第二十一章 专题特训八 利用特殊四边形的性质巧解动态问题-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级下 专题特训八利用特殊四边形的性质巧解动态问题，“答案与解析”见39 类型一与平行四边形相关的动点问题 类型二与矩形相关的动点问题 1.如图，在□ABCD中，点E在AD的延长线 3.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6, 上，点F在线段AB上，依次连接EB,EC, AE=4,AF=2,G,H分别是边BC,CD上 FC,FC与EB交于点H,当点F从点B出 的动点，则四边形EFGH周长的最小值为 发向点A运动时（点F不与点B,A重合）， △CHE的面积与△BFH的面积之差的变 A.2√5+6 化情况是 B.4V5 A.先变小，再变大 C.4√2+2 G B.一直不变 (第3题) D.25+10 C.一直变小 4.(2025·镇江期中)如图，在△ABC中，O是 D.一直变大 (第1题) 2.(2024·成都锦江期末)如图，在 边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥ BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交 □ABCD中，AD⊥AC,AD=AC △ABC的外角平分线于点F,连接AE,AF E为射线BA上一点，直线DE与 (1)求证：OE=OF. 直线AC交于点G,CH⊥DE于点H,CH (2)当点O在边AC上运动到什么位置时， 的延长线与直线AB交于点F,连接FG 四边形AECF是矩形？请说明理由， (1)当点E在线段AB上时 ①若∠CDE=30°，CG=2,求□ABCD的 面积. ②求证：DG=CF+FG (2)若HG=HF,FG=√2，求DG的长， (第4题) H E (第2题) 64 第二十一章四边形 类型三与菱形相关的动点问题 类型四与正方形相关的动点问题 5.(2025·泸州泸县期中)如图，在菱形ABCD 7.(2025·成都期中)如图，正方形ABCD的边 中，∠A=60°，AB=4,动点E,F分别在线 长为2，E为对角线AC上一点，且CE=CB, 段AB,BC上，且BE=CF,则EF长的最小 P为线段BE上一动点，且PF⊥CE于点F, 值为 PG⊥BC于点G,则PG+PF的值为() (第5题) (第7题) 6.(2024·商丘期末)如图，在菱形ABCD中， √2 A. 2 B③ 3 C.√3D.√2 ∠ABC=120°，E是边AD的中点，P是边 AB上的一个动点（不与点A重合），连接PE 8.(2024·黄石期末)如图，在正方形 并延长，交CD的延长线于点Q,连接 ABCD中，动点P从点B运动到点 PD,AQ. C(点P不与点B,C重合)，连接 (1)求证：四边形APDQ是平行四边形 DP,作点A关于直线DP的对称点E,连接 (2)①当点P运动到 处时，四 AE分别交DP,DC于点G,H.过点C作 边形APDQ是矩形 CF⊥AE于点F,连接DE, ②当点P运动到何处时，四边形APDQ是 (1)依题意补全图形 菱形？请说明理由. (2)求证：CF=EF, 0 (3)连接FB,FD,用等式表示线段FA,FB, FD之间的数量关系，并证明 P B (第6题) (第8题) 65·解析：如图，取CD的中点 H,连接AH交DG于点L,连接 FH.,四边形ABCD是正方形， AD=2√2，.BA=BC=CD=DA= 2W2,∠B=∠C=∠ADH=90°. ,BG=CG,H为CD的中点， (G=G-BC DH- CH =7 CDCG=DH. .△CDG≌△DAH.∴.∠CDG= ∠DAH.∴.∠ALF=∠DAH+ ∠ADG=∠CDG+∠ADG= ∠ADC=90°.∴.AL⊥DF.由折叠的 性质，得FA=BA=DA,∠AFE= ∠B=90°，FE=BE,∴.AL垂直平分 DF.∴.易得FH=DH=√2 .∠AFD=∠ADF,∠HFD= ∠HDF..∠AFH=∠AFD+ ∠HFD=∠ADF+∠HDF= ∠ADC=90°.∴.∠AFE+∠AFH= 180°.∴E,F,H三点在同一条直线 上.∴.