19 数学活动(1) 纸张规格的奥秘&大单元整合与素养提升-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

数学活动（一） 活动一：书籍和纸张的长与宽都有固定的规格， 表1和表2给出了两种常用纸张的规格（单位： mmXmm): A型 宽×长 B型 宽X长 A5 148×210 B5 182×257 A4 210×297 B4 257×364 A3 297×420 B3 364×515 A2 420×594 B2 515×728 Al 594×841 B1 728×1030 表1 表2 任务1：使用计算器求出各规格纸张长与宽的比 值，你有什么发现？各规格纸张的长与宽的比 有什么关系？ 任务2：测量2023版初中八年级下册语文、数 学、英语、生物课本的长与宽，看一看它们的长 与宽的比是否也有类似的关系？ 纸张规格的奥秘 活动二：动手操作、推理论证 如图，长方形纸片ABCD的长与宽的比值是√2 任务3：若E,F分别是长边AD,BC的中点，将 纸片ABCD沿直线EF对折得到的长方形 ABFE是否仍为长与宽的比值为√2的长方形？ 为什么？ 任务4：按照下图的方式折叠长方形纸片ABCD, 长方形GHID是否仍为长与宽的比值为√2的 长方形？为什么？ 助学助教优质高效16 第十九章大单元 01典例导航 【例1】下列式子：①√5；②√a;③√-2； /1 ④1-x⑤V2+I:⑥，2：⑦√x-1). (1)其中一定是二次根式的是 （填 序号)； (2)若④是二次根式，则x的取值范围是 (3)其中是最简二次根式的是 (填序 号) (4)若√(x一1)2=1一x,则x应满足的条件是 【例2】计算： 1312+6得-3s: (2)√75÷√3-（√0.5×√12-√/24）； (3)(5+√2)2+（√13-4）×(4+√13)+ √18-√32 √2 02考点过关 考点一二次根式的概念及性质 1.若√1一2x是二次根式，则x的值不可能是 A.-2 B.-1 C.0 D.1 17八年级数学·下册 整合与素养提升 2.【数形结合思想】已知实数a在数轴上的对应 点的位置如图所示，则化简a一2+ √(a一4)的结果为 () 2 4 A.2 B.-2 C.2a-6 D.-2a+6 3.【新中考·条件开放】已知n为自然数，且 √18一n的值是大于0小于4的整数，则n的 值可能是 .(写出一个即 可) 4.若实数y满足y=-4+V4-2+, 则xy= 5.若(a+6)2+√b-2b-3=0,则2b2-4b-a 的值为 考点二二次根式的运算 6.下列计算中，正确的是 () A.5√7-2√7=21 B.2十√2=2√2 C.3X6=3√2 D.√/15÷√5=3 7.若最简二次根式3√2m十5与5√4m-3可以 合并，则相加后的结果为 8.计算： a(-4V)-(3，-4.5)： 2v2×√g+as÷(2-3) 9.【整体思想】已知x=2一√5，y=2十√5，求下 列各式的值： (1)x2y-xy2; (2)x2+xy+y2. 考点三二次根式的应用 10.(教材P21复习题T8变式)电流通过导线 时会产生热量.电流I(单位：A)、导线电阻R (单位：)、通电时间t(单位：s)与产生的热量 Q(单位：J)满足Q=PR.已知导线的电阻为 62,1s时间导线产生30J的热量，则电流I 为 A(结果用二次根式表示). 11.【新中考·跨物理学科】某高速公路规定汽 车的行驶速度不得超过100km/h,当发生 交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮 滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经 验公式是v=16√df,其中v表示车速（单 位：km/h),d表示刹车后车轮滑过的距离 (单位：m),f表示摩擦系数.在一次交通事 故中，经测量d=32m,f=2,请你判断一下 肇事汽车当时是否超速了. 12.有一块矩形木板，木工沿如图所示的虚线 在木板上截出两个面积分别为18dm和 32dm的正方形木板 (1)求原矩形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木料中截出长为 1.5dm,宽为1dm的长方形木条，问最 多能截出多少块这样的木条？ 32dm2 18 dm" 03素养提升 13.