第十九章 二次根式 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级下 第十九章整合拔尖 “答案与解析”见P6 知识体系构建 二次根式的概念形如√a(a≥0)的式子 二次根式 次根式概念的理解 a≥0(a≥0) 二次根式的性质 (a)=a(a≥0) a(a≥0)， a -lal= -a(a<0) 二次根式的 二次根式的乘法 乘法法则。a·万=ad(a≥0，b≥0) 二次根式 运算 乘法法则的逆用。ad=a·万(a≥0，b≥0) 二次根式的除法 除法法则 会-层a≥0，b6>0 除法法则的逆用 (a≥0，b>0) 先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数 二次根式的加减法相同的二次根式合并 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的 二次根式的混合运算 先算括号里面的 被开方数不含分母 最简二次根式 被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式 ⑧]高频考点突破 考点一二次根式有意义的条件 考点二二次根式的性质 典例1如果|2025一m|+√m-2026=m,那 典例2实数a,b在数轴上对应点的位置如图 么m-20252= 所示 [变式]若实数x,y满足y=√x一1十√I一x十 (1)化简：√a= ;√(1-b)2= 2,求Vx十1 v-1 的值 (2)化简：W(a+1)2+√b-√(a+b)2. -2-1012 (典例2图) 18 第十九章二次根式 [变式]若实数x满足x一3十√x+8x+16= (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形， 7,化简：2|x+4-√(2x-6). 能否使剪出的长方形的长、宽之比为4：3，且面 积为360cm? 考点三二次根式的运算 典例3已知x,y为正数，且√x(√x十√y) 考点四最简二次根式 3W+55),求2红+@+3y的值 x+√xy-y 典例4(2024·六安金安期末)若√/3一4是最 简二次根式，且m为整数，求m的最小值. 变式](2024·南通崇川段考)如图，用两个边 [变式](2024·南通崇川期末)若√2m+w和 长为10√2cm的小正方形拼成一个大正方形 √3mm+7都是最简二次根式，则m= (1)大正方形的边长是 综合素能提升 1.(2024·南京雨花二模)下列计算中，结果错 B.体积为π 误的是 ( C.侧面积为2√3π A.√2+√3=√5 B.5√3-23=3√3 D.侧面展开图的周长为2十8√3元 C.√6÷2=√3 D.（-√2)2=2 3.若x=2+√2026，则代数式x2一4x+4的 2.(2024·潍坊)圆柱的底面圆半径为√3，高为 值为 () 1,关于该圆柱的结论正确的是 A.-2024 B.2024 A.底面积为√3π C.-2026 D.2026 19 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 4.如图，点P,Q在数轴上对应的数分别为p, 一个字母X,就得到一个六位密码“169X13”. q,则下列说法中，正确的是 按照这种生成密码的方法，利用二次根式 P -4-3-2-101234 √121生成的六位密码是 (第4题) 9.计算： A.点P向右平移3个单位长度与点Q重合 (1)√18÷(3√2×22). B.|p+1|<q C.力十q的相反数的整数部分是2 D.√pq=pg 5.填空：3-2√2 5一2√6（填“>”“<” 或“=”). 6.若最简二次根式√2026-2025m与 √/2025-2026m能够合并为一项 (2a·()÷3 则m的值为 7.阅读题目：计算3×√6 小明同学是这样计算的：√3×√6=√3×6 √3X3X2=√X√2=3√2； 小刚同学是这样计算的：√×√6=√× √3X2=5X3X2=3√2. (3)(2025·潮州饶平期中)（√3一√2）2+ 请完成填空： (5+3)(√5-3). (1)关于两位同学的做法，下列说法中，正确 的是 A.小明同学正确 B.小刚同学正确 C.小明同学和小刚同学都正确 D.小明同学和小刚同学都不正确 (2)小明同学在计算时运用了公式： (4)(2025·宝鸡凤翔期末)(3+√5)(3一 ①√a×√b= (a≥0，b≥0). √5)-(W5-1)2. ②√a2= (a≥0). 小刚同学在计算时运用了公式： ③√ab= (a≥0，b≥0). ④(Wa)2= (a≥0). 8.使用手机软件付款时，常常需要用 到密码.