第二十章 勾股定理 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第二十章勾股定理 第二十章整合拔尖 ●“答案与解析”见P14 知识体系构建 如果直角三角形的两条直角边长分别为 勾股定理 定义。a,b,斜边长为c,那么a+b=c 证明 分割、拼接 应用 勾股定理的应用条件 勾股定理的实际应用 利用勾股定理作长为n(n为大于1的 勾股定理 整数)的线段 如果三角形的三边长a,b,c满足a+ 勾股定理的 定义b=,那么这个三角形是直角三角形 逆定理 勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别 应用 判定直角三角形 勾股数的定义 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 勾股数 勾股数的求法 9]高频考点突破 考点一勾股定理 小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么 典例1如图，在四边形ABCD中，AD=CD, 机器人行走的路程BC是多少？ ∠ADC=120°，∠CBA=60°，BC=2,AB=5, 则对角线BD的长是 (典例1图) c w 3 D.22 2 [变式](2025·银川兴庆期末)如图，∠AOB= 90°，OA=9m,OB=3m.一机器人在点B处看 见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向 点O,机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速 前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果 33 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 考点二勾股定理与作图 考点三勾股定理的逆定理 典例2如图，在4×4的正方形网格中，每个小 典例3在如图所示的网格中，每个小正方形的 正方形的边长均为1，网格线的交点叫作格点. 边长为1，则△ABC是 () (1)在图①中，以格点为顶点画△ABC,使 B △ABC的三边长分别为3,4,5. (2)在图②中，以格点为顶点画△DEF,使 (典例3图) △DEF的三边长分别为√5，w√10，√13， A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定的三角形 [变式]如图，O,A,B三点的坐标分别为O(0, 0),A(2,1),B(0,5).求证：△OAB为直角三 ① ② 角形 (典例2图) [变式]请利用勾股定理解决下列问题： (1)一个直角三角形的两条直角边的长分别为 5,12,那么这个直角三角形的斜边长为 (2)如图①，AD⊥BC于点D,AD=BD,AC= 10,DC=6,求BD的长， (3)如图②，点A在数轴上表示的数为 请用类似的方法在图②的数轴上画出表示数 一√10的点B(不写作法，保留作图痕迹). 3 ① ② 34 第二十章勾股定理 综合素能提升 1.新考向·数学文化(2025·重庆璧山期中)《九 是 章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索 其末，委地四尺.引索却行，去本八尺而索尽， 问索长几何？”大意如下：今有一竖立着的木 柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端 (第5题) 顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺.牵 6.如图①，折叠正方形纸片ABCD,使 着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱 AD与BC重合，折痕为EF,把纸片 根部8尺处时绳索用尽，问：绳索的长是多 展平后连接AF,将△ADF沿AF 少？根据题意求出绳索的长为 () 折叠，使点D落在正方形内的一点M处，连 A B.10尺 接FM并延长，交BC于点P,连接AP (1)若正方形的边长是4，求BP的长. C.16尺 D.12尺 (2)如图②，在长方形ABCD中，AB=6, 2.如图，网格中的每个小正方形的边长均为1， BC=8.P为边BC上的一点（不与点B重 A,B是格点.若△ABC为等腰三角形，则满 合)，将△ABP沿着AP折叠，点B的对应点 足条件的格点C有 () M落在长方形的内部，连接MD,当△MAD A.5个B.4个 C.3个D.2个 为等腰三角形时，求BP的长 D D E (第2题) (第3题) 3.(2024·郑州期末)如图，在△ABC中， ① (第6题) ∠ABC=90°，∠A=30°，CD平分∠ACB, BE⊥CD交AC于点E,记BE与CD的交 点为O.若BE=3,则CD的长为() A.√5B.3 C.23D.3√3 4.如图，在6×4的网格中，小正方形的边长均 为1，点A,B,C,D,E均在格点上，则 ∠ABC-∠DCE的度数为 (第4题)》 5.(2025·济宁一模)如图，在△ABC中，AB= AC=10,BC=12,AD⊥BC.若P,Q分别是 AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值 35AB,EF=AA,AE=A F. :△ABC是等边三角形， ,.在Rt△AME中，∠MAE=60 :易得ME-号AE-停 ∴.MF=ME+EF=ME+AA,= 7 2BF=A B,-A F=A B,- AE-3⑤ 21 在Rt△MFB,中，由勾股定理，得 B1M=√MF2+B1F2=√I9 如图③，把底面A,B,C1和侧面 AA,C,C沿A,C,展开在同一平面 内，连接B1M,交A,C于点N,则易 得B,M⊥AC,B,N⊥A,C1,MN= AA,=2 △A1B1C1是等边三角形， ∴.在Rt△ANB,中，∠NAB1=60. ∴.易得NB1=3. .'B M=NB+MN=5. .√19<5</31， ∴.