先来看一个有趣的现象： 这里根号里的数2经过适当的演变，竞“跑” 到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为 “穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如： (1)请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证 (2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含有 上述规律的等式吗？证明你找到的规律. 助学助教优质高效18数学活动（一）纸张规格的奥秘 任务1：解： 长：宽 长：宽 A型 (精确到0.001) B型 (精确到0.001) A5 1.419 B5 1.412 A4 1.414 B4 1.416 A3 1.414 B3 1.415 A2 1.414 B2 1.414 Al 1.416 Bl 1.415 发现的规律：这些比值都接近1.414，而√2≈1.414，所以各种规格纸张的长与宽的比 约等于√2，即长：宽≈√2. 任务2：解：2023版初中八年级下册语文、数学、英语、生 物课本尺寸如下表： 类别 语文 数学 英语 生物 尺寸(mm) 184×260184×260 184×260 184×260 长：宽 1.413 1.413 1.413 1.413 发现的规律：2023版初中八年级下册语文、数学、英语、生物课本的长与宽的比也约 等于√2.任务3：解：长方形ABFE仍为长与宽的比值为√2的长方形.理由如下：设 AB=a则BC=2a.:E,F分别是边AD,BC的中点BF=号BC= 2a.长方 形ABFE的长与宽的比为A=”=2.任务4：解：长方形GHID仍为长与宽的 BE v② 2a 比值为√W2的长方形，理由如下：设AB=a,则AD=√2a.由折叠可知AB=AG=a,则 DG=AD-AG=√2a-a=HI,由折叠可知CI=HI=√2a-a,∴.DI=DC-CI=a (2a-a)=2a2a.0《②a。,a/2-DV2.…长方形GHID仍为长 与宽的比值为√2的长方形. 第十九章大单元整合与素养提升 典例导航 【例1】(1)①⑤⑥⑦(2)x1(3)①⑤(4)x1【例2】(1)解：原式=6√3+2√3 -123=一4√3；(2)解：原式=√25一（√6-2√6）=5+√6；(3)解：原式=3+2 +2W6+(/13)2-4+√9-/16=1+26， 考点过关 1.D2.A3.14(答案不唯一)4.25.126.C7.8138.(1)解：原式=23 -2-5+22=5+2；(2)解：原式=入√24×号+√8÷(25-5)=√36+ √48÷√3=10.9.解：x十y=2-√5+2十√5=4，x-y=2-√5-(2+√5)=-2√5， x·y=(2+5)(2-5)=-1,,(1)xy-xy=xy(x-y)=-1×(-25)=2V5; (2)x2+xy+y2=(x+y)2-xy=4-(-1)=16+1=17.10.√511.解：肇事汽 车当时超速了.理由如下：把d=32,f=2代入v=16df,v=16√32×2 128(km/h),,128>100,∴.肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.12.解：(1) 两个正方形的面积分别为18dm和32dm,.这两个正方形的边长分别为√18 3√2dm和√32=4√2dm.∴.原矩形木板的长为3√2+4v2=7√2(dm),宽为4√2 dm.∴.原矩形木板的面积为7√2×4√2=56(dm2).答：原矩形木板的面积为56dm2 (2)由题意可知，剩余的木料长为3√2dm,宽为4√2-3√2=√2(dm),,4<3√2<4. 5,1<√2<1.5，.从剩余的木料中截出长为1.5dm,宽为1dm的长方形木条，最多 能截出2块这样的木条.答：最多能截出2块这样的木条.13.解：(1)（答案不唯一） -5 5 /125 /5 V524·验证√54=V2-V24 n 尽X55√2；2②规律：N u为正整数≥2).证明：V十n”√ (n2-1)+n /n3 n n2-1 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理 知识储备 AC+BC=AB 基础练综合练素养练 1.C2.49之×2X313 AC BC AB3.证明：大正方形的面积可以表 示为(a+b)或2+4×2ab=2+2ab,.(a+b)2=2+2a6,即a2+6+2ab=2+ 16