第二十章 专题特训三、四 利用勾股定理解决折叠问题 利用勾股定理求最短路径-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

7.(1)△ABC是直角三角形 AC =160 m,BC =120 m,AB= 200m,1602+120=40000=2002, .AC2+BC2=AB2. .△ABC是直角三角形， ∠ACB=90°. (2)甲方案所修的水渠较短 :△ABC是直角三角形，CH⊥AB, ·△ABC的面积=2AB·CH= AC·C :.CH AC.BC 160X120 AB 200 96(m). .·AC+BC=160+120=280(m), CH+AH+BH=CH+AB=96+ 200=296(m),280296, .AC+BC<CH+AH+BH. .甲方案所修的水渠较短 8.(1)BC=m-n(m>n>0), AC=2√m,AB=m+n, ∴.BC2+AC2=(m-n)2+4m= m2+n2-21+42=m2+n2+ 2m=(m十n)2=AB2. ∴.△ABC是直角三角形，且∠C= 90° (2),△ABC是直角三角形，∠C= 90°，∠A=30°， …器 ∴.m=3n. 9.(1)锐角 (2)13或√119.解析：一个三角 形的三边长分别是5,12，x,且这个三 角形是直角三角形，∴.x2=52+12 或122=52+x2..x=13或x= √19（负值已舍去）..x的值为13 或√19. (3)这个三角形是直角三角形 理由：·(m2一n2)2十(2m)2=m4 2m2n2+n+4m2n2=m+2m2n2+ n4=(m2+n2)2, .这个三角形是直角三角形 专题特训三利用勾股 定理解决折叠问题 1.6 2.(1)A(0,9). (2)DA⊥y轴，DC⊥x轴， ∠AOC=90°，点D的坐标为(15,9)， .AD =OC =15,0A=CD=9, ∠OCD=90. :将△AED沿直线DE折叠，点A 落在OC上的点F处， ∴.AE=EF,DF=AD=15. ∴.CF=√DF2-CD= √15-9=12. .OF=OC-CF=15-12=3. 设AE=x,则EF=x,OE=9-x. 在Rt△OEF中，由勾股定理，得 OE2+OF2=EF2,即(9一x)2+32= x2,解得x=5. .AE=5. 3.C解析：·将此长方形折叠，使 点D与点B重合，∴BE=ED AD=AE DE AE+BE, .BE=AD-AE.在Rt△ABE中， 根据勾股定理，可知AB2十AE2= BE2.AE=x cm.AD=9 cm, .BE=(9-x)cm.又，AB=3cm, .3十x2=(9-x)2,解得x=4. .AE=4cm.∴.△ABE的面积为 X3X4=6(cm2). 1 4.10解析：由题意，得AD'=AD= BC=4.易证△AFD'≌△CFB, .DF=BF.设D'F=x,则BF= x.∴.AF=8-x.在Rt△AFD中，由 勾股定理，得AF2=D'F2+AD2, .(8-x)2=x2+4,解得x=3. ∴.AF=8-3=5..S△AC= 号AF:c-2×5X4=10 12 5.如图，连接GD 由题意可知，DF=DC=DA, ∠DFE=∠C=90°， ∴.∠DFG=∠A=90° 又DG=DG, ,∴.Rt△ADG≌Rt△FDG. ∴.AG=FG .·BC=12,BE=EC, ∴.BE=EC=EF=6. 设AG=FG=x,则EG=x+6,BG= 12-x. 在Rt△GBE中，由勾股定理，得 EG2=BE2+BG2, '.(x+6)2=6+(12一x)2,解得 x=4. '.AG=GF=4,BG=8,EG=10. ∴.△BEG的周长为BE+EG+ GB=6+10+8=24. D (第5题) 专题特训四利用勾股 定理求最短路径 1.C 2.C解析：如图，将圆柱的侧面沿点 A所在的竖直直线展开，连接AP,即 最短路程是AP的长.，'圆柱的底面 圆周长是16πcm,∴.易得AB= 8xcm.:BC=12xcm,P为BC的中 点BP-之BC=6rem由题意， 得∠ABP=90,∴.在Rt△ABP中， 由勾股定理，得AP=√AB+BP= √(8π)2+(6π)2=10x(cm). B (第2题) 方法归纳 解决几何体表面上两点之间的 最短路程问题的方法 首先将几何体表面展开，即将 立体几何问题转化为平面几何 问题，然后根据两点之间线段最 短确定路线，最后利用勾股定理 进行计算。 3.(1)如图①所示为圆柱形玻璃容 器的侧面展开图，连接SF,则线段 SF就是蜘蛛走的最短路线. 过点S作SN⊥CD于点N. .'∠SNF=90°，FN=18-1×2= 16(cm),SN=2×60=30(cm), ∴.SF=√SN+FNz= √302+162=34(cm). ∴.蜘蛛所经过的最短路线的长为 34cm. (2)如图②所示为长方体的部分侧面 展开图，设昆虫甲从顶点C,处沿棱 C,C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从 顶点A处按路径A→E→F爬行. 设昆虫乙捕捉到昆虫甲需要xs 昆虫甲、昆虫乙的爬行速度都 是1cm/s, .'AF=z cm,C F=x cm. 由题意，易得AC=12cm,AA1= CC1=14cm,∠C=90°， ∴.C℉=CC,-C,F=(14-x)cm. ..在Rt△ACF中，AF2=AC2+ CF2,即x2=122+(14-x)2,解得 85 x一7 85 ·昆虫乙至少需要气s才能捕捉到 昆虫甲 B dN ① A.B. E ----F A B C ② (第3题) 4.3√5解析：如图，将正方体的正面 和上面展开在同一平面内，连接AB 在Rt△ABC中，AC=3,BC=6, ∴.AB=√AC2+BC=√3+6= 3√5.