第二十章 勾股定理 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级下 第二十章拔尖测评 ○满分：100分◎时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如图，将含30°角的三角尺、量角器和直尺按如图所示的方式摆放，三角尺的斜边BC与量角器的半径 OC垂直于点C,点B,D,O,E分别与直尺的刻度1,9,14,19重合，则三角尺直角边AC的长为() A.5 cm B.6 cm C.53 cm D.6√3cm B D 0ml23456789101112131415161718192021 (第1题) (第3题) 2《九章算术是我国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式：a-(m2一n), 1 b=m1,c=之（m十n),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算 公式直接得出的是 ( A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25 3.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,则边AC上的高BD的长为 ( ) A.4 号 c D.5 4.如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，在AC上取一点B,使 ∠ABD=120°，BD=210m,∠D=30°.要使A,C,E三点在同一条直线上，则E,D两点之间的距离为 () A.105√3m B.2103m C.70√3m D.105m A B C 12 D B B B'C (第4题) (第5题) (第6题) 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,AC=3,把△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到 △A'B'C,连接AA',则四边形ABC'A'的面积是 () A.15 B.18 C.20 D.22 6.如图，在3×4的网格（每个小正方形的边长都是1）中，点A,B,C,D都在格点上，则下列线段中，长度为 √10的是 () A.AB B.BC C.AC D.BD 7.在平面直角坐标系中，已知点A(1,4),B(3,1),P(0,a),则PA十PB的最小值为 () A.√13 B.5 C.√29 D.6 8.如图，在四边形ABCD中，ADBC,∠D=90°，AD=4,BC=3,分别以点A,C为圆心，大于)AC的长 为半径作弧，两弧交于点E,作射线BE,交AD于点F,交AC于点O.若O是AC的中点，则CD的长为 ( A.2√2 B.4 C.3 D.√10 E D D o 、B B (第8题) (第9题) (第10题)》 9.如图，在正方形网格中，每个正方形的边长都是1个单位长度，点A,B,C,D,E均在正方形网格的格点 上，线段AB,CD交于点F.若∠CFB=a,则∠ABE的度数为 () A.180°-a B.180°-2a C.90°+a D.90°+2a 10.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，AD=5,AB=9,BC=12,点M在折线段AB-BC上 运动，令MA=x,点D到MA的距离为y,则y的最小值为 () A号 B.3 c D.4 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,CD=2,BC=6,则 BE的长为 D 、弦(c) 勾(a) 股(b) E (第11题) (第12题) (第13题) (第14题) (第15题) 12.如图，在四边形ABCD中，AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,且∠ABC=90°，则∠DAB的度数是 13.我国数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等 的直角三角形和一个小正方形组成的.如图，直角三角形的直角边长为a,b,斜边长为c.若b一α=4， c=20,则每个直角三角形的面积为 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=16,BC=12,M是边AB上的一个动点，连接CM,则线段CM 长的最小值是 15.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=AD=5,对角线AC⊥CD,则线段CD的长为 16.将两块同样大的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一块三角尺的锐角 顶点与另一块三角尺的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直 线上，连接CD.若AB=√2，则CD的长为 B C D 三、解答题（共52分） (第16题) 17.