20.1 勾股定理及其应用-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第二十章 勾股定理 20.1勾股定 第1课时勾股 自基础进阶 1.(2024·廊坊期末)我国是最早了解勾股定理 的国家之一.下列四幅图中，不能证明勾股定 理的是 B. D】 2.(2024·临沂期末)如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为(6,4)，以点O为圆心、OA 长为半径画弧，交x轴的正半轴于点B,则点 B的横坐标在 B (第2题) A.5和6之间 B.7和8之间 C.10和11之间 D.8和9之间 3.若实数m,n满足|m一3十√n一4=0，且m, n恰好是直角三角形的两条边长，则该直角 三角形的斜边长为 4.如图①，将长为2a十3、宽为2a的长方形分 割成四个全等的直角三角形，然后拼成如图 ②所示的“赵爽弦图”，得到大小不同的两个 正方形 (1)用含a的代数式表示图②中大正方形的 边长. 22 理及其应用 定理及其验证 “答案与解析”见P7 (2)当a=3时，该大正方形的面积是多少？ -2a+3￥ ① ② (第4题) 幻素能攀升 5.如图，点E在线段AB上，AE=a,AD=b (b>a),∠A=∠B=90°，△ADE≌△BEC, 连接DC,设DC=c.有下列结论：①a十 =2:②2b>c:③e>2瓜，其中，正确 的是 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ a E (第5题) (第6题) 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以 △ABC的各边为边作正方形 ADEC,正方形CHIB,正方形 ABGF,点G落在HI上，EC与AF交于点 N.若AC+BC=7,空白部分的面积为13，则 AB的长为 () A.5 B.√2IC.√19D.√26 7.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边 形”，现有如图所示的“垂美四边形”ABCD, AC与BD交于点E.若AD=3,BC=5,则 AB2+CD2= (第7题) (第8题) 8.★如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4, AB=5,BD平分∠ABC交AC于点D,则 AD的长为 9.新考法·操作题(1)如图①所示为由四个相 同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一 个大正方形.若大正方形的面积为13，每个 直角三角形两直角边长的和是5，求中间小 正方形的面积. (2)现有一张长为6.5cm、宽为2cm的长方 形纸片，如图②，请你将它分割成6块，再拼 成一个正方形（要求：先在图②中画出分割 线，再画出拼成的正方形并标明相应数据). 1 (第9题) 第二十章勾股定理 思维拓展 金 0.如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD⊥AB于点D,BC=a AC=b,AB=c,CD=h 0求证+点 (2)若正实数x满足√25-x+√144一x= 13,求x的值 D (第10题) 23 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 第2课时 勾股定理的应用 ●“答案与解析”见P8 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，将长为8cm的橡皮筋的两端点A,B 4.如图，一只小鸟从树尖C处径直飞向塔尖A 固定，然后从中点C处将橡皮筋垂直向上拉 处.已知树高CD为6米，塔高AB为12米， 升3cm到点D,则侧橡皮筋被拉长了( 树与塔的水平距离BD为8米，则小鸟飞行 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.1cm 的最短距离为 ( ) 1.8m D B (第1题) (第2题) (第4题) 2.(2025·连云港)如图，长为3m的梯子靠在 A.8米B.10米C.11米D.12米 垂直于地面的墙上，梯子的底端离墙脚线的距 5.(2024·防城港防城期中)《九章算术》记载： 离为1.8m,则梯子顶端的高度为 m. “今有开门去阃（读kùn,门槛的意思）一尺， 3.