∴.它从点A爬到点B的最短路 程是35. B (第4题) 5.根据题意，分三种情况讨论： ①如图①，将长方体的正面与右面展 开在同一平面内，则BC=4,AC=2+ 1=3. ∴.AB2=AC2+CB2=32+42=25. .AB=5. ②如图②，将长方体的正面与上面展 开在同一平面内，则AC=2,BC=1+ 4=5. .∴.AB2=AC2+BC2=22+52=29」 .AB=√29 ③如图③，将长方体的左面与上面展 开在同一平面内，则AC=1,BC=2十 4=6. .AB2=AC2+BC2=12+62=37. AB=√37 5<√29<√37， ∴.最短路程为5. ① 13 ③ (第5题) 6.130 7.4√34解析：如图所示为U型池 中半个圆柱的侧面展开图，连接AE, 则线段AE的长即为滑行的最短路线 长.“横截面图中半园的半径为 元m, :AD=2m×号×号=12(m. π :CD=24m,点E在CD上，CE=4m, ∴.DE=CD-CE=24-4=20(m). 在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AE=√AD2+DE2=√122+202= 4√34(m),即他滑行的最短路线长为 4√34m. B E A (第7题) 8.如图①，将三棱柱ABC-A,B,C1 的侧面BB,C,C和侧面CC1A,A沿 CC,展开在同一平面内，连接MB1. M为AC的中点，△ABC和 △A1B1C1为等边三角形， &CM=7AC=2×25=E. ∴.BM=CM+BC=33. 在Rt△MBB,中，由勾股定理，得 B,M=√BM+B1B2=√3T. 如图②，把底面ABC和侧面 BB1A1A沿AB展开在同一平面内， 连接MB1,过点M作MF⊥A,B,于 点F,交AB于点E,则易得ME⊥ AB,EF=AA,AE=A F. :△ABC是等边三角形， ,.在Rt△AME中，∠MAE=60 :易得ME-号AE-停 ∴.MF=ME+EF=ME+AA,= 7 2BF=A B,-A F=A B,- AE-3⑤ 21 在Rt△MFB,中，由勾股定理，得 B1M=√MF2+B1F2=√I9 如图③，把底面A,B,C1和侧面 AA,C,C沿A,C,展开在同一平面 内，连接B1M,交A,C于点N,则易 得B,M⊥AC,B,N⊥A,C1,MN= AA,=2 △A1B1C1是等边三角形， ∴.在Rt△ANB,中，∠NAB1=60. ∴.易得NB1=3. .'B M=NB+MN=5. .√19<5</31， ∴.这只小虫爬行的最短路程为√9. B C ① M A F B ② (第8题) 第二十章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A解析：如图，延长BA至 点F,使AF=BC,连接DF,过点D 作DH⊥BF,垂足为H.在四边形 ABCD中，∠AC=120°，∠CBA= 60°，∴.∠BAD+∠C=180° :∠BAD+∠DAF=180,∴.∠DAF ∠C.又，AD=CD,AF=CB, ∴.△DAF≌△DCB..DF=DB ∠ADF=∠CDB.∴.△DBF为等腰 三角形，∠FDB=∠ADC. ∠ADC=120°，BC=2, .∠FDB=120°，AF=2. ∴.∠DBF=30.AB=5,∴.BF= AB+AF=7..易得BH=2BF= .在R△BDH中，∠DBH=30 ·HD=合BD.·HD+B BD,即(2BD)'+(3) =BD2, 解得BD= (负值已舍去). 3 D (典例1图) [变式]小球滚动的速度与机器 人行走的速度相等，运动时间相等， ..BC=CA. 设AC=BC=xm,则OC=(9 )m. 在Rt△BOC中，由勾股定理，得 OB2+OC2=BC2. .32+(9-x)2=x2,解得x=5. ∴.机器人行走的路程BC是5m. 典例2(1)如图①，△ABC即为 所求 (2)如图②，△DEF即为所求. A B ① 14 E ② (典例2图) [变式](1)13.解析：由勾股定理 可得，这个直角三角形的斜边长为 √52+122=13. (2)AD⊥BC, ∴.∠ADC=90° 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 AD2+CD2=AC2」 AC=10,CD=6, .AD=8. AD=BD, .BD=8. (3)-√5. 如图，点B即为所求 Bi A: -3-2-10 典例3A [变式]如图，过点A作AH⊥x轴 于点H,AP⊥y轴于点P. 由题意，易得OA2=22十12=5， AB2=22+(5-1)2=20,OB2= 52=25. ∴.OB2=AB2+OA2 ∴.△OAB是直角三角形 B Ph---2A H [综合素能提升] 1.B2.B 3.C解析：：∠ABC=90°，∠A= 30°，.∠ACB=60°.BE⊥CD, CD平分∠ACB,∴.∠COB= ∠COE=90°，∠BCO=∠ECO=30°.拔尖特训·数学（人教版）八年级下 专题特训三 利用勾股定理解决折叠问题，“答案与解析见P12 类型一求线段长 类型二 求图形的面积 1.(2024·长沙岳麓期末)如图，将长方形3.