(8分)如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆在点C处折断，顶部B着地且距旗杆底部A4m. (1)求旗杆在距地面多高处折断. (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗 杆从点D处吹断，则距旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ B (第17题) 18.(10分)在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了 如图①所示的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程 如图②，过点A作 根据勾股定理，利用 AD⊥BC于点D. AD作为“桥梁”，建 设BD=x,用含x 立方程模型求出x 的代数式表示CD 的值。 的长. 利用勾股定理求 出AD的长，再计 算三角形的面积. ① (第18题) 19.(10分)如图，在△ABC中，AB=BC=4,∠ABC=90°，F,G分别为边AB,AC上的点，将△AFG沿 FG折叠，点A的对应点恰好落在边BC的中点D处，求CG的长. B D (第19题) 20.(10分)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm,BC=12cm,M,N是△ABC边上的两个动点，其中 点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s,点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速 度为4cm/s,它们同时出发，设运动的时间为ts,连接MN, (1)出发2s后，求MN的长 (2)当点M在边BC上运动时，出发几秒后，△MNB是等腰三角形？ (3)当点M在边CA上运动时，使△BCM是等腰三角形 ①若CM为底，写出关于t的方程，并化简（不必解）， ②若BC或BM为底，求t的值. C N←A (第20题) 21.(14分)数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方.如图①，设直角 三角形的两条直角边的长分别是a和b(a<b),斜边的长是c,那么可以用数学语言表达为a2十b2=c2. (1)如图②，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形ABCD,则四边形 EFGH是一个 (填“长方形”或“正方形”)，其面积为 (用含a,b的代数式表示). (2)观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明α2十b2=c2的正确性 (3)如图③，折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在边BC上的点F处.已知AB=12,BC=20,利 用上面的结论求EF的长 ① ③ (第21题)4十√7=2，即x2=2. √4-7-√4+√7<0， ∴.√4-√7-√4+√7=-√2. 22.:p=√n+I-√n= Vn+ī+n,g=n-n可= 1 m+√n- 又.√n+I+√n>√-I+n, .p<q. 又∠A>∠B, ∴p是∠B的对边长 第二十章拔尖测评 -、1.B2.C3.C4.A5.A 6.B7.B 8.A解析：如图，连接FC.由题意， 易得OE垂直平分AC.∴.AF=FC, OA=OC.AD∥BC,∴.∠FAO= ∠BCO.在△FOA和△BOC中， ∠FAO=∠BCO, OA=OC, .△FOA≌ ∠AOF=∠COB △BOC..AF=CB=3.∴.FC= AF=3,FD=AD-AF=4-3=1. △FDC中，∠D=90°，∴.CD2十 DF2=FC2.∴.CD2+12=32. ∴.CD=2√2（负值已舍去）. E D R (第8题) 9.C解析：如图，过点B作BG∥ CD,使BG=CD,连接EG.BG∥ CD,∴.∠ABG=∠CFB=a. BG2=1+4=17,BE2=12+ 42=17,EG2=32+52=34,∴.BG2+ BE2=EG.∴.△BEG是直角三角 形，且∠GBE=90..∠ABE= ∠GBE+∠ABG=90°+a. (第9题) 10.B解析：当点M在AB上时， ∠BAD=90°，且AD=5,∴.点D 到AM的距离为定值5，即y=5.当 点M在BC上时，过点D作DN AM于点N,过点M作AD的垂线， 垂足为Q,连接DM,如图.：'∠BAD= ∠ABC=90°，.∠BAD+∠ABC= 180°.∴.AD∥BC..MQ=AB=9. :SaM=合X5X9= 45 :AMDN=号，即y=45.连 接AC,则AC=√92+12=15. :点M在BC上，∴.9≤x≤15. :当两数的乘积一定时，一个乘数越 大，另一个乘数越小，∴.当x=15时， y的值最小，为3.综上所述，y的最小 值为3. M (第10题) 二、11.2W312.135°13.96 14 解析：由垂线段最短可知，当 CM⊥AB时，CM最短，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=16,BC=12, 由勾股定理，得AB WAC2+BC2=√162+122=20. :BC·AC=2CM·AB, :号×12×16=号×20×CM,解得 CM=8.