在Rt△ECH中，由勾股定理， 得CE+CH=EH.CE= 2√2-BE,EH=FE+√2=BE+√2， ∴.(22-BE)2+(√2)2=(BE+ 2)2,解得BE=2 3 .:.EG=BG- BE-2-2E② 331 B EG (第8题) 9.(1):四边形ABCD是正方形， .AD=DC=2. 由折叠的性质，可知EF=AD=2, DF=CD=1.HD AD =2. ∠HFD=90 在Rt△HDF中，由勾股定理，得 HF=√HD2-DF=√5. ∴.EH=EF-HF=2-√3. (2)能， :四边形ABCD是正方形， ∴.∠A=90°，AD=AB=2. 由折叠的性质，可知AG=HG, ∠HEG=∠GHD=∠A=90°，AE= 3AB=1 设HG=AG=x,则EG=1一x. 在Rt△EHG中，由勾股定理，得 HG2=EG2+EH,即x2=(1 x)2+(2-√3)2，解得x=4-23. '.HG=4-2√3 ·△HGD的面积为令HG·HD= 4-25」 10.(1)·四边形ABCD是边长为4 的正方形， ∴.∠C=90°，BC=CD=4. 需 .CE=DE=2 由折叠的性质，可知NE=BN 设NE=x,则BN=x. .'CN=BC-BN=4-x. 在Rt△CEN中，由勾股定理，得 NE2=CN+CE2,即x2=(4- x)2+22,解得x=2.5. .NE的长为2.5. (2)在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AE=√AD'+DE=√4+2=2W5. 由(1)，可得NE=2.5, .'.BN=2.5. '.CN=BC-BN=1.5. :S正方彩AD=BC2=16,S△ABN= 2AB·BN=2X4X2.5=5, Sacv=2CN·CE=7X1.5X2 1.5.S=ADDE=X4X 39 2=4, ·.S△ABN=S正方无ACD一S△ABN SN-S△As=16-5-1.5-4=5.5. .NG⊥AE, A5e-合A证NG. :NG=2S4=2X5.5=11v5 AE 2√5 10 (3)如图，连接BM,EM. 由折叠的性质，可知AM=FM,AB= FE,∠BAM=∠EFM, '.△ABM≌△FEM. .BM=EM. 设AM=y,则DM=4-y. 在Rt△ABM中，由勾股定理，得 BM2=AB2+AM,BM2=2+y2. 在Rt△DM中，由勾股定理，得EM DM+DE,即EM=(4-y)2+2. BM=EM, '.BM2=EM2. ∴.4+y2=(4-y)2+2,解得y=0.5. .AM的长为0.5. N (第10题) 专题特训八利用特殊 四边形的性质巧解动态问题 1.C解析：设□ABCD的边BC上 的高为h,∴.SaAD=BC·h. 1 :SaR=2BC·h,.SaR= 之SNn.如图，过点F作FMLBC 于点MS6=号BC·PM '.△CHE的面积与△BFH的面积 之差为(S△CHE十S△BHC)-(S△FH+ 1 S△c)=2SDAn-S△Rc,又：点 F从点B出发向，点A运动时FM的 长逐渐增大，∴.S△那心逐渐增大. '.△CHE的面积与△BFH的面积 之差的变化情况是一直变小. 0 H BM (第1题) 2.(1)①如图①，过点G作GP⊥ CD,垂足为P. :在□ABCD中，AD⊥AC, AD-AC, .△ACD是等腰直角三角形 .∠ADC=∠ACD=45 ,∠CPG=90°， ∴.△GCP是等腰直角三角形 .'CP=PG. CG=2, ∴.易得PG=CP=√2. ∠CDE=30, .DG=2PG=2√2 .DP=√DG2-PG2=√6. ∴.CD=DP+CP=√6+2！ 易得√AC2+AD=√2AD= CD=√2+6， ∴.AC=AD=1+√5. .□ABCD的面积为AC·AD= (1+5)2=4+2√5 ②如图②，延长CF交DA的延长线 于点T. CH⊥DE .∠CHD=90°. .'∠DAG=∠CHG=90°， ∠AGD=∠CGH, ∴.∠GDA=∠GCH. :∠DAG=∠CAT=90°，AD=AC, ∴.△DAG≌△CAT. .DG=CT,AG=AT ·四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC ∴.∠ACB=∠CAD=90 AD=AC, .'AC=BC .'.