嘉淇学完二次根式后，决定 10.自习课上，小玉看见同桌小敏在练习本上抄 用“二次根式法”来生成密码.例如 对于二次根式√169，计算结果为13，中间加 写的题目是：“求二次根式 中实数a a-3 20 第十九章二次根式 的取值范围.”她告诉小敏：“你把题目抄错 (3)已知√15+x2一√26-x2=1,求 了，不是 是a二3”小敏说：“哎 ，而是 √15+x2+√26-x的值. a-3 呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和 a一3都在根号内.”试问：小敏说得对吗？ 12.新考法·探究题(2025·惠州惠阳期中)阅读 材料： 小明在学习二次根式后发现一些含根号的 式子能写成另一个式子的平方，如3十2√2= 11.(2024·聊城期末)阅读下列材料，然后回答 问题. (1十√2)，善于思考的小明进行了以下 ①进行二次根式的化简与运算时，我们有 探索： 时会碰上形如 2的式子，可以将其进一 设a十b√2=(m+n√2)2（其中a,b,m,n 3+1 均为整数)，则a十b√2=m2十2n+2m√2， 步化简： .a=m+2m2,b=2mm.这样小明就找到 2 2(3-1) 2(W3-1) 了一种把部分a十b√2的式子化为平方式的 5+1(3+1)(3-1) (5)2-1 方法 2W5-1业=3-1，以上这种化简的步骤叫 请你仿照小明的方法进行探索，并解决下列 2 问题： 作分母有理化， (1)当a,b,m,n均为正整数时，若a十 ②学习数学，最重要的是学习数学思想，有 b√3=(m+n√3)2，用含m,n的式子分别 一种数学思想叫作换元，它可以简化我们的 表示a,b,则a= ,b= 计算 (2)试着把7+4√3化成一个完全平方式. (1)计算：5+1后+W3 1 (3)若a是216的立方根，b是16的平方 1 根，试计算Wa十b√2 √2025+√2023 (2)已知m是正整数，a= √m+1-√m √m+1+√m b=√m+I+m a+b+2ab=800,求m m+1-√m 的值 2∴.x2-2y-8=0,y-4=0. .x=±4，y=4 ∴.当x=4,y=4时，x十y=4十 4=8: 当x=-4,y=4时，x+y=(-4)+ 4=0. .x十y的值是8或0. 9.A解析：依题意，得 [y-x≥0， x一之≥0， 解得x=0. x3(y-x)3≥0， x3(2-x)3≥0， √x3(y-x)下+√x3(-x)下 √y-x-√x-之，列-√一之 0.y=-之.∴.把x=0,y=-之代 人x3十y3+x3-3.xyz,得0+ (-2)3+23-0=0. 10.√2解析：a=√3+√5，b √3-5，∴.a2=(√3+5)2=3+ √5，b2=(√3-5)2=3-√5，ab= √3+5.√3-√5= √(3+5)(3-√5)=√4=2. :(a-b)2=a2+b2-2ab=3+√5十 3-5-2×2=3+3-4+5-√5 2,.a-b=±√2.3+W5>3 √5，.√3+5>√3-5..a>b. ∴.a-b>0.∴.a-b=√2. 5 ，解析：由题意，可知 x>0.,√E+ =2,.等式两边 √/x 同时平方，得x十马 =2.∴.原式 1 1 5 5 征 11· 12.(1)方程可化为√8一x= 2√30-26.x. 移项、合并同类项，得V6x=2√30 √18. 系数化为1，得x=25-5. (2)由题意，得x十y=4W3,xy= (2W5-2)(25+2)=8. .z2-zy+y2=(x+y)-3xy= (4√5)2-3×8=48-24=24. 13.原式=5√/2z-√2x+2√2x= 6√2z, 当x=4时，原式=6×√2X4= 12√2 14.+2+√4x+ x+2-√4x+x (x+2+√4x+x)(x十2+√4x+x) (x+2-√/4x+x2)(x+2+W/4x+x2) (x+2)2+2(x十2)√4x+x+4x+x2 (x+2)-(4x+x2) x2+4x+4+2(x+2)√/4r+x2+4r+x2 x2+4x+4-4x一x1 2x2+8.x+4+2(x+2)W√4x+x 4 x2+4x+2+(x+2)√4x+x 2 a x=1-2+a ·x+2=1 a +a. .x2+4.x+2=(x+2)2-2=a2+ 0+4=(x+2)2-4=42+ 1 2 1 √E≥0， 1 -a0,即2≥a. 原式 +2+(日+W+-2 2 2 6 ++(+a 2 a2+ +-2 2 ++ a 1 2 第十九章整合拔尖 [高频考点突破] 典例12026解析：：2025 m|+√m-2026=m,∴.m 2026≥0，解得m≥2026.