(2025·孝感应城期中)如图所示的正方形网 不合二寸，问门广几何？”其大意如下：如图， 格中的每个小正方形的边长都为1，每个小 推开双门（大小相同），双门间隙CD=2寸， 正方形的顶点叫作格点. 点C,D与门槛AB的距离CE=DF=1尺 (1)以格点为顶点画三角形，使其满足以下 (1尺=10寸)，则AB的长为 寸 要求：三角形的三边长分别为3,2√2，√5，且 K 面积为3. M (2)试说明所画图形的正确性， EF (第5题) (第6题) 6.(2024·深圳福田二模)一种笔记本 (第3题) 电脑支架有1~6共6个挡位调节 角度，相邻两个挡位之间的距离为 2cm.如图，托架OK的长为24cm,M是支 点，且OM=2MK.当支架调至1挡时， AM⊥OK,当支架调至5挡时，托架OK绕 着点O旋转到OK',此时M'E=OE,则支点 M'到OA的距离为 cm. 7.(2024·商丘期中)如图，公路MN和公路PQ 在点P处交会，点A处有一所学校，AP= 160米，∠NPQ=30°.如果拖拉机行驶时周 围100米以内会受到噪声影响，那么当拖拉 24 机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是 否会受到影响？请说明理由.如果会受到影 响，已知拖拉机行驶的速度是5米/秒，那么 学校受到影响的时间为多少秒？ (第7题) 8.(2025·西安期中)如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm,BC= 6cm,点M从点A出发沿A→C方 向运动，速度为1cm/s,同时，点N从点C出 发沿C→B→A方向运动，速度为2cm/s,设 运动的时间为ts. (1)当形成的△MCN第一次为等腰三角形 时，t= (2)当点N运动到BA上时，△BCN是等腰 三角形，且BC是其中的一条腰，求出此时t 的值. C→N (第8题) 第二十章勾股定理 思维拓展 9.(2025·马鞍山含山期中)我们新定义一种三 角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍 的三角形叫作奇异三角形.例如：某三角形的 三边长分别是2,2√2和√6，因为2+(22)2= 12=2×(√6)2，所以这个三角形是奇异三 角形 (1)若△ABC的三边长分别是3,5和√17， 则此三角形 (填“是”或“不是”)奇异 三角形 (2)若△ABC是奇异三角形，且其中有两条 边长分别为3,4，则第三边的长为 10.*如图，在一款益智小游戏中，小明操控着一 个机器人到达一个高为10m的高台AC的 顶部A处，利用旗杆OM顶部的绳索，荡过 90°到达与高台AC水平距离为17m,高为 3m的矮台BD的顶部B处（绳索一直是直 的)，则机器人在荡绳索的过程中，最低点离 地面的高度MN是多少？ B M (第10题) 25.元-5=0. .√E=5√y,即x=25y. :.2++3y-50y+5y+3y」 x+√xy-y 25y+5y-y 8y=2. 29y [变式](1)20cm. (2)长方形的长、宽之比为4：3， .设长方形的长为4xcm,宽为3xcm ∴.4x·3.x=360,解得x2=30. x>0, .x=√30 .4x=4√30,3x=3√30 ,大正方形的边长为20cm,202= 400,(4√30)2=480,400<480， ∴.204√30 .沿此大正方形边的方向剪出一个 长方形，不能使剪出的长方形的长、宽 之比为4：3，且面积为360cm2. 典例4由题意，得3m-4≥0，解得 m为整数， .当m=2时，√3m-4=√2，此时 √3m一4是最简二次根式. .m的最小值为2. [变式]12解析：：√2m+"可和 √3m+z都是最简二次根式， (m+n-2=1, 解得m=1,n=2. 3m-2+2=1, [综合素能提升] 1.A2.C3.D4.C5.> 6.-1解析：由题意，得2026 2025m=-2025-2026m,解得m=一1. 7.(1)C(2)①√ab②a ③√aXb④a 8.121X11 9.(1)原式=√8÷（√18×√8）= 8÷44=√44 18_32_2 =1241 (2)原式=-2· 3 b 2 1. 1 -方·u2b√而=-a2b庙. (3)原式=3-2√6+2+5-9=1- 2√6. (4)原式=9-5一4+2√5=25. 10.小敏说得不对. a a≥0， 按入a一3 计算，则 或 a-3>0 a0, 解得a>3或a≤0. a-30, 而按 计算，则a≥0，a-3>0, va-3 解得a>3. 