·线段CM长的最小值 是袋 82 15.√5解析：如图，过点B作BE⊥ AC于点E,则∠BEA=90°..AB= BC=AD=5,∴.AE=CE..AC⊥ CD,..∠ACD=90°...∠CAD+ ∠D=90°.∠BAD=90, .∠BAE+∠CAD=90. .∠BAE=∠D.又AB=DA, ∠BEA=∠ACD=90°，∴.△BAE≌ △ADC.∴.AE=DC..AC= 2AE=2CD.设CD=x,则AC=2x. 在Rt△ACD中，AD=5,∠ACD= 90°，.x2+(2x)2=52..x=√5（负 值已舍去.∴.CD=5. AE D B (第15题) 16.3一1解析：如图，过点A作 AF⊥BC于点F.由题意，得AB= AC=√2，'.在Rt△ABC中，BC= WAB+AC2=2.由题意知，△ABC 是等腰直角三角形，∴.易得BF= CF=AF=1.由题意，得AD=BC= 2.在Rt△ADF中，根据勾股定理，得 DF=√AD2-AF=√5.∴.CD= DF-CF=√3-1. B D (第16题) 三、17.(1)由题意，可知AC+BC= 8m,∠A=90°. ∴.AB2+AC2=BC2. 设AC=xm,则BC=(8-x)m. ∴4+x2=(8-x)2,解得x=3. ∴.AC=3m. '.旗杆在距地面3m处折断， (2)如图，在AB的延长线上取一点 B',连接B'D,使B'D+AD=8m. CD=1.25m, .'.AD=AC-CD=3-1.25=1.75(m) .B'D=8-1.75=6.25(m) .AB'=√BD-AD= √6.252-1.75=6(m). ∴.距旗杆底部周围6m的范围内有 被砸伤的危险。 B B (第17题) 18.在△ABC中，AB=15,BC=14, AC=13,设BD=x,则CD=14-x. 由勾股定理，得AD2=AB2-BD 152-x2,AD2=AC2-CD2=132 (14-x)2. .152-x2=132-(14-x)2,解得 x=9. ∴.AD=√AB2-BD=12. Sa=BC·AD=X14X 12=84. 19..AB=BC=4,∠ABC=90°， ∴.△ABC是等腰直角三角形 ∴.易得AC=4√2，∠A=∠C=45. D是边BC的中点， .'BD=DC=2. 由折叠的性质可知，AG=GD. 如图，过点D作DE⊥CG于点E. 易知∠EDC=∠C=45. .易得DE=EC=√2. .AG=GD=AC-EC-GE= 3√2-GE. 在Rt△GDE中，根据勾股定理，得 DE2+GE2=GD2,即（√2）2+GE2= (32-GE),解得GE=4 3 :0G=GE+BC=4y2+2=72 3 3 D (第19题) 20.(1)当t=2时，AN=2×2= 4(cm),BM=2×4=8(cm) .AB=16 cm, .BN=AB-AN=16-4= 12(cm). 在Rt△BMN中，由勾股定理，可得 MN=/BM2+BV2=√J82+122= 4/13(cm),即MN的长为 4/13cm. (2)由题意，可知AN=2tcm,BM= 4t cm. 又.AB=16cm, .'BN=AB-AN=(16-2t)cm. 当△MNB为等腰三角形时， ∠B=90, .'BM=BN .41=16-21,解得1=3 8 8 出发3s后，△MNB是等腰三 角形 (3)①在△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2=AC2,AB=16 cm,BC= 12cm, .∴.AC=20cm. 当，点M在AC上运动时，CM=(4t- 12)cm. ,△BCM为等腰三角形，且CM 为底， ∴.BM=BC=12cm. 如图，过点B作BE⊥AC于点E,则 CE=CM=(2t-6)cm. 1 :SAAm=2AB·BC= Ac· BE, BE= 5 cm. 在Rt△BCE中，由勾股定理，可得 BC2=BE+CE,即122= (2t-6)2. 化简，得25t2一150t一99=0. ②若BM为底，则CM=BC=12cm. 83 ∴.41-12=12，解得1=6. 若BC为底，则CM=BM. ∴.∠C=∠MBC. :∠C+∠A=90°=∠CBM+ ∠MBA, .∠A=∠MBA. .MB=MA. :CM=AM=7AC=10cm.即 4t-12=10,解得t=5.5. 综上所述，当△BCM是等腰三角形， 且BC或BM为底时，t的值为6 或5.5. (第20题) 21.(1)正方形；(b-a)2. (2):'S正方彩AD=4XS△AE十 S正方形EFGH’ ·c2=4X2b+(b-u)2,整理，得 a2+b2=c2. (3)·四边形ABCD是长方形， △AFE是由△ADE折叠得到的， .'AF=AD=BC=20,DC=AB= 12,EF=DE,∠B=∠C=90°. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF= W√AF2-AB2=√J202-122=16. .CF=BC-BF=20-16=4. 设DE=EF=x,则EC=DC-DE= 12-x. 在Rt△EFC中，由勾股定理，得 EF2=CF2+EC2,即x2=42+(12 八，解得=裂 1EF的长为学 第二十一章拔尖测评 -、1.B2.B3.B4.A5.B 6.C7.C8.D 9.C解析：如图，连接OE.:四边