∠B=∠CAB=45 :∠CAT=90, ∴.∠GAF=∠TAF=45」 AF=AF, .'.△GAF≌△TAF .GF=TE. .DG=CT=CF+TF=CF+FG. (2)当点E在线段AB上时，如图③ 延长CF交DA的延长线于点T. ,HG=HF,FG=2,CH⊥DE, ∴.易得GH=HF=1. AD⊥AC,AD=AC, .'.∠CFG=∠EGF=∠DCA=45°. ∴.∠DCA+∠ACF=∠CFG+ ∠ACF,即∠DCT=∠AGF. 同理1)②，得∠ATC=∠AGF, FG=FT=2,DG=CF+GF= CF+FT. ∴.∠ATC=∠DCT. ∴.△CDT是等腰三角形. ∴.CH=HT=1+√2. ∴.DG=CT=2+22. 当点E在射线BA上时，如图④，设 AD与CF交于点T,连接ET,易得 △ACT≌△ADG. ∴.∠ATC=∠AGE,AT=AG. :∠CAB=180°-∠ADC ∠DAC=45°， .∠GAF=45°. ∴.∠TAF=∠GAF=45. .AF=AF, '.△ATF≌△AGF. .∠AFT=∠AFG. :∠AED=∠GEF,∠DAE= ∠HGF=45, ∴.∠AFG=∠ADE=∠AFT. CD//BF, .∠AFT=∠DCT. ∴.∠ADE=∠DCT. ∴.∠AGE=∠ATC=∠ADC+ ∠DCT=∠ADC+∠ADE= 40 ∠CDG '.△CDG是等腰三角形， .CF⊥DG, ∴.DH=HG=1. .DG=DH+HG=2. 综上所述，DG的长为2+2√2或2. B H G ④ (第2题) 3.D解析：如图，作点F关于BC 的对称，点F',作点E关于CD的对称 点E',连接EF交BC于点G,交CD 于点H,连接EH,FG.∴.FG=F'G EH=EH.∴.四边形EFGH的周 长=EF+FG+GH+HE=EF+ FG+GH+HE≥EF+EF'..当 E,H,G,F′四点共线时，四边形 EFGH的周长有最小值.：AB=4, AF=2,∴.BF=2..∴.BF=2. ∴.AF′=6.AD=6,AE=4, ∴.DE=2..DE=2.AE=8.在 Rt△AE'F中，EF'= √AF2+AE7=√62+82=10.在 Rt△AEF中，EF=√AF2+AE= √22+4=2√5.∴.四边形EFGH 周长的最小值为2√5+10. G (第3题) 4.(1)如图， MN交∠ACB的平分线于点E, 交∠ACG的平分线于点F, .∠ACE=∠BCE,∠ACF= ∠GCF .MN∥BC, ∴.∠OEC=∠BCE,∠OFC= ∠GCF ∴.∠OEC=∠ACE,∠OFC= ∠ACF .EO=CO,FO=CO. .OE=OF」 (2)当点O在边AC上运动到AC的 中点处时，四边形AECF是矩形. 理由：当O为AC的中点时，AO= CO 由(1)可知，EO=F0=CO, ∴.四边形AECF是平行四边形. :OA+OC=OE+OF,即AC= EF, .四边形AECF是矩形 E G (第4题) 5.23解析：如图，连接BD,过点 D作DG⊥AB于点G.,四边形 ABCD是菱形，.'.AB=AD=BC= CD=4,AD∥BC,∠C=∠A=60°. ∴.△ABD,△BCD都是等边三角形 .'.CD=BD,∠ABD=∠CDB=60° ∴.∠DBE=∠C.又BE=CF, .△BDE≌△CDF..DE=DF, ∠BDE=∠CDF.∴.∠BDE+ ∠BDF=∠CDF+∠BDF,即 ∠EDF=∠CDB=60°.，∴.△EDF是 等边三角形..EF=DE.∴.当点E 与点G重合时，DE的长最小，即EF 的长最小，最小值为DG的长 DGLAB.AG=TAD=2. .易得DG=2√5.∴.EF长的最小 值为23 D GE B (第5题) 6.(1)四边形ABCD为菱形， .AB//CQ. ∴.∠QDA=∠PAD,即∠PAE= ∠QDE ,E是边AD的中点， .'AE=DE. 又，∠PEA=∠QED, ∴.△APE≌△DQE. .AP=DQ ∴.四边形APDQ是平行四边形 (2)①AB的中点. ②当点P与点B重合时，四边形 APDQ是菱形 理由：如图， 四边形ABCD是菱形， ∠ABC=120°， ∴.AD=AB,∠DAB=60°. '.△ABD为等边三角形 '.AB=BD,即AP=DP 由(1)，得四边形APDQ是平行四 边形， 41 '.