小敏说得不对. 1.(①原式-5-1+5- 2 2 …十 √2025-√2023_√/202_1 2 451 2-2=22. (2).a= √m+I-√m √m+1+√/m (√m+Π-√m)2 (√m+I+√m)(m+I-√m) 2m+1-2√m2+m, 6=m+I+m】 √m+I-√m (√m+I+√m)2 (√m+1-√m)(√m+1+m) 2m+1+2√m2+m, .a+b=4m+2,ab=1. ,a+b+2ab=800, ∴.4m十2+2×1=800，解得m= 199. (3):√15+x2-√26-x=1, ∴.(V15+x2-W26-x7)2=1. .15+x2-2√(15+x2)(26-x2)+ 7 26-x2=1. .√(15+x2)(26-x)=20. 设√/15+x2+√26-x=t(t>0), ∴.t2=(√15+x2+√26-x2)2= 15+x2+2√(15+x)(26-x2)+ 26-x2=41+2×20=81. ∴.t=9或t=-9(不合题意，舍去)， 即√15+x+√26-x的值为9. 12.(1)m2+3n2:2m. (2)设7+4√3=(m+n3)2 m2+3n2=7, 由(1)，得 2mm=4. ,m,7n均为整数， m=2,.m=-2, .易得 或 n=1n=-1. ∴.7+4√3=(2+3)2或7+4√3= (-2-√3)2. (3),a是216的立方根，b是16的 平方根， ∴.a=6,b=±4. ∴.当a=6,b=4时，√a+b2= √6+4W2=2+2: 当a=6,b=-4时，√a+b2= √6-42=2-√2， 第二十章 勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其验证 1.C2.B3.5或4 4.(1),直角三角形较短的直角边 长为2×2a=u,较长的直角边长为 2a+3, .大正方形的边长为 √a2+(2a+3)2=√5a+12a+9. (2)由(1)，易知大正方形的面积为 5a2+12a+9. ∴.当a=3时，该大正方形的面积是 5×32+12×3+9=90. 5.D 6.A解析：，四边形ABGF是正 方形，.AB=AF,∠BAN=∠F= 90°.∴.∠FAM+∠BAC=90°. ,∠ACB=90°，∴.∠ABN十 ∠BAC=90°..'.∠ABN=∠FAM. BA=AF,∠BAN=∠F, ∴.△BAN≌△AFM.∴.S△BAN= S△AFM,.S四边无FNCM=S△AC. ∴.S室自部分=S正方形ABF一2S△ABC :AB-2X2AC·BC=13①， AC+BC=7,∴.(AC+BC)2 72,即AC2+BC2+2AC·BC=49. AB2=AC2+BC2,∴AB2+ 2AC·BC=49②.由①②，得AB2= 25,.AB=5. 7.34解析：.四边形ABCD为“垂 美四边形”，∴.BD⊥AC. .∴.∠AEB=∠AED=∠BEC ∠DEC=90°.在Rt△AED中，AE2十 DE=AD2=9:在Rt△BEC中， BE2+CE2=BC2=25..AE2+ DE+BE2+CE2=9+25=34.在 Rt△AEB中，AE2+BE2=AB2:在 Rt△CED中，CE2+DE2=CD .AB2+CD2=AE2+DE2+BE2+ CE2=34. 8号 解析：在Rt△ABC中，∠C= 90°，BC=4,AB=5,由勾股定理，得 AC=√AB-BC=3.过点D作 DE⊥AB于点E.BD平分 ∠ABC,∠C=90°，∴.CD=ED.在 CD=ED, Rt△BCD和Rt△BED中， BD=BD, ∴Rt△BCD≌Rt△BED.∴.BC= BE=4.∴.AE=AB-BE=1.在 Rt△AED中，AD2=DE2+AE2, .AD2=(3-AD)2+12. .'AD= .5 31 一方法归纳 构造直角三角形求线段长 利用勾股定理求线段长是勾 股定理的一个重要应用，当题目中 没有出现直角三角形时，经常通过 作垂线的方法构造直角三角形，然 后利用勾股定理求线段长，但是在 构造过程中注意尽量不要破坏题 目中的特殊角和已知边 9.(1)设直角三角形的两直角边长 分别为a,b(a>b). fa+b=5, 依题意，得 a2+b2=13. ab= (a+b)2-(a2+b2) =6. .中间小正方形的面积为(a一b)2= (a+b)2-4ab=1. (2)如图所示 30.5 单位：cm (第9题) 10.