整数的三角形，三边的长分别记为，， ，且满足 . （1）就，6的情况，分别写出所有满足题意的 . 【解】当时，有， ； 当时，有，， . 48 （2）有人根据（1）中的情况，猜想到若铅丝的长度为 为自然数，且时，的个数一定为 ，这个 猜想正确吗？请你对 时的情况进行验证. 【解】这个猜想不正确. 验证：当时，，且 ， ，所以，所以 ，9，10，11， 故可得 共12个，即 ，，，， ， ，，，，， ， . 所以 .所以这个猜想不正确. 49 课堂小结 三角形中边的关系 三角形 按边分类 三边各不相等的三角形 等腰三角形（包括等边三角形） 三角形的三边关系 任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 $$