第十九章 专题特训二 利用二次根式的概念和性质求值-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级下 专题特训二利用二次根式的概念和性质求值，“答案与解析”见5 类型一 利用二次根式有意义的条件求字母 类型二 利用二次根式合并的条件求字母 或代数式的值或取值范围 或代数式的值 1.(2024·眉山期末)在代数式+可 7.已知最简二次根式m"3m一n与二次根式√48 x-2 中，x的 可以合并，则整数m,n的值分别为() 取值范围是 A.1,0 B.-1,0 A.x≥-1 B.x≠2 C.1,2 D.-1,2 C.x≥-1且x≠2 D.-1≤x<2 8.先阅读材料，再解答问题， 2.若代数式√(1一a)+√(3-a)的值为常数 设a,b是有理数，且满足a十√2b=3一2√2， 2,则a满足的条件是 求b“的值. A.a≥3 B.a≤1 解：由题意，得(a-3)+(b+2)W2=0. C.1≤a≤3 D.a=1或a=3 .a,b都是有理数， 3.已知△ABC的三边长分别为2,5，m,则化简 ∴.a一3，b十2也是有理数. √/(m-3)2一√m2-14m+49的结果为( √2是无理数， A.2m-10 B.10-2m ∴.a-3=0,b+2=0. C.10 D.4 ∴.a=3,b=-2. 4.化简二次根式√一x的结果是 .b4=(-2)3=-8. 问题：设x,y都是有理数，且满足x2一2y十 5.已知关于x的代数式√4-x+√x-a-2有 √5y=8+4√5，求x+y的值. 意义，且满足条件的所有整数x的值之和是 9,则a的取值范围是 6.已知a,b满足√4a-b++3b-4a-3= 0求2a÷的值 16 第十九章二次根式 类型三二次根式的化简求值 13先化简再求信：-6辰+2 9.设x,y,之是互不相等的三个实数 其中x=4. 且满足等式：√x3(y一x)3十 √(2-x)=√y-x-x-之，则 x3+y3+x3-3xyz的值是 () A.0 B.1 C.3 D.2 10.已知a=√3+√5，b=/3-5,则a-b的 值为 1儿卫，丘+房2 x √x2+3x+1 Vx+9x+1的值为 12.(1)解方程：√18-√6x=2√30一√24x. 14已知反=是-a,求+2+a红+四 a x+2-√J4x+x2 的值. (2)(2024·周口期末)已知x=2√3一2， y=23+2.求x2-xy+y的值. 17a=5m2-3 2 又·a为正整数， .5m2一3为偶数， .m为奇数 ,.当m=1时，a=1:当m=3时，a= 21:当m=5时，a=61. ∴.满足条件的a的值可以为1,21,61 (也可取m为其他正奇数，得出不同 的答案). 第2课时二次根式的混合运算 1.D2.B3.D4.22 5.(1)原式=5. (2)原式=3. 一方法归纳 关于二次根式混合运算的 做题方法 (1)在进行二次根式混合运算 的过程中，可以先把每个二次根式 看成一个单项式，多个被开方数不 同的二次根式的和或差看成多项 式，再类比整式运算法则进行计 算，二次根式混合运算的结果应写 成最简二次根式或整式的形式 (2)进行二次根式的计算时， 能用乘法公式的要尽量使用乘法 公式，以最大程度简化计算过程 6.D 7B解析：原式=√5 ×压+ ×瓜=+=3+5. 5 T<5<4,.1<5<2..4< 3+√5<5. 8.C解析：，a=1十√2，b=1 √2，∴.a-b=1+√2-(1-√2)= 2W2,ab=(1+√2)(1-2)=-1. .a2+b2-3ab=a2+b2-2ab ab=(a-b)2-ab=(2√2)2 (-1)=8+1=9. 9.x<22+ 10.7解析：万+5 7-5 W7+5)W7+5)-12+2W35 (7-√5)（√7+√5） 2 6+35.:11<6+√35<12，.易 得a=11,b=√35-5. ∴.√6+10b+a+28= √(b+5)2+a+3=√35+14=7. 1①原式=子 (2)原式=9-3√6 12.(1)原式=(a+b)2=(√3-2+ √5+2)2=(25)2=12. (2)原式=ab(a-b)=(5-2)× (W5+2)(5-2-√5-2)=[(5)2 221×(-4)=-1×(-4)=4. 13.(1)答案不唯一，如3十√2； 3-√2. (2)一2√5和2√5是共轭实数.a=0, b=2. (3)设这两个共轭实数为a+bwm和 a-b/m. .·这两个共轭实数的和为10，差的绝 对值为4√3， ∴.(a+bm)+(a-bm=10, |(a+bWm)-(a-bWm)=45. ∴.2a=10,|2bWm1=45 ∴.a=5,b=2或b=-2(不合题意， 舍去)，m=3. ∴.这两个共轭实数是5十23和 5-23. 14.