四边形APDQ是菱形 0 E (P) (第6题) 7.D解析：如图，连接CP,BD,BD 交AC于点M.,·四边形ABCD为正 方形，BC=2,∴.BD⊥AC,垂足为 M,且易得BM=MC= nc-. 1 :S△E=2CE·BM,SaR= 2CE,PF,S=7BC·PG, Sae=S6E+SAi合CE· BM=2CE·PF+3BC·PG. BC=CE,∴.BM=PF+PG. .PG+PF=2」 D G (第7题) 8.(1)补全图形如图①所示. (2)如图②，连接AC,CE,设 ∠CDE=a. :四边形ABCD是正方形， .DA=DC,∠ADC=90°. 点A,E关于DP对称， .DA=DE. .DA=DC=DE. ·∠DBC=∠CD=2(18O Q)=90-2a,∠DAE=∠DEA= 1 1 180°-90-a)=45°-2a. ∴.∠CEF=∠DEC-∠DEA= 90-7a-(45°-2)=45 CF⊥AE, ∴.∠CFE=90. .∠FCE=∠CEF=45°. .FC=FE. (3)FB+FD=√2FA. 如图③，过点A作AM⊥FD交FD 的延长线于点M,AN⊥BF于点N, 过点B作BJ⊥AE于点J,BK⊥FC 交FC的延长线于点K. .DC=DE,DF=DF,FC=FE, .△DFC≌△DFE. ÷∠DrC=∠DFE=2X(360 90°)=135. ..∠DFG=180°-∠DFE=45 ·∠BJF=∠JFK=∠K=90°， '.∠JBK=∠ABC=90° .易得∠ABJ=∠CBK. .·BA=BC,∠BJA=∠K=90, ..△BJA≌△BKC. .BJ=BK. BJ⊥FA,BK⊥FK, ∴.∠BFJ=∠BFK=45. ∴.∠AFM=∠AFN=45. ∠M=∠ANF=90°，FA=FA, ∴.△FAM≌△FAN. ∴.AM=AN. AD=AB,∠M=∠ANB=90° ,'.Rt△AMD≌Rt△ANB. .'DM=BN. .∠M=∠MFN=∠ANF=90°， ∴.四边形AMFN是矩形 .AM-AN, .四边形AMFN是正方形 ∴.FM=FN,且易得AF=√2FM. ∴.FB+FD=FN+BN+FM DM=2FM=√2AF. D G H F E B P ① G H F ② K (第8题) 专题特训九 四边形的综合探究 1.(1)如图，连接AC,BD. 在梯形ABCD中，AD∥BC, ∠ABC=∠BCD, '.易得梯形ABCD是等腰梯形 .AB=CD. 在△ABC和△DCB中， AB=DC, ∠ABC=∠DCB, UBC=CB ∴.△ABC≌△DCB. ∴.AC=DB. E,F分别是AB,BC的中点， ∴.EF是△BAC的中位线 1 :.EF=AC. 1 同理，可得FG=2BD,GH zAC.EH-7BD. .∴.EF=FG=GH=EH ∴.四边形EFGH是菱形 (2)如图，取AC的中点M,连接 EM,GM E,G分别是AB,CD的中点， '.EM是△ABC的中位线，GM是 △ADC的中位线， .∴.EM∥BC,EM= BC.GM//AD. 42 GM-TAD. .·AD∥BC, ∴.GMBC. .E,M,G三点在同一条直线上 EG GM EM =(AD+ BC)=×(3+5)=4 :EF⊥FG, .∠EFG=90°. 由(1)，知四边形EFGH是菱形， .四边形EFGH是正方形. ∴.EF=FG,EF2+FG=EG2. :EG2=42=16, .EF2=8. ∴.四边形EFGH的面积=EF2=8. H A D B F (第1题) 一方法归纳 中点四边形 依次连接四边形各边中点得 到的四边形为中点四边形，任意四 边形的中点四边形都是平行四边 形.中点四边形的形状只与原四边 形的对角线有关.当原四边形的对 角线相等时，这个中点四边形是菱 形；当原四边形的对角线垂直时， 这个中，点四边形是矩形：当原四边 形的对角线既垂直又相等时，这个 中点四边形是正方形. 2.B 3.2.4s或4s或7.2s解析：易知当 点P到达点D时，点Q的运动路线 为C→B→C→B→C.四边形 ABCD是矩形，'.AD∥BC,∠D= 90°..PDCQ.若PD=CQ,则四边 形PDCQ是矩形.设运动时间为ts. 由题意，得AP=tcm,则PD=(12 t)cm.当0≤t≤3时，CQ=4tcm,