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm,AD= ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在 9cm,将此长方形折叠，使点D与点B重合， 边BC上的点F处，已知CE=3,AB=8,则 折痕为EF,则△ABE的面积为 BF= B (第3题) (第1题) A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2 2.如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为 4.(2025·北京朝阳期中)如图，在长方形 (15,9),过点D作DA⊥y轴，DC⊥x轴，垂 ABCD中，AB=8,BC=4,将长方形沿AC 足分别为A,C.E为y轴上一点，将△AED 折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC 沿直线DE折叠，点A落在OC上的点F处， 的面积为 (1)直接写出点A的坐标. D (2)求CF,AE的长. D' (第4题) 类型三求图形的周长 C (第2题) 5.如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边 BC上，且BE=EC.将正方形的边CD沿 DE折叠到DF,延长EF交AB于点G,求 △BEG的周长. (第5题) 30 第二十章勾股定理 专题特训四 利用勾股定理求最短路径，“答案与解析”见12 类型一与平面内的点有关的最短路径 (2)如图④，长方体的棱长AB=BC=6cm, 1.(2024·青岛期中)如图所示为A AA,=14cm.假设昆虫甲从盒内顶点C1处 由边长为1m的方砖辅设的地 开始以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱 B 板示意图.若小球在地板上从 C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A处 点A滚动到点B,则小球滚动 (第1题) 以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么 的最短路程是 ( 昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆 A.2m B.4m C.25 m D.5m 虫甲？ 类型二与圆柱有关的最短路径 2.*如图，圆柱的高BC=12xcm,其 底面圆周长是16πcm,P为BC的 中点，一只蚂蚁从点A处沿圆柱的 ① ② 外壁爬到点P处，则蚂蚁爬行的最 A B D无盖 短路程是 )(第2题) A.12xcm B.11πcm C.10πcm D.9πcm 3.【阅读材料】如图①，圆柱的高为12cm,底面 圆的周长为18cm.在圆柱下底面的点A处 (第3题) 有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的 点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短 路线的长是多少？ 【方法探究】对于立体图形中求最短路程的 问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定 A,B两点的位置，依据“两点之间线段最 短”，结合勾股定理，解决相应的问题.在圆柱 的侧面展开图中，点A,B对应的位置如图② 所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最 短路线（线段AB)的长 【方法应用】(1)如图③，圆柱形玻璃容器的 高为18cm,底面周长为60cm,在外侧距下 底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆 柱形玻璃容器的上口外侧距开口处1cm的 点F处有一苍蝇.试求急于捕获苍蝇充饥的 蜘蛛所经过的最短路线的长， 31 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 类型三与长方体有关的最短路径 7.(2024·临沂期末)如图所示为某公园内云顶 4.如图，正方体的棱长为3，蚂蚁在正方体表面 滑雪场U型池的示意图，该场地可以看成是 爬行，它从点A爬到点B的最短路程是 从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的 横截面图中半园的半径为是m,其边缘 AB=CD=24m,点E在CD上，CE=4m, 一名滑雪爱好者从点A滑到点E,则他滑行 (第4题) 的最短路线长为 m. 5.如图，一只蚂蚁在一个长、宽、高分 EAC 别为2,1,4的长方体的顶点A处 求它沿长方体表面从顶点A爬到顶 点B的最短路程. (第7题) 8.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC A1B1C1中，AB=2√3，AA1=2,M为AC的 中点，一只小虫从点B1处沿三棱柱ABC 2 A1B1C1的表面爬行到点M处，求这只小虫 (第5题) 爬行的最短路程 B (第8题) 类型四与其他图形有关的最短路径 6.如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分 别是50cm,30cm,10cm,A和B是这个台 阶的两个相对的顶点.有一只壁虎从点A处 出发，沿着台阶面爬向点B处去吃可口的食 物，则这只壁虎至少需要爬 cm 50cm 30 cm 10cm (第6题) 32