(1)3+2√2. (2)点B关于点A对称的点为C, .x=1-(W2-1)=2-√2」 x+2=2-+2 2-√2 =2 √2+ 2(2+√2) =2-√2+ (2-√2)(2+√2) 4+2E=2-反+2+2=4 2 5 专题特训二利用二次 根式的概念和性质求值 1.C2.C 3.A解析：.△ABC的三边长分 别为2,5，m,.5-2<m<5+2,即 3<m<7.∴.m-3>0,m-7<0. ∴.√m-3)z-√m2-14m+49= √(m-3)z-√(m-7)7=|m- 3-|m-71=m-3+m-7= 2m-10. 4.一√一x解析：由题意，得x≠0 且-x3≥0.x<0..原式= 可-} ·(-x)·√x=-√厂x. 5.-1<a0或-4<a-3 解析：由题意，得4-x≥0，x一a 2≥0，∴.a十2≤x≤4.满足条件的 所有整数x的值之和是9，∴.x=4, 3,2或x=4,3,2,1,0,-1..1a+ 2≤2或-2<a+2≤-1.∴.-1< a0或-4<a一3. /1 6.由√4a-b++√3b-4u-3= 4a-b+1=0, fa=-1, 解得 {b=-3. ·原式=-2×(÷√) -2×3=-6. 7.A解析：.√48=43，最简二 次根式m+"3m一n与二次根式√④8 m+n+1=2, 可以合并， 解得 3m-n=3, m=1, n=0. 8.x2-2y+5y=8+45, .(x2-2y-8)+(y-4)W5=0. x,y都是有理数， .x2一2y一8，y一4也是有理数. √5是无理数， ∴.x2-2y-8=0,y-4=0. .x=±4，y=4 ∴.当x=4,y=4时，x十y=4十 4=8: 当x=-4,y=4时，x+y=(-4)+ 4=0. .x十y的值是8或0. 9.A解析：依题意，得 [y-x≥0， x一之≥0， 解得x=0. x3(y-x)3≥0， x3(2-x)3≥0， √x3(y-x)下+√x3(-x)下 √y-x-√x-之，列-√一之 0.y=-之.∴.把x=0,y=-之代 人x3十y3+x3-3.xyz,得0+ (-2)3+23-0=0. 10.√2解析：a=√3+√5，b √3-5，∴.a2=(√3+5)2=3+ √5，b2=(√3-5)2=3-√5，ab= √3+5.√3-√5= √(3+5)(3-√5)=√4=2. :(a-b)2=a2+b2-2ab=3+√5十 3-5-2×2=3+3-4+5-√5 2,.a-b=±√2.3+W5>3 √5，.√3+5>√3-5..a>b. ∴.a-b>0.∴.a-b=√2. 5 ，解析：由题意，可知 x>0.,√E+ =2,.等式两边 √/x 同时平方，得x十马 =2.∴.原式 1 1 5 5 征 11· 12.(1)方程可化为√8一x= 2√30-26.x. 移项、合并同类项，得V6x=2√30 √18. 系数化为1，得x=25-5. (2)由题意，得x十y=4W3,xy= (2W5-2)(25+2)=8. .z2-zy+y2=(x+y)-3xy= (4√5)2-3×8=48-24=24. 13.原式=5√/2z-√2x+2√2x= 6√2z, 当x=4时，原式=6×√2X4= 12√2 14.+2+√4x+ x+2-√4x+x (x+2+√4x+x)(x十2+√4x+x) (x+2-√/4x+x2)(x+2+W/4x+x2) (x+2)2+2(x十2)√4x+x+4x+x2 (x+2)-(4x+x2) x2+4x+4+2(x+2)√/4r+x2+4r+x2 x2+4x+4-4x一x1 2x2+8.x+4+2(x+2)W√4x+x 4 x2+4x+2+(x+2)√4x+x 2 a x=1-2+a ·x+2=1 a +a. .x2+4.x+2=(x+2)2-2=a2+ 0+4=(x+2)2-4=42+ 1 2 1 √E≥0， 1 -a0,即2≥a. 原式 +2+(日+W+-2 2 2 6 ++(+a 2 a2+ +-2 2 ++ a 1 2 第十九章整合拔尖 [高频考点突破] 典例12026解析：：2025 m|+√m-2026=m,∴.m 2026≥0，解得m≥2026.∴.m 2025+ Jm-2026 m. .√m-2026=2025.∴.m 2026=20252..m-20252=2026. 「变式1由题意，得x一1≥0且1 x≥0， .x≥1且x≤1. ∴.x=1. .y=2. :平-. y-1 典例2(1)-a;1-b. (2)由题图，可知-2<a<-1,0< b<1, ∴.a+1<0,a+b<0. ∴.√(a+1)+-√a+b= |a+1|+1b|-|a+b|=-a-1+ b+a+b=2b-1. [变式]x-3+ √x2+8x+16=7, .x-3+x+4=7. .易得-4≤x≤3. .2|x+4|-√(2x-6)2=2(x+ 4)-|2.x-6|=2(x+4)-(6-2x)= 4x+2. 典例3√元(x+√)=3· (E+5), .x-2Wxy-15y=0. ∴.(x+3)(√E-5√)=0. x,y为正数， .元+3>0.