∴.m 2025+ Jm-2026 m. .√m-2026=2025.∴.m 2026=20252..m-20252=2026. 「变式1由题意，得x一1≥0且1 x≥0， .x≥1且x≤1. ∴.x=1. .y=2. :平-. y-1 典例2(1)-a;1-b. (2)由题图，可知-2<a<-1,0< b<1, ∴.a+1<0,a+b<0. ∴.√(a+1)+-√a+b= |a+1|+1b|-|a+b|=-a-1+ b+a+b=2b-1. [变式]x-3+ √x2+8x+16=7, .x-3+x+4=7. .易得-4≤x≤3. .2|x+4|-√(2x-6)2=2(x+ 4)-|2.x-6|=2(x+4)-(6-2x)= 4x+2. 典例3√元(x+√)=3· (E+5), .x-2Wxy-15y=0. ∴.(x+3)(√E-5√)=0. x,y为正数， .元+3>0. .元-5=0. .√E=5√y,即x=25y. :.2++3y-50y+5y+3y」 x+√xy-y 25y+5y-y 8y=2. 29y [变式](1)20cm. (2)长方形的长、宽之比为4：3， .设长方形的长为4xcm,宽为3xcm ∴.4x·3.x=360,解得x2=30. x>0, .x=√30 .4x=4√30,3x=3√30 ,大正方形的边长为20cm,202= 400,(4√30)2=480,400<480， ∴.204√30 .沿此大正方形边的方向剪出一个 长方形，不能使剪出的长方形的长、宽 之比为4：3，且面积为360cm2. 典例4由题意，得3m-4≥0，解得 m为整数， .当m=2时，√3m-4=√2，此时 √3m一4是最简二次根式. .m的最小值为2. [变式]12解析：：√2m+"可和 √3m+z都是最简二次根式， (m+n-2=1, 解得m=1,n=2. 3m-2+2=1, [综合素能提升] 1.A2.C3.D4.C5.> 6.-1解析：由题意，得2026 2025m=-2025-2026m,解得m=一1. 7.(1)C(2)①√ab②a ③√aXb④a 8.121X11 9.(1)原式=√8÷（√18×√8）= 8÷44=√44 18_32_2 =1241 (2)原式=-2· 3 b 2 1. 1 -方·u2b√而=-a2b庙. (3)原式=3-2√6+2+5-9=1- 2√6. (4)原式=9-5一4+2√5=25. 10.小敏说得不对. a a≥0， 按入a一3 计算，则 或 a-3>0 a0, 解得a>3或a≤0. a-30, 而按 计算，则a≥0，a-3>0, va-3 解得a>3. 小敏说得不对. 1.(①原式-5-1+5- 2 2 …十 √2025-√2023_√/202_1 2 451 2-2=22. (2).a= √m+I-√m √m+1+√/m (√m+Π-√m)2 (√m+I+√m)(m+I-√m) 2m+1-2√m2+m, 6=m+I+m】 √m+I-√m (√m+I+√m)2 (√m+1-√m)(√m+1+m) 2m+1+2√m2+m, .a+b=4m+2,ab=1. ,a+b+2ab=800, ∴.4m十2+2×1=800，解得m= 199. (3):√15+x2-√26-x=1, ∴.(V15+x2-W26-x7)2=1. .15+x2-2√(15+x2)(26-x2)+ 7 26-x2=1. .√(15+x2)(26-x)=20. 设√/15+x2+√26-x=t(t>0), ∴.t2=(√15+x2+√26-x2)2= 15+x2+2√(15+x)(26-x2)+ 26-x2=41+2×20=81. ∴.t=9或t=-9(不合题意，舍去)， 即√15+x+√26-x的值为9. 12.(1)m2+3n2:2m. (2)设7+4√3=(m+n3)2 m2+3n2=7, 由(1)，得 2mm=4. ,m,7n均为整数， m=2,.m=-2, .易得 或 n=1n=-1. ∴.7+4√3=(2+3)2或7+4√3= (-2-√3)2. (3),a是216的立方根，b是16的 平方根， ∴.a=6,b=±4. ∴.当a=6,b=4时，√a+b2= √6+4W2=2+2: 当a=6,b=-4时，√a+b2= √6-42=2-√2， 第二十章 勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其验证 1.C2.B3.5或4 4.(1),直角三角形较短的直角边 长为2×2a=u,较长的直角边长为 2a+3, .大正方形的边长为 √a2+(2a+3)2=√5a+12a+9. (2)由(1)，易知大正方形的面积为 5a2+12a+9. ∴.当a=3时，该大正方形的面积是