这只小虫爬行的最短路程为√9. B C ① M A F B ② (第8题) 第二十章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A解析：如图，延长BA至 点F,使AF=BC,连接DF,过点D 作DH⊥BF,垂足为H.在四边形 ABCD中，∠AC=120°，∠CBA= 60°，∴.∠BAD+∠C=180° :∠BAD+∠DAF=180,∴.∠DAF ∠C.又，AD=CD,AF=CB, ∴.△DAF≌△DCB..DF=DB ∠ADF=∠CDB.∴.△DBF为等腰 三角形，∠FDB=∠ADC. ∠ADC=120°，BC=2, .∠FDB=120°，AF=2. ∴.∠DBF=30.AB=5,∴.BF= AB+AF=7..易得BH=2BF= .在R△BDH中，∠DBH=30 ·HD=合BD.·HD+B BD,即(2BD)'+(3) =BD2, 解得BD= (负值已舍去). 3 D (典例1图) [变式]小球滚动的速度与机器 人行走的速度相等，运动时间相等， ..BC=CA. 设AC=BC=xm,则OC=(9 )m. 在Rt△BOC中，由勾股定理，得 OB2+OC2=BC2. .32+(9-x)2=x2,解得x=5. ∴.机器人行走的路程BC是5m. 典例2(1)如图①，△ABC即为 所求 (2)如图②，△DEF即为所求. A B ① 14 E ② (典例2图) [变式](1)13.解析：由勾股定理 可得，这个直角三角形的斜边长为 √52+122=13. (2)AD⊥BC, ∴.∠ADC=90° 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 AD2+CD2=AC2」 AC=10,CD=6, .AD=8. AD=BD, .BD=8. (3)-√5. 如图，点B即为所求 Bi A: -3-2-10 典例3A [变式]如图，过点A作AH⊥x轴 于点H,AP⊥y轴于点P. 由题意，易得OA2=22十12=5， AB2=22+(5-1)2=20,OB2= 52=25. ∴.OB2=AB2+OA2 ∴.△OAB是直角三角形 B Ph---2A H [综合素能提升] 1.B2.B 3.C解析：：∠ABC=90°，∠A= 30°，.∠ACB=60°.BE⊥CD, CD平分∠ACB,∴.∠COB= ∠COE=90°，∠BCO=∠ECO=30°. 又CO=CO,'.△CBO2△CEO. .BO=EO.BE=3,∴.BO= EO=1.5.∠BCO=30°，∠COB= 90,0B=2BC.C=3 .∠CBD=90°，∠DCB=30°， ·BD=2CD.设BD=x,则CD 2x.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 BD2+BC2=CD2,即x2+32= (2x)2,解得x=√或x=一√5（不合 题意，舍去)..2x=2√3，即CD的 长为25. 4455智 6.(1):四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=DA,∠BAD= ∠B=∠C=∠D=90°. 由折叠的性质可知，AD=AM,CF DF=MF=号cD=2,∠D ∠AMF=90°，∠DAF=∠MAF, .AB=AM,∠AMP=90°. 又.AP=AP, ,.Rt△ABP≌Rt△AMP .∠BAP=∠MAP,BP=MP. .∠PAF=∠MAP+∠MAF= ∠BAM+Z∠DM=7∠BAD 1 45. 设BP=x,则PC=4-x,PF= PM+MF=x+2. ,.在Rt△PCF中，CF2+PC2= PF2,即2+(4-x)2=(x+2)2,解 得 BP的长为3 4 (2)由折叠的性质可知，AM=AB= 6,6≠8， .AM≠AD. 如图①，若AM=DM,则易得点M在 AD的垂直平分线上. 过点M作EF⊥AD于点E,交BC于 点F,则易得EF⊥BC :易得AE=2AD=4 '.在Rt△EMA中，由勾股定理，得 EM=√JAM2-AE2=2√5」 易知EF=AB=6,AE=BF=4. ∴.MF=EF-EM=6-25. 设BP=a,则PM=a,PF=4-a. 在Rt△PMF中，由勾股定理，得 PM=PF2+MF2,即a2=(4 a)2+(6-2√5)2，解得a=9-35. '.BP的长为9一3W5」 如图②，若AD=DM,过点M作 EF⊥AD于点E,交BC于点F,则易 得EF⊥BC 在Rt△AME和Rt△MDE中，由勾 股定理，得EM2=AM-AE, EM2=DM2-DE2, .AM-AE2=DM-(AD-AE)2. ∴.62-AE2=82-(8-AE)2,解得 AE-4 9 ·EM=VAM-AE-3 4 9 易知EF=AB=6,AE=BF= ·MF=EF-EM=6-3V质 4 设BP=y,则PM=y,PF=9 4 在Rt△PMF中，由勾股定理，得 PM=PF2+MF2,即y2= (-)°+(634)》 ,解得y= 4 16-2√55， ∴.BP的长为16-2√55 综上所述，BP的长为9-3√5或16 2√55. ① 15 M BPF ② (第6题) 第二十一章 四边形 21.1四边形及多边形 1.C2.B3.265 4.∠ACD与∠CDB的平分线相 交于点P, :∠PCD=2 ∠ACD,∠PDC= ∠CDB. ∴.∠P=180°-∠PCD-∠PDC= 180°- 2 ∠ACD- ∠CDB= 1 180°- 2 ·(∠ACD+∠CDB)= 180°- 1 (360°-∠A-∠B)= 180°7X(360°=70°-80)=75. 5.B6.B 7.C解析：如图所示为n边形 A1A2A3…Am,N,M分别为边 A1A2,A2A3上的点.若沿着直线 A,A截去一个角，所得到的多边形 比原来的多边形的边数少1：若沿着 直线A,M截去一个角，所得到的多 边形与原来的多边形的边数相等：若 沿着直线MN截去一个角，所得到的 多边形比原来的多边形的边数多1. 因此将一个多边形截去一个角后，变 成十四边形，则原来的多边形的边数 可能为13或14或15. (第7题) 8.32