(1)在Rt△ABC中，∠ACB 90°，CD⊥AB,BC=a,AC=b,AB= c,CD=h, a2+b=c2,S△Ax=2b= 1 h. ∴.ab=ch “+-东是 a262 c2h2 h2 (2)如图，构造Rt△ABC,使得 ∠ACB=90°，AC=5,BC=12,CD⊥ AB于点D. 设CD=x. 由勾股定理，得AD 8 √AC-CD=√25-xZ,BD= √BC-CD2=√144-x,AB= √JAC2+BCz=13. ∴.AB=AD+BD=√25-x+ W144-x=13. 在Rt△ABC中，CD⊥AB, 1 S△A=ZAB·CD=2AC· BC. ×13x=2×5×12,解得 :.2 60 13 ∴.√25-x+√144-x=13中的 60 正实数x=13 B (第10题) 第2课时勾股定理的应用 1.A2.2.4 3.(1)如图，△ABC即为所求. (2)由图，知AC=3,AB √22+1严=√5，BC=√22+2 1 2/2,SAA=2X3X2=3. ∴.所画图形是正确的 (第3题) 4.B5.101 6165 3 解析：由题意可知，MA一 M'E=OE,AM⊥OK,AE=2×(5 1)=8(cm),,OK=24cm,OM= 2MK,.OM=OM=16cm.设 MA=M'E=OE=xcm,则OA= (x+8)cm.在Rt△OAM中，由勾股 定理，得OA2=MA+OM,即(x+ 8)2=x2+162,解得x=12..MA= ME=OE=12cm.如图，过点M作 M'H⊥OA于点H.设OH=ycm,则 EH=(12一y)cm.由勾股定理，得 M'H?=OM-OH=M'E2-EH2, 即162-y2=12-(12-y)2,解得 y=琴：MH=VOM-oH 3 M K M HE (第6题) 7.会受到影响. 理由：如图，过点A作AH⊥MN于 点H. 在Rt△APH中，∠HPA=30°， ·AH=7AP=号×160=80（米. .80100, ∴.当拖拉机在公路MN上沿PN方 向行驶时，学校会受到影响. 以点A为圆心、100米为半径画弧交 MN于点B,C,连接AB,AC,则 AB=AC=100米. 又，AH⊥BC, ∴.BH=CH. 在Rt△ABH中，BH=√AB-AH2= √1002-80=60（米）. ..BC=2BH=120米 ·学校受到影响的时间为20= 5 24(秒) H B M (第7题)》 8.①)号解析：点M,N运动 的速度分别是1cm/s,2cm/s, .∴.AM=tcm,CN=2tcm.∴.MC= (8-t)cm.,∠C=90,∴.当 △MCN为等腰三角形时，MC=CN. ∴.8-t=2t.∴.t= “当形成的 △MCN第一次为等腰三角形时， 8 1-3 (2)如图①，当BC=BN=6cm时， 点N运动的路程是BC+BN=6十 6=12(cm). ∴.点N运动的时间为12÷2=6(s), 即t=6. 如图②，当BC=CN时， 过点C作CH⊥BN于点H, ∴.NB=2BH .∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm, ∴.AB=√AC+BC=10cm. 1 :△ABC的面积=2AB·CH= 2AC·BC. .'.CH=4.8cm. ∴.BH=√BC-CH=3.6cm. ∴.BN=2×3.6=7.2(cm). ,∴.点N运动的路程是BC+BN= 6+7.2=13.2(cm) .点N运动的时间为13.2÷2= 6.6(s),即t=6.6. 综上所述，t的值是6或6.6. ② (第8题》 9 9.(1)是解析：：32+52=34= 2×(√17)2，.此三角形是奇异三 角形 （25或23或2 2 解析：设第三 边长为x(x>0),则32+42=2x2或 32+x2=2×42或x2+42=2X3. :-5或x=丽或江=，其 中负位已合夫经拉验，当x=号或 x=√23或x=√2时均符合题意. 6第三条边的长为或√23或② 10.如图，过点A作AE⊥OM于点 E,过点B作BF⊥OM于点F,易得 四边形ACME、四边形FMDB为长 方形 .AE=CM,BF=DM. 由题意，得AO=OB,∠AOB=90°， ∴.∠AOE+∠BOF=90°. .BF⊥OM, .∠BFO=90. ∴.∠BOF+∠OBF=90° ∴.∠AOE=∠OBF. 又AE⊥OM, ∴.∠OEA=90°=∠BFO ∴.△AOE≌△OBF .OE=BF,AE=OF .CD=17m, ∴.OF+OE=AE+BF=CM+ DM=CD=17 m. .OF=OE+EF, ∴.2OE+EF=17m. ,'四边形ACME、四边形FMDB为 长方形， .AC=EM,FM=BD. .EF=EM-FM=AC-BD=10- 3=7(m). .OE=5 m. .OF =OE+EF=12 m. .'AE=12 m,OM=OF+FM= 15m. 在Rt△AOE中，由勾股定理，得 OA=√/AE2+OE2=13m .易得ON=OA=13m ∴.MN=OM-ON=15-13=2(m). ∴.机器人在荡绳索的过程中，最低点 离地面的高度MN是2m. B (第10题) 方法归纳 运用勾股定理解决实际 问题的步骤 (1)从实际问题中抽象出几何 图形 (2)确定要求的线段所在的直 角三角形 (3)找准直角边和斜边 (4)根据勾股定理建立等量关 系求得结果 20.2勾股定理的逆定理 及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 1.C2.D3.135 4.(1)在△BCD中，CD⊥AB, .BD2+CD2=BC2. .CD2=BC2-BD2=152-92 144. .CD=12. (2)在△ACD中，CD⊥AB, .∴.CD2+AD2=AC2」 ∴.AD2=AC2-CD2=202-122= 256. .AD=16. .AB=AD+BD=16+9=25. (3):BC2+AC2=152+202=625, AB2=252=625, .AB2=BC2+AC2 ..△ABC是直角三角形 5.A解析：如图，过点I作IE⊥ AC,垂足为E,过点I作ID⊥BC,垂 足为D,连接CI,AI,BL.I为 △ABC各内角平分线的交点，ID⊥ BC,IE⊥AC,IH⊥AB,∴.IE= IH=ID..AB=5,BC=4,AC=3, .AC2+BC2=32+4=25,AB2= 5=25.∴.AC2+BC2=AB2. .△ABC是直角三角形，∠ACB= 90°.，△ABC的面积=△ACI的面 积+△BCI的面积+△ABI的面积， 令AC·BC=号AC·E+ 2BC·D+合AB·H.AC· BC=AC·IE+BC·ID+AB· IH.∴.3×4=3IE+4ID+5IH. .IH=1. E/D A (第5题) 6.B解析：A.a:b:c=7: 24:25,.设a=7k,b=24k,c=25k (k>0..a2+b2=(7k)2+ (24k)2=625k2,c2=(25k)2=625k2, .a2+b2=c2..∠C=90°.故选项 A正确，不符合题意.B.∠A ∠B:∠C=3：4:5,∠A+∠B+ ∠C=180°，.∠C=180°× 3+4+5=75”△ABC不是直角 5 三角形.故选项B错误，符合题意 C.:a,b,c分别为6,8,10，∴.a2+ b2=c2.又a,b,c都是正整数， .a,b,c是一组勾股数.故选项C正 确，不符合题意.D.∠A一∠B= ∠C,∴.∠B+∠C=∠A.又.∠A+ ∠B+∠C=180°，∴.2∠A=180°. .∠A=90°.∴.△ABC是直角三角 10 形.故选项D正确，不符合题意， 一方法归纳 判断直角三角形的方法 (1)利用定义：如果已知条件 与角度有关，那么可利用三角形的 内角和定理判断，看能否得出其中 一个角的度数为90°. (2)若已知条件与边有关，则 可通过计算得出三边的数量关系， 看是否符合较短两边的平方和等 于最长边的平方， 7.D 8.11,60,61解析：通过观察得，第 ①组勾股数分别为2×1+1=3,2× 1+2×1=4,2×12+2×1+1=5:第 ②组勾股数分别为2×2+1=5,2× 22+2×2=12,2×22+2×2+1=13: 第③组勾股数分别为2×3十1=7， 2×32+2×3=24,2×32+2×3+1= 25;第④组勾股数为2×4十1=9,2× 4+2×4=40,2×4+2×4+1=41: 所以第⑤组勾股数为2×5十1=11， 2X52+2×5=60,2×52+2X5+ 1=61. 9.√65解析：如图，过点D作 DM⊥BC,交BC的延长线于点M,则 ∠M=90°.，∴.∠DCM+∠CDM= 90°..∠ABC=90°，AB=3,BC=4, .AC2=AB2+BC2=25..'.AC= 5.AD=5V2,CD=5,.AC2+ CD2=AD2,AC=CD..△ACD是 等腰直角三角形，∠ACD=90 .∴.∠ACB+∠DM=90..∴.∠ACB= ∠CDM.在△ABC和△CMD中， ∠ABC=∠M=90°， ∠ACB=∠CDM,∴.△ABC≌ AC=CD, △CMD...AB=CM=3,BC= MD=4..BM=BC+CM=7. ∠M=90